脈沖時滯細胞神經網絡周期解的存在性和指數穩定性

李中華，王 慧

(1.樂山師范學院計算機科學學院，四川樂山614004;2.樂山師范學院數學與信息科學學院，四川樂山614004)

1 引言

細胞神經網絡(CNNs)和時滯細胞神經網絡(DCNNs)的動力學行為由于其在信號和圖像處理及其它領域的廣泛運用具有重要研究價值，得到了幾個重要結論［1－7］。最近，人們發現在諸如人腦的網絡經常處于周期擾動甚至混沌狀態中，因而周期擾動解的特征吸引了大量的研究興趣。關于周期解的存在性和指數收斂性已經有結果報道［8－14］，同時，脈沖影響大量存在于各種進化過程，脈沖和時滯都會影響系統的動力學行為。因此，有必要考慮當神經網絡系統同時具有脈沖和時滯影響時周期解的存在性與穩定性問題。

考察對象為如下脈沖時滯細胞神經網絡:

式中:n為神經元個數;xi(t)為第i個神經元在t時刻的狀態;fj為神經元激活函數;ai＞0代表神經元充電時間常數;τij(t)代表軸信號傳輸時滯;αij(t)為第i個神經元和第j個神經元的連接權重;βij(t)為時滯連接權重［αij(t)和βij(t)是ω周期函數］;Δxi(tk)是在時間tk的脈沖;t1＜t2＜…為嚴格遞增序列，且滿足limk→∞tk=+∞ 。系統初始條件為:

假設:(H1)fj(x)，j=1，2，…，n全局 Lipschitz連續，Lipschitz常數為 Lj，即，(H2)存在正整數m使得tk+m=tk+ω，Ii(k+m)=Iik;(H3)-2≤ Iik≤0。

定義1 稱系統(1)的周期解x(t，φ*)是全局指數穩定的，如果存在正常數α和β使得系統(1)的每個解x(t，φ)滿足:

下一節將用到連續函數f(t)的右上Dini導數，其定義為:

由右上Dini導數定義，可直接得到如下引理:

引理1 若f(t)為定義在R上的在時刻t0可微的連續函數，則:

2 主要結論

引理2 設 x(t，φ)和 x(t，φ)是系統(1)的2 個解，若條件(H1)－(H3)成立，且如下條件滿足:

(H4)存在正數 λi，i=1，2，…，n 使得

i，j=1，2，…，n

則存在正常數 λi，i=1，2，…，n，使得:

其中:M(ε)≥1。

證明:令

1)當 t≠tk時，有:

注意到對所有的 i=1，2，…，n

因此，

在此定義

帶入并簡化，得:

由條件(H4)和P(ε)的連續性知，存在一正數(不妨還是記為ε)使得P(ε)＜0。

從而D+V(t)＜0。

2)當t=tk

故，有V(tk+0)＜V(tk)

且:

另一方面，

即

定理1：若 (H1)－(H4)成立，則系統(1)具有全局指數穩定的ω-周期解。

證明:第1步，ω-周期解的存在性

定義映射P:C→C，Pφ =xω(φ)

由引理2，得到:

上式說明Pm是Banach空間C上的一個壓縮控制映射，根據控制映射原理Pm有且僅有一個不動點φ*。注意到 Pm(Pφ*)=P［Pm(φ*)］=Pφ*，這說明Pφ*∈C也是Pm的不動點，由Pm的不動點的唯一性知Pφ*= φ*，即xω(φ*)= φ*。令x(t，φ*)是系統(1)的初始值為 φ*的解，則 xt+ω(φ*)=xt［xω(φ*)］=xt(φ*)，t≥0。這表明x(t+ω，φ*)=x(t+ ω，φ*)(0)=xt［xω(φ*)］(0)=xt(φ*)(0)=x(t，φ*)，t≥0。

因此，x(t，φ*)是ω-周期的。

第2步，周期解的指數穩定性

由引理2，系統(1)的任意解x(t，φ)滿足:

x(t，φ)-x(t，φ)∞≤ M(ω)φ - φ∞e-εt，t≥0。

這就說明了x(t，φ)指數趨向于x(t，φ*)。

由定理1直接可得

推論1：若(H1)－(H3)成立，且如下條件滿足:則系統(1)存在一全局指數穩定的ω-周期解。

當時滯τij(t)=0，αij(t)≡αij，得到如下推論:

推論2：假設(H1)－(H4)成立，并且如下條件滿足

存在正常數 λi，i=1，2，…，n 使得

有一全局指數穩定的ω-周期解。

顯然，推論2的條件(H6)比文獻［15］的條件(H5)更少保守性。

3 數值實例

用數值實例來說明結論的有效性。考慮如下兩個神經元系統

【例 1】

顯然，條件(H1)－(H3)滿足，選取 λ1=λ2=1，則條件(H4)成立，從而存在指數穩定的2π－周期解 (圖1)。

圖1 系統(2)的時間響應曲線和2π－周期解相譜Fig.1 Time response curves and Phase portrait of 2π-eriodic solutions of system(2)

【例2】

圖2 tk=0.2kπ時，系統(3)的時間響應曲線和2π－周期解相譜Fig.2 Time response curves and Phase portrait of 2π-periodic solutions of system(3)

4 結語

為脈沖時滯神經網絡周期解的存在性和全局指數穩定性提供了充分條件。并將文獻［15］中的結論一般化，它具有更少的保守性。然而，本結論也需要進一步改善，比如脈沖律被限制在一個小范圍內，這是下一步研究目標。

［1］Chua L O，Yang L.Cellular neural networks:theory［J］.IEEE Trans.Circuits Systems，1988，35(10):1257－1272.

［2］Chua L O，Yang L.Cellular neural networks:application［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，1988，35(10):1273－1290.

［3］Cao J，Chen T.Globally exponentially robust stability and periodicity of delayed neural networks［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22(4):957-963.

［4］Cao J，Wang J.Global exponential stability and periodicity of recurrent neural networks with time delays［J］.IEEE Trans.Circ.Syst.I，2005，52(5):920-931.

［5］Delgado A，Kambhampati C，Warwick K.Input/output linearization using dynamic recurrent neural networks［J］.Math.Comput.Simul，1996，41(5/6):451-460.

［6］Hopfield J J.Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities［J］.Proc.Natl.Acad.Sci，1982，79(2):2554-2558.

［7］Sun C，Feng C.Exponential periodicity and stability of delayed neural networks［J］.Math.Comput.Simul，2004，66(6):469-478.

［8］Zhao H.Global exponential stability and periodicity of cellular neural networks with variable delays［J］.Physics Letters A，2005，336(4/5):331-341.

［9］Dong M.Global exponential stability and existence of periodic solutions of CNNs with delays［J］.Physics Letters A，2002，300(1):49-57.

［10］Liu B，Huang L.Existence of periodic solutions for cellular neural networks with complex deviating arguments［J］.Applied Mathematics Letters，2007，20(1):103-109.

［11］Li Y，Zhu L，Liu P.Existence and stability of periodic solutions of delayed cellular neural networks［J］.Nonlinear Analysis:RealWorld Applications，2006，7(2):225-234.

［12］Liu Z，Liao L.Existence and global exponential stability of periodic solution of cellular neural networks with time－varying delays［J］.J.Math.Anal.Appl.，2004，290(1):247-262.

［13］Zhou J，Liu Z，Chen G.Dynamics of periodic delayed neural networks［J］.Neural Networks，2004，17(1):87-101.

［14］Liu B，Huang L.Existence and exponential stability of almost periodic solutions for cellular neural networks with mixed delays［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2007，32(1):95-103.

［15］Gui Z，Ge W.Existence and uniqueness of periodic solutions of nonautonomous cellular neural networks with impulses［J］.Physics Letters A，2006，354(1/2):84-94.