純方位角定位的單步最優(yōu)觀測軌跡算法

權(quán)宏偉,彭冬亮,薛安克

(1.華東理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,上海 200237;2.杭州電子科技大學(xué)信息與控制研究所,浙江杭州 310037)

0 引言

純方位角定位與跟蹤是信號檢測及濾波理論領(lǐng)域內(nèi)一類較難解決的問題[1-5]。實際觀測過程中,目標(biāo)定位精度不僅受隨機觀測噪聲的影響,而且也與觀測平臺的運動軌跡有關(guān)[6]。為提高目標(biāo)的定位精度,通常要求觀測平臺沿某條最優(yōu)軌跡運動,以保證最后得到的關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)的估計量具有最小的估計誤差。觀測平臺最優(yōu)軌跡設(shè)計是指選取適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)優(yōu)化性能指標(biāo),使得在該觀測軌跡下得到目標(biāo)定位精度最高。本文研究的即是如何設(shè)計最優(yōu)觀測平臺軌跡的問題。

目前,國內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者都使用Fisher信息矩陣(FIM)作為軌跡優(yōu)化的性能指標(biāo),但在具體算法上對FIM的處理不同。Andrew提出了信息論方法,通過最大化觀測量序列的互信息來求取最優(yōu)觀測路徑。這種方法實質(zhì)上等同于最大化FIM的行列式[7]。Passerieux引入信息率的概念,給出了目標(biāo)在勻速直線運動時的最優(yōu)觀測平臺軌跡[8]。上述方法在求取最優(yōu)觀測軌跡時,都加入了一定的限制性條件,如限定觀測次數(shù)及觀測平臺終止?fàn)顟B(tài)等。同時,將離散的觀測位置點處理成連續(xù)的觀測軌跡曲線,使得算法求取的觀測軌跡可能只具有局部最優(yōu)性。

本文提出了一種實踐上易于實現(xiàn)的最優(yōu)觀測平臺軌跡算法,即單步最優(yōu)觀測軌跡算法。與文獻[8]的方法類似,單步最優(yōu)觀測軌跡算法也以Fisher信息矩陣作為系統(tǒng)的觀測性能指標(biāo)?？紤]到各次觀測相互獨立的條件下,系統(tǒng)總的Fisher信息矩陣等于單次觀測的Fisher信息矩陣之和[9],單步最優(yōu)觀測軌跡算法實現(xiàn)了從觀測平臺初始觀測位置開始,在后續(xù)每一時刻的觀測位置上達到目標(biāo)的觀測性能最優(yōu)。

1 純方位角目標(biāo)運動分析

1.1 系統(tǒng)模型

選取直角坐標(biāo)系為系統(tǒng)的參考坐標(biāo)系。設(shè)目標(biāo)與觀測平臺運動軌跡位于同一坐標(biāo)平面內(nèi)。觀測平臺在k時刻的位置坐標(biāo)用狀態(tài)向量[Sx(k),Sy(k)]T表示。平臺從當(dāng)前觀測點運動到下一個觀測點的方向變量用u(k)表示。從而平臺在k+1時刻的位置坐標(biāo)總可以用k時刻的位置坐標(biāo)與方向變量u(k)表示。假定觀測平臺從當(dāng)前觀測位置以常速率V經(jīng)過時間T運動到下一個觀測位置,平臺的運動方程為:

觀測平臺初始位置已知的條件下,根據(jù)式(1)、式(2),平臺在任一時刻的位置都可以表示成控制變量序列{u(1),u(2),…,u(k)}的函數(shù)。第k次觀測的目標(biāo)與觀測平臺相對位置如圖1所示。

圖1 k時刻的目標(biāo)與觀測平臺相對位置Fig.1 Relative location of target and observer at time k

設(shè)目標(biāo)的位置狀態(tài)向量為 η=[Ox,Oy]T。目標(biāo)的觀測方程為:

式中:

β(k)是k時刻目標(biāo)相對于觀測平臺的真實方位角(以正北為參考方向);ω(k)為隨機高斯觀測噪聲,方差為;Z(k)表示實際測量角度。

1.2 Fisher信息矩陣

對于適當(dāng)?shù)挠^測噪聲,在觀測平臺正確機動的情況下,可以得到關(guān)于目標(biāo)狀態(tài)參量的無偏估計量,該估計量的協(xié)方差矩陣能夠達到Cramer-Rao下限,它等于Fisher信息矩陣的逆。就靜止目標(biāo)而言,N次觀測后目標(biāo)狀態(tài)參量的Fisher信息矩陣為[9]:

符號E(?)表示求數(shù)學(xué)期望。進一步計算可得:

式中:

同理,可求得單次觀測的Fisher信息矩陣。第k次觀測的Fisher信息矩陣為:

比較式(7)與式(11),顯然有:

2 單步最優(yōu)觀測軌跡算法

選取目標(biāo)狀態(tài)參量的Fisher信息矩陣為系統(tǒng)的觀測性能指標(biāo)。以第一步控制變量的確定為例來說明單步最優(yōu)觀測軌跡算法。根據(jù)1.1節(jié)觀測平臺在初始位置狀態(tài)已知的假設(shè),由式(7)得到該觀測位置上的Fisher信息矩陣 I(η;1)。由式(1)、式(2)可知,觀測平臺在第2個觀測點的狀態(tài)[Sx(2),Sy(2)]T可以表示成控制變量u(1)的函數(shù)。代入式(11)得第2個觀測點的Fisher信息矩陣I(η;2)。根據(jù)公式(12),當(dāng)前系統(tǒng)的Fisher信息矩陣為:

因為Fisher信息矩陣是半正定的,根據(jù)矩陣分析中的知識可以得到以下結(jié)論:Fisher信息矩陣的逆矩陣即誤差協(xié)方差陣的二次型定義了一個超橢圓,它的n個特征值代表超橢圓的n個半軸。誤差協(xié)方差矩陣P的1-σ域由下式表示[10]:

根據(jù)Fisher信息矩陣I與誤差協(xié)方差矩陣P的關(guān)系,上式又可寫為:

由上式可以看出,1-σ域隨信息矩陣行列式的值增大而變小,這也意味著系統(tǒng)關(guān)于目標(biāo)的觀測性能越好。對式(13)兩邊取行列式:

Det(?)表示求矩陣的行列式。上式右端為系統(tǒng)的性能指標(biāo),令:

顯然J2是控制量u(1)的函數(shù),即。最優(yōu)控制量是使得系統(tǒng)當(dāng)前性能指標(biāo)J 2最大的控制量:

由上式求得最優(yōu)控制量^u(1),將^u(1)代入式(1)、式(2),得到第2個時刻的最優(yōu)觀測位置坐標(biāo)及相應(yīng)觀測點上的Fisher信息矩陣。迭代上述算法,可順序求得第k個時刻的最優(yōu)觀測平臺位置坐標(biāo)。這k個有序的觀測點位置坐標(biāo)構(gòu)成了最優(yōu)觀測平臺軌跡。單步最優(yōu)軌跡算法流程如圖2所示。

圖2 單步最優(yōu)軌跡算法流程圖Fig.2 Flow chart of single-step optimal trajectory algorithm

單步最優(yōu)軌跡算法是一個迭代求解觀測平臺最優(yōu)運動軌跡的算法。每進行一次迭代,可求得觀測平臺的下一個最優(yōu)觀測位置點。理論上,該算法不受終止條件的限制,在求解最優(yōu)軌跡的過程中,一般把觀測平臺接近目標(biāo)位置作為算法的結(jié)束條件,當(dāng)然,也可以通過設(shè)定觀測次數(shù)來結(jié)束算法。

3 仿真及結(jié)果分析

算法采用Matlab仿真平臺進行仿真。取目標(biāo)的實際位置為(1 200 m,1 200 m)。觀測平臺初始位置位于坐標(biāo)原點,速率V=5 m/s,觀測周期T=1 s。單步最優(yōu)觀測平臺軌跡如圖3所示。

由圖3可見,采用單步最優(yōu)觀測軌跡算法得到的軌跡有兩條。這是由于在第一個觀測點上存在兩個最優(yōu)控制量^u(1)的緣故,這可由圖4進一步說明。圖4給出了性能指標(biāo)J 2[u(1)]與控制變量u(1)之間的關(guān)系。

從圖4中不難看出,使得性能指標(biāo)J 2[u(1)]達到最大值的控制變量u(1)有兩個,并且這兩個最優(yōu)控制量關(guān)于目標(biāo)與觀測平臺初始位置的連線是對稱的。因而,算法得到的兩條軌跡也關(guān)于該連線對稱。

圖3 單步最優(yōu)觀測平臺軌跡Fig.3 Single-step optimal observer trajectories

圖4 控制變量u(1)與性能指標(biāo)J 2[u(1)]的關(guān)系Fig.4 Relationships of control variable u(1)and Performance Index J 2[u(1)]

4 結(jié)論

本文提出了一種在實踐上易于實現(xiàn)的最優(yōu)觀測平臺軌跡算法,即單步最優(yōu)觀測軌跡算法。該算法實現(xiàn)了從觀測平臺的初始觀測位置開始,在后續(xù)每一時刻的觀測位置上達到目標(biāo)的觀測性能最優(yōu)。仿真表明,算法獲得的單步最優(yōu)觀測平臺軌跡是有效的。需要指出的是,本文僅研究了目標(biāo)靜止?fàn)顟B(tài)下觀測平臺的單步最優(yōu)軌跡,對于目標(biāo)作勻速直線運動或其他運動的情況,還需作進一步的研究。此外,對于觀測過程中的觀測噪聲不滿足高斯白噪聲假設(shè)的情況,也有待進一步的分析。

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