基于荷載傳遞法的錨桿錨固段荷載變形分析

許錫賓，劉 濤，褚廣輝

(重慶交通大學 河海學院，重慶400074)

土木工程建設領域所面臨的環境越來越復雜，需要抵抗災害的要求越來越高，高切邊坡、深基坑、復雜環境下的隧洞等工程都需要有一種安全可靠的支護技術。錨固技術能較充分地發揮和提高巖土體的自身強度和自穩能力，顯著縮小結構物體積和減輕結構的自重，因此，有效控制巖土工程的變形，就成為提高巖土工程穩定性和解決復雜巖土工程問題最經濟有效的方法之一。

對于錨桿的錨固機理的研究，目前還沒有統一的理論，國內外主要是從兩個方面對其進行展開研究［1－3］:①錨固段載荷傳遞機理，特別是注漿巖石錨桿中錨桿與灌漿體、灌漿體與周圍巖體之間黏結應力的分布和傳遞機理的研究，這是從微觀方面進行分析;②宏觀分析研究，從錨固體加固效果角度出發研究巖土錨固作用機理。很多學者利用力學理論對錨固段荷載傳遞機理進行了解析分析。尤春安［4］基于Mindlin問題的位移解，推導了全長黏結式錨桿剪應力、軸向載荷等應力分布的彈性解;張季如、唐保付等［5］在假定錨固體與巖土體之間的剪切力與剪切位移呈線性增加關系的基礎上，建立了錨桿荷載傳遞的雙曲函數模型;楊慶等［6］基于 Boussinesq問題的位移解，推導出了和基于Mindlin問題的位移解相同的結果。

筆者引入在樁基沉降計算中常用的荷載位移法對錨桿錨固段進行分析，推導其荷載傳遞的基本微分方程;再結合開爾文(Kelvin)問題的位移解，推求錨固段的應力分布函數。以此試圖能夠對錨固段的荷載傳遞機理有更深一步的認識。

1 荷載傳遞法的基本原理

荷載傳遞法［7］首先是由Seed和Reese在1955年提出的，是研究樁基礎的一種最普遍的方法。其基本概念是把樁看作由許多彈性單元組成，每一單元與土體之間(包括樁尖)都用非線性彈簧聯系(圖1)，這些非線性彈簧表示樁側摩阻力(或樁尖阻力)與剪切位移(或樁端位移)之間的關系，通常統稱為荷載傳遞函數或τ－z曲線。一旦樁土間的這種關系曲線獲得后，就可以求得在豎向荷載下樁側摩阻力和樁身軸力分布以及樁身各截面處的位移。

圖1 荷載傳遞法力學模型Fig.1 Sketch of load transfer method

2 基本微分方程

筆者將錨桿視做樁，采用荷載傳遞法來推導錨桿錨固段荷載傳遞的基本微分方程，結合Kelvin問題的位移解來推求錨固段的剪應力與軸力分布函數。

2.1 Kelvin模型

在無限體內一點O承受集中力P的作用，此一問題即為Kelvin問題［8］，它對應的基本解是Kelvin解，利用這些基本解可以解決很多全空間和半空間的受力問題。Kelvin力學模型見圖2。設集中力P沿z方向作用在坐標原點O，邊界條件應滿足:

1)在無窮遠處所有應力分量均趨于0;

2)在O點處應力的奇異性相應于集中力的幅度P。

Kelvin問題沿z方向的位移u(z)為:

圖2 開爾文問題模型Fig.2 model of Kelvin problem

錨桿埋置到穩定巖層，深度較深，已有的研究表明在錨桿錨固段遠端應力分布很小并趨近于0，可以認為錨固段處于無限體中。根據荷載－位移互等定理，作用于o點的力P在M點產生的位移等于M點的作用力P在o點產生的位移。并假定預應力錨桿的錨固段與z軸重合，錨固段的始端點與o點重合，此時x=y=0，對式(1)簡化，則得到在集中力P的作用下錨桿錨固段內任意一點處z所產生的位移:

2.2 基本微分方程

將錨桿視作樁，來分析其荷載傳遞過程。其受力與圖1相似，取圖1中的微段進行受力分析:

式中:c為錨桿體的周長，c=πD(D為錨桿體直徑)。

式(3)簡化為:

微元體受荷后所產生的彈性變形為:

式中:Eg、Ag分別為錨桿體的彈性模量和截面積。

由式(4)、式(5)可得:

即為基于荷載傳遞法的錨桿錨固段的基本微分方程。

2.3 錨固段荷載傳遞函數(τ－z曲線)

結合式(2)及式(6)，可以得到錨固段的剪應力的分布函數:

對式(7)沿錨固段長度積分即得錨桿錨固段的軸力分布函數:

式(7)、式(8)即為錨桿錨固段的剪應力、軸力分布函數。

3 錨固段受力特性分析

3.1 錨固段的受力特征

從剪應力及軸力分布函數可以看出，錨桿體的彈性模量、巖土體的剪切模量、錨桿體的直徑(孔徑)、外荷載等因素影響著錨固段剪應力及軸力的分布。在此考慮錨桿體和巖體的彈性模量分別為Eg=30 GPa，E=0.5 GPa，巖體泊松比 υ =0.25，巖體剪切模量。不同的P及D的情況下錨固段的應力分布特征分析如下。

3.1.1 P為定值，D不同的情況

取 P=100 kN，D 分別為0.15，0.2，0.25，0.3。將數值分別帶入式(7)、式(8)，得到錨固段應力分布曲線，如圖3、圖4。

圖3 不同直徑時的剪應力分布曲線(P=100 kN)Fig.3 Relation between shear stress and anchored section length(P=100 kN)

圖4 不同直徑時的軸力分布曲線(P=100 kN)Fig.4 Relation between axial force and anchored section length(P=100 kN)

從圖3、圖4中可以看出，錨固段應力分布是很不均勻的，剪應力和軸力的最大值都出現在錨固段端部，隨著錨固段長度的增加，剪應力和軸力都呈下降趨勢，在錨固段遠端趨于0。隨著錨桿體直徑D的增大，剪應力和軸力在錨固段端部都急劇增大，并且在較大的錨桿體直徑D的情況下應力沿錨固段長度衰減得較快。

應力主要分布在錨固段前端，表明錨固體直徑的增大對錨固段的應力分布改善并不顯著。沿著錨固段長度方向，剪應力在z為3 m處已相差不大，軸力在z為5 m處也比較接近，說明錨固段超過一定長度后，對于增加錨桿的工作性能的效果并不明顯。

3.1.2 D為定值，P不同的情況

取 D=0.2 m，P 分別為 50，100，150，200 kN。將數值分別帶入式(7)、式(8)，得到錨固段應力分布曲線，如圖5、圖6。

圖5 不同外載時的剪應力分布曲線(D=0.2 m)Fig.5 Relation between shear stress and anchored section length(D=0.2 m)

圖6 不同外載時的軸力分布曲線(D=0.2 m)Fig.6 Delation between axial force and anchored section length(D=0.2 m)

從圖5、圖6中可以看到應力分布曲線情況與第1種情況大致相似，因為在分布函數中剪應力與軸力分別是關于錨固段長度z的－3次、－2次冪函數，曲線近似呈雙曲線型式。從圖中還可看出，在不同的P的情況下可以得到與第1種情況類似的結論。

3.1.3 不同的Eg/G值的情況

以上兩種情況沒有考慮不同的Eg/G值的影響。下面取幾組不同的Eg/G值來看看錨固段的應力分布。Eg/G 值分別取為 500，300，150，75，50，設P=100 kN，D=0.2 m，得到的應力分布曲線如圖7、圖8。

圖7 剪應力分布曲線(不同的Eg/G值)Fig.7 Relation between shear stress and anchored section length(different values of Eg/G)

圖8 軸力分布曲線(不同的Eg/G值)Fig.8 Relation between axial force and anchored section length(different values of Eg/G)

從圖7、圖8中可看出，Eg/G值越大，錨固段前端的應力衰減就越迅速，而隨著Eg/G值的減小，錨固段前端的應力急劇下降，在z為3～4 m時逐漸趨緩，至錨固段遠端接近于0。也就是說，Eg/G值越小，錨固段所受到的最大剪應力值就越小，沿錨固段應力的分布就越均勻，但同時其應力作用范圍也較小，這樣容易在界面處發生破壞，導致錨固系統失效;Eg/G值越大，錨固段頂端所受到的最大剪應力值就越大，應力集中現象就越明顯，其應力分布的范圍就越廣，但不均勻程度也相應較大。

3.2 錨固段受力影響因素分析

從得到的錨桿錨固段荷載傳遞函數可知，錨桿體的直徑(孔徑)、外荷載、錨桿體彈性模量與巖體剪切模量的比值等因素影響著錨固段的應力水平。

1)錨桿所受剪應力與錨桿直徑(孔徑)成正比，錨固段在較大的孔徑情況下應力分布范圍有所擴大，但不能一味靠加大桿體尺寸來提高錨桿的工作性能，隨著直徑的增加，會使錨桿所受的最大剪應力快速增加。

2)在較高的P值條件下，錨桿相應的剪應力很大，特別是在錨固段前端;應力沿錨固段長度方向衰減的速度更加迅速。

3)錨桿體彈性模量與巖體剪切模量的比值對錨固段應力分布的影響有很大關系。比值越小，錨固段所受到的最大剪應力值就越小，越有利于錨固段應力的均勻分布，但同時其應力作用范圍也較小;比值越大，錨固段頂端所受到的最大剪應力值就越大，其應力分布的范圍就越廣，但不均勻程度也相應較大。

4 結語

筆者在對錨固段的受力特性分析中引入荷載傳遞法，通過荷載傳遞法的基本原理推導了錨固段荷載傳遞的基本微分方程，結合開爾文問題的位移方程推求了錨固段的荷載傳遞函數，得到了以下一些結論:

1)錨固段應力分布的影響因素與錨桿體的彈性模量、巖體剪切模量、錨桿體直徑(孔徑)、外荷載等因素有關。錨固段的剪應力大小與孔徑及外荷載呈正比，較大的孔徑與外荷載，其應力作用范圍較大;錨桿體彈模與巖體剪切模量比值越小，錨固段所受到的最大剪應力值就越小，越有利于錨固段應力的均勻分布。

2)錨固段應力分布非常不均勻，應力最大值出現在錨固段始端，并沿錨固段長度方向逐漸縮小，在錨固段遠端趨于0。表明錨固段過長對于改善錨桿的工作機制沒有多大作用，往往還造成工程浪費。

3)通過Kelvin位移方程應力分布函數具有奇異性，計算結果在錨固段端部會出現應力無窮大的現象，不能表現出錨固段起始端的實際受力特征。

4)分析將錨索與灌漿體看作一個整體，沒有考慮它們之間的相互作用。而預應力錨桿在受到外荷載的作用時，在灌漿體與錨索之間產生了相互作用力，此相互作用力對灌漿體施加了一個反作用力并傳遞到周圍巖體上，這就存在灌漿體和巖體之間、灌漿體和錨索之間兩個界面上的作用力，其相互之間的作用對于錨固段的荷載傳遞機理有何影響，在以后的工作中還有待進一步的研究。

［1］程良奎，韓軍，張培文.巖土錨固工程的長期性能與安全評價［J］.巖石力學與工程學報，2008，27(5):865 －872.

［2］程良奎.巖土錨固研究與新進展［J］.巖石力學與工程學報，2005，24(21):3803 －3811.

［3］張樂文，汪稔.巖土錨固理論研究之現狀［J］.巖土力學，2002，23(5):627－631.

［4］尤春安.全長黏結式錨桿的受力分析［J］.巖石力學與工程學報，2000，19(3):339 －341.

［5］張季如，唐保付.錨桿荷載傳遞機理分析的雙曲函數模型［J］.巖土工程學報，2002，24(2):188 －192.

［6］楊慶，朱訓國，奕茂田.全長注漿錨桿的解析本構模型研究［C］//中國巖石力學與工程學會東北分會.第九屆全國巖石力學與工程學術大會論文集.北京:科學出版社，2006.

［7］鐘聞華.深長樁荷載傳遞特性與相互作用理論及應用研究［D］.南京:東南大學，2005.

［8］杜慶華，余壽文，姚振漢.彈性理論［M］.北京:科學出版社，1986.