混凝土翼裂紋損傷區與斷裂區邊界方程探討

李 芮，向中富

(重慶交通大學土木建筑學院，重慶400074)

較多實驗資料顯示，混凝土在失穩斷裂前，縫端存在著類似金屬材料塑性區那樣的微裂紋區。由于裂紋方位的不對稱和荷載的不對稱等原因，在混凝土結構中經常遇到復合型裂紋，因此復合型裂紋的斷裂擴展研究有著更加重要的理論意義和實用價值。

用斷裂與損傷耦合的方法來研究混凝土的破壞理論已成為固體力學研究的一個前沿課題。H.Horri和 S.Nemat-Nasser［1－2］及 M.F Ashby 和 S.D.Hallam［3］提出的滑動裂紋模型(sliding crack model)得到了不斷的發展。滑動裂紋模型認為:當沿主裂紋的剪應力超過兩裂紋面間的摩擦阻力時，裂紋面將發生滑動，從而導致主裂紋兩端翼裂紋的萌生和發展;翼形裂紋將隨著軸壓力的增加而不斷發展，逐漸趨于沿主壓應力方向擴展。考慮到材料的復雜性，研究單條裂紋是遠遠不夠的，需要考慮多裂紋相互作用的影響。近年來，許多學者都取得了很多有意義的成果。王元漢等［4］以斜裂紋和翼形裂紋為對象，分別介紹了壓剪斷裂和拉剪斷裂的計算方法，以一個單向受壓斜裂紋擴展過程，說明兩種不同斷裂型式的轉換及計算模擬過程。孫雅珍等［5］應用損傷和斷裂的耦合分析方法，研究了混凝土的破壞過程，確定初始損傷區域與斷裂區，用損傷力學的方法數值模擬了3點彎曲混凝土梁的破壞過程。

筆者考慮斷裂和損傷的耦合關系，建立了受壓縮混凝土翼裂紋損傷區與斷裂區邊界方程，并給出單向受壓混凝土損傷形狀分布圖，最后進行了實例計算，經過對比，本文研究結果與文獻［4］相近。

1 混凝土的損傷本構關系

試驗表明，混凝土在單軸壓縮下的性能和損傷狀況與單軸拉伸時有顯著不同，損傷表現為各向異性。為了分析各向異性損傷模型，Sidoroff提出了能量等價原理，在能量等價原理的基礎上，導出了受損材料的應力、應變和損傷能量釋放率。Sidoroff提出損傷面的概念，得出各向異性損傷演化方程，令各向異性損傷演化方程中的損傷因子為相同的數值，轉化為各向同性損傷模型，損傷因子為［6］:

式中:ε1，ε2和ε3為3個方向上的主應變。

式(2)中當應變為負時，取值為0;即［x］定義為:

2 翼形裂紋損傷區與斷裂區邊界方程建立

式中:D為損傷因子;ε0為損傷發生時的應變;ε定義為:

在引入損傷以后，裂紋尖端將出現一個連續損傷的區域，裂紋的擴展是連續損傷的集中化發展引起的，在損傷區的外面才是無損區，裂紋擴展的過程就是裂紋尖端附近材料逐漸損傷引起的損傷區與斷裂區移動的過程。

將混凝土梁簡化成平面應力問題，設受壓縮載荷作用后，梁中斜裂紋在兩裂紋尖端都擴展了一定長度，形成了如圖1的翼形裂紋。

圖1 受壓縮載荷作用下的翼形裂紋板Fig.1 Plate with a wing crack under compression

設裂紋物體受垂直壓力σV和水平壓力σH的作用，主裂紋長為2 a，兩端子裂紋長為l，它們之間夾角為θ。

對圖 1 所示情形，Nemat-Nasser和 Horii［7］用復變函數方法計算過裂紋尖端的應力強度因子，后來又給出了其近似公式［8］:

式中:l*是相對翼形裂紋的長度［2］，l*=0.27a;τeff表示主裂紋上的有效應力，且:

式中:τ和σ分別為主裂紋面上的剪應力和法向應力，如式(5):

對圖1所示的平面應力狀態下ε3<0，取圖2所示的裂紋尖端極坐標系，可推導出式(2)中定義的ε:

式中:E為楊氏模量;υ為泊松比。

將式(6)代入式(1)，得到翼型裂紋的損傷區和斷裂區邊界方程:

圖2 裂紋尖端坐標系Fig.2 Coordinate system of crack tip

3 實例分析

3.1 單向受壓的混凝土梁翼形裂紋

圖3表示當σH=0時的混凝土梁受力示意圖。

圖3 單向受壓的翼形裂紋板Fig.3 Plate with a wing crack under unidirectional compression

D=0為損傷區與無損區的邊界，D=0.75為斷裂區與無損區的邊界。按照最大周向應力理論及其它實驗結果，取斷裂角φ01=70.5°。如圖4所示，當子裂紋傾角φ01=70.5°時，畫出斜裂紋不同傾角的損傷區形狀。

圖4 不同傾角翼裂紋損傷區(D=0)的分布Fig.4 Distribution of damage zones due to wingcracks at different angles

以主裂紋傾角β=54°為例，畫出翼裂紋尖端的損傷場，如圖5。

圖5 β=54°時裂紋尖端損傷等值線分布Fig.5 Isoline distubution of damage zones near crack tips when β =54°

3.2 翼裂紋起裂點的坐標

為了說明本文的計算方法及過程，選用單向受壓的翼裂紋混凝土試件作為算例。將表1中的幾何及物理參數代入式(7)。

取第二次擴展的開裂角 φ02= －4.7°［4］，則計算得出:r=0.199 m。

表1 混凝土試件的幾何與物理參數Tab.1 The properties of the concrete specimen

所以當主裂紋傾角為54°時，混凝土試件翼形裂紋起裂點的坐標為(4.7°，199 mm)，這與文獻［4］的結果接近。

4 結論

從以上分析可以得出:

1)混凝土在受壓載荷作用下，由斜裂紋擴展成為翼形裂紋。筆者應用西多霍夫損傷模型和斷裂力學耦合分析方法，以單向受壓的翼形裂紋為例，探討了翼形裂紋損傷區與斷裂區的邊界方程。

2)討論并確定了混凝土翼形裂紋起裂點的坐標，通過與其它理論結果的比較，驗證了本文方法的正確性。

3)按斷裂損傷耦合理論，對混凝土單向受壓翼形裂紋損傷與斷裂區邊界方程進行分析的初步嘗試，同時為研究混凝土翼裂紋的擴展提供了一個新的思路。

［1］Horii H，Nemat N S.Compression-induced microcrack growth in brittle solids:axial splitting and shear-failure［J］.Journal of Geophysical Research，1985(90):3105－3125.

［2］Horii H，Nemat N S.Brittle failure in compression:splitting，faulting and brittle-ductile transition ［J］.Phil.Trans.R.Soc.Lond，1986，319(A):337 －374.

［3］Ashby M F，Hallam S D.The failure of brittle solids containing small cracks under compressive stress states［J］.Acta Metallurgica，1986(34):497 －510.

［4］王元漢，徐鉞，譚國煥，等.巖體斷裂的破壞機理與計算模擬［J］.巖石力學與工程學報，2000，19(4):449 －452.

［5］孫雅珍，余天慶.混凝土破壞的斷裂與損傷耦合分析［J］.沈陽建筑大學學報:自然科學版，2006，22(1):53－56.

［6］Sidoroff F.Description of anisotropic damage application to elasticity［C］//Proceeding of IUTAM Colloquium on Physical Nonlinearities in Structure Analysis.Berlin:Springer-Verlag，1981:237－244.

［7］Horii H，Nemat N S.Compression-induced nonplanar crack extension with application to splitting，explosion and rock burst［J］.Journal of Geophysical Research，1982(87):6805 －6821.