正弦波形參數擬合方法述評?

梁志國,孟曉風

(1.北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院,北京 100191;

2.長城計量測試技術研究所計量與校準技術國防科技重點實驗室,北京 100095）

0 引 言

自然界中有許多現象可視為正弦現象,如振動、擺動、波動等,有許多技術借助于正弦波實現,如廣播、電視、通訊、導航中的調頻、調幅、調相等.從原理上講,有許多問題可以歸結為正弦問題.正弦參數的估計因而具有特別的意義和價值.數學上,幅度、頻率、相位和直流偏移 4個參數唯一確定了一條正弦波形曲線.狹義的正弦模型即為其數學模型,僅包含 4個模型參數,這也是正弦參數估計的基本目標.實際上,人們所獲得的物理世界的正弦波并非理想的數學模型,而是其數學波形的一種近似,或是其被污染后的一種表現形式.因此,有了廣義的正弦模型即為其物理模型,除了其基本的 4個參數以外,又引出了眾多的描述波形不理想程度的相應參數,例如噪聲、諧波、次諧波、雜波、抖動、調制等參數.通常,人們進行正弦參數估計均使用有限長采樣序列,序列長度、采樣序列中含有的波形周期個數、采樣量化誤差、非線性誤差等條件,都限制和影響了正弦參數的估計.而某些情況下,已知頻率、已知直流偏移等條件又可以為其它參數的估計所借用.可以認為,實際工作中的正弦模型是一種物理模型基礎上的條件模型,有多種特殊的已知條件,如采樣序列“恰好”含有整數個信號波形周期的同步采樣條件,或者信號頻率已知,均可以極大簡化正弦參數估計的難度.而量化誤差、非同步采樣、甚至僅有遠少于一個波形周期的殘周期條件下,將使得正弦參數估計變得極為困難,同時,也將增大估計誤差.另外一些場合,人們僅需要估計某些單一的正弦波形參數,如頻率、幅度或相位,這時,對其它參數的估計可以不予考慮或放在次要地位.

實際上,有多種正弦參數估計方法,如時域法、頻域法、值域法、變換域法等,其特點各不相同,有的實時性好、有的精度高、有的魯棒性好、有的可用于殘缺波形估計等,不同的特點可適應不同的要求.本文所述內容,將主要介紹和討論正弦波形參數擬合方法所取得的進展和面臨的問題.

1 正弦參數的曲線擬合方法

用正弦波的一組有限長采樣序列進行波形擬合,主要是通過改變擬合正弦函數的幅度、頻率、相位和直流偏移,使擬合函數和采樣序列各點的殘差平方和最小,獲得正弦波形序列最小二乘擬合結果.

1.1 三參數正弦曲線波形擬合

三參數正弦曲線波形擬合,特指信號頻率已知時獲取幅度、相位和直流偏移的波形擬合方法,它是一種閉合算法,無須迭代即能獲得結果,沒有收斂問題,具有良好的實用性,文獻 [1]介紹了其算法.

1.2 四參數正弦曲線波形擬合

1.2.1 正弦曲線擬合方法的比較研究

四參數正弦曲線波形擬合,是從波形采集序列中估計出正弦波的幅度、頻率、相位和直流分量.

John Kuffel等人 1987年從以下幾個方面對正弦波擬合軟件方法進行了比較[2]:①相對精度;②絕對精度;③ 效率;④收斂性;⑤運行時間;⑥殘差形式;⑦魯棒性.分別使用兩種方法比較了幾種擬合程序的性能:①仿真量化數據法——考查絕對精度;②實測數據法——考查相對精度.集中討論了3種擬合程序與方法:

1)方法 1:單參數線性搜索(順序搜索);

2)方法 2:初始預估計+單參數線性搜索(順序搜索);

3)方法 3:基于一階泰勒展開的牛頓迭代法.

其中,方法 1,2屬于四參數順序搜索法,而方法 3屬于四參數同步搜索法.獲得的結論是:①比較法可揭示擬合程序的限制和不足;② 初值估計對收斂性極為重要;③程序運行可能出現 3種結果:發散,收斂到局部最優值,收斂到總體最優值.

Terence R.M cComb等人 1989年比較了 7種不同的正弦波擬合軟件編制方法[3]:

1)單純形法.是選取一個最有代表性的(比搜索數據維數多一維)幾何特征量作為單純形,在四參數擬合中,單純形是五面體,幅度 A、直流偏移 D、頻率 f、相位 P的初始估計值以及其在 4個軸上每一軸中的映射,作為產生初始極值的開始點,該種估計較粗略,但速度很快,擬合方法包括移動和收縮該五面體直至殘差的最小值足夠小為止.

2)順序搜索法.順序對每一個參數在初始值上使用增量搜索法尋找其最優點.

3)C搜索法.使用變量耦的搜索技術.正弦擬合中,頻率 f與相位 P為強力相關耦,幅度 A與直流偏移 D為強力相關耦,且頻率 f與相位 P要弱于幅度 A與直流偏移 D的偶合程度.其過程為:首先估計值,將四參數分為兩組,f,P與 A,D;令 f,P不變,用線性最小二乘擬合搜索 A,D最優值;令 A,D不變,用非線性最小二乘擬合搜索 f,P最優值;直至參數增量小于預設值為止.

4)牛頓(New ton)法.該方法是基于一階泰勒展開與誤差修正技術相結合的產物,搜索終止的判據可以是參數增量,或殘差平方和.三種不同來源的牛頓法被指定為牛頓 a,b,c.

5)Marquard t法.即為牛頓法+最速下降法.它避免了牛頓法的發散問題,沒有了速度損失問題,對于正弦擬合程序的收斂性、精度、殘差、魯棒性和運行時間等進行了判定比較.一般認為,殘差有效值在其給定值的 10%以內,可認為是良好收斂,否則是不良收斂,或發散.獲得的結論是:①所有程序均可以給出合理精度的收斂結果;②沒有一種方法居于壓倒優勢地位;③殘差有效值可能隨擬合序列長度而變動;④從殘差本身尋求擬合方法的信息只有在擬合軟件對殘差的貢獻與殘差有效值在同一數量級或大于殘差有效值時才是有效的.

1.2.2 正弦曲線擬合的方法研究

為了解決正弦參數擬合問題,IEEE學會 1994年推薦了一種四參數正弦曲線擬合方法[1],包括兩種基本算法:一種通過矩陣運算,另一種通過迭代過程,二者均需要良好的初始條件估計.當初始條件相同時,上述兩個算法結果一致.但兩者的收斂性不一樣,使用矩陣算法比不使用矩陣算法的收斂速度要快,特別是信號周期數小于 5 h.

由此可見,與三參數正弦波曲線擬合不同,四參數正弦波曲線擬合是一個非線性迭代過程,沒有解析公式可以直接應用獲得結果.其迭代的初始值的估計非常重要,較大的初始誤差將導致迭代發散,或收斂到局部最優值而非總體最優值上.為了解決這些問題,眾多學者采取了多種措施:

Y.C.Jeng博士 1987年提出了一種高速高精度的正弦參數估計方法,使用加權最小二乘法進行正弦頻率和相位的估計[4].1988年,又進一步提出了估計幅度和直流分量兩個參數的算法,從而使得正弦參數估計趨于完整[5],該方法的主要思想是將四參數擬合分解為兩個二參數擬合,因此全部過程可用公式計算,避免了迭代運算,兩者結合可以快速估算 4個正弦參數.該算法具有相當高的準確度,而且其誤差也是可以明確給出和控制的.

Felice Cennamo于 1992年總結綜述了前人對于數字化測量系統動態特性的校準工作,提出了一種針對一個周期正弦采樣信號的非迭代參數估計算法[6],并將其用于有效位數的評價,也是一種精度中等的快速計算方法.

N.Giaquninto 1997年提出了一種基于 New ton疊代的加權正弦波擬合算法[7],用來評價 A/D的有效位數,其過程是:

1)首先通過 DFT法估計信號頻率;

2)使用量程判斷,剔除量程外的采集值,以量程內的采集值形成擬合運算子序列,在信號頻率已知情況下,以加權最小二乘法,用子序列估計其它模型參數,在加權殘差平方和最小的情況下獲得擬合殘差有效值,以該有效值與幅度值之比,可計算出被評價 A/D的有效位數.

其基本思想也是將四參數擬合過程拆分成兩步走,避免四參數非線性迭代帶來的收斂問題.與以往的算法相比,其最大的特點是可以用來評價超量程的測量序列,但需要精確已知輸入信號的概率分布密度!其公式對非正弦波形激勵也具有普遍意義.D.Dallet 2006年使用了一種基于 DFT和 M USIC方法估計頻率,然后進行三參數正弦波擬合的 A/D動態特性分析法是基于同樣的道理[8].J.Q.Zhang 1997年提出的四參數正弦擬合方法也基于相同的思想[9],其主要貢獻是使用一種非線性疊代方法獲得信號頻率估計值,然后在已知頻率情況下,使用三參數最小二乘擬合算法獲得最終結果.進而獲得 A/D有效位數的評價結果.

該方法的優點是簡單,運算速度快,避免了非線性迭代,缺點是對于數據序列的質量要求較高,當采樣量化誤差存在且 A/D位數小于 18 bits時,很難得到良好的擬合結果[10].

Peter Handel 2000年將 IEEEStd 1057中推薦的正弦波擬合算法與另一種一維頻率非線性搜索擬合迭代法進行了比較[11],發現在高斯噪聲或量化噪聲的作用下,兩者都有良好表現,但在涉及小數信號周期、信噪比較低等情況下,后者比前者更好.并介紹了該一維頻率非線性搜索擬合迭代法的基本過程——使用了有限個頻率網格,估計每個網格內的目標函數獲得極值處便是擬合結果.

其基本思想是將可能的頻率變化區間分成多個子區間,在每個子區間極值基礎上,進一步獲得總體極值,以避免單一區間搜索情況下的局部極值被認為總體極值的情況出現.局限性是應該同時提供子區間個數等的劃分原則,以便確保獲得全局收斂結果.

田社平等人 2005年使用遺傳算法實現總體最優估計[12],以此實現四參數正弦參數的最小二乘估計,由于遺傳算法原理本身可保證實現全局最優逼近,可避免收斂到局部最優點上,從而具有良好的收斂性.

文獻[13]借助于三參數正弦波擬合方法構造出一種四參數正弦波擬合法,解決了四參數擬合的收斂性問題,擁有明確的收斂區間.因此該方法可以直接用于實現 AM,FM,PM信號的數字化解調.其缺點是運算速度較慢,精度中等.在此基礎上,文獻 [14]提出了一種用于解決不足一個波形周期的殘周期正弦波擬合方法,可以在僅有 1/5個波形周期的條件下獲得收斂的擬合結果.為解決超低頻正弦波形估計與控制提供了一種理論技術手段.

希爾伯特變換一直可以用來進行正弦參數估計,但需要直流分量為零的嚴苛條件,因而限制了其實際應用,王慧等人 2009年借助于 Hilbert-Huang變換進行預處理[39],將正弦曲線的直流分量剔除,進而可以方便地運用希爾伯特變換手段估計出幅度、相位、頻率參數,最后再從 Hilbert-Huang變換的趨勢分量中獲取直流分量估計值,也實現了四參數正弦波形擬合.

1.3 單參數正弦曲線擬合

很多情況下,并不需要獲得全部的正弦波形參數,因而出現了相應的解決方法:

戴先中、唐統一 1989年提出了用準同步采樣技術實現的正弦波序列頻率和相位差的測量方法[15],特點是基于迭代算法.

Gerhard P.Hancke 1990年比較了 3種正弦信號頻率的估算方法[16].①順序正向相鄰過零點法;②順序正向多個過零點法;③曲線擬合法.給出了各自的誤差特性.

Hocaog lu 1996年用雙線性和二次型方法估計正弦信號的頻率[17],由于采用多速率采樣方式,對諧波、初相位等因素的影響可以不太敏感,適應性良好.

黃建人 1997年對正弦信號相位差和頻率測量的迭代算法進行了研究,使用一種峰值附近 3個采樣點的方法迭代而成,側重實時性,但對噪聲、失真的影響缺乏抑制性[18].

Lobos T.1997年提出了一種方法用于實時測量功率系統中的正弦波頻率[19],通過加窗 DFT技術結合 Prony估計算法完成,可以在較大失真的情況下達到較高精度,響應時間約為 2個～ 3個信號周期.

P.K.Dash 2000年提出了一種使用擴展復數 Kalman濾波器,用于對有失真的正弦信號進行實時頻率與幅度估計[20],仿真實驗驗證了該方法的實用性與有效性,它實際上給 FM和 AM信號的實時解調提供了另外一種途徑.

L.Angrisani2002年使用一種改進的 Chirplet變換方法實現瞬時頻率估計[21],可有 1% 的準確度,與其它方法不同,該方法可以同時解算出序列中含有的多個頻率信息.可用于 FM信號解調.

A.Routray 2002年提出了一種擴展 Kalman濾波器,用來實時跟蹤失真正弦波形的頻率,具有良好的動態特性,但由于強調實時性而精度略低[22].

王肖芬 2005年使用小波分頻法不斷濾除高頻分量,最終只剩低頻基波分量,然后使用周期計點法進行頻率測量[23],也可以采用剔除粗大誤差點、使用拋物線插值確定極值點后進行估計,1 024點可以獲得 10-7的誤差效果.

杜文超等人 2009年提出了一種基于相位匹配原理的正弦頻率估計算法[40],認為 DFT運算只是一種在相位匹配條件下的一組矢量的最大和運算.據此可以任意選定頻率范圍,并在此范圍內進行“相位匹配”后尋求最優,以獲得正弦頻率估計值.

1.4 其它形式的正弦曲線擬合

廣義的正弦模型以及周期信號均可用多頻正弦波形來表述和近似,因而常用多頻正弦理論和方法處理其波形擬合問題,各種多頻正弦擬合方法多基于基波頻率已知,或首先估計出基波頻率,然后進行“多頻正弦參數”估計,或借助于 DFT的頻域分析手段結合擬合估計.其擬合精度要低于四參數正弦擬合法,但可以給出多個頻率分量參數.

C.Offelli 1990年提出一種快速高精度的頻域算法,可以解決多頻正弦信號的幅度、頻率、相位等參數的實時測量[24],與其它傳統方法不同之處在于,它可以在很短的樣本點情況下獲得該結果.使得實時追蹤時變信號參數變成可能.

Rik Pintelon 1996年提出的多諧波正弦波形擬合過程,主要使用最小二乘最優化方式,以矩陣方程方式求解參數[25].它解決了非線性系統誤差在非精確同步采樣情況下帶來的不確定度,尤其是不再要求擬合序列所含信號周期大于 5,也不必要工作于同步采樣方式.

J.Schoukens 1997年用經過改進的可以同時辨識基波和諧波的正弦波擬合算法[26],獲得正弦激勵下的各次響應,并推導出時基失真和抖動結果.結果表明:①初始估計已經可以獲得非常高的準確度;②使用該方法并不要求采樣沒有混疊現象的限制.為時基失真和抖動的測量提供了進一步的應用有效性證明.

喻勝 2000年提出了一種提取噪聲中正弦信號的總體最小二乘法[27].屬于從多頻正弦序列中估計各頻率及其幅值,該方法需要有相位均勻分布的多樣本前提.

P.Carbone 2001年針對多頻正弦參數估計問題,指出加窗 DFT并不總是給出高精度結果,在某些情況下將出現較差結果,給出了避免較差結果出現的條件判據[28].

G.Simon 2002年提出的用于多頻正弦的周期信號最小二乘擬合方法[29],也是首先通過最小二乘算法估計出信號周期,然后使用三參數算法計算出各諧波分量,與原來的矩陣方法相比,具有運算量小、方差與精度均相近的優點.

T.Andersson 2005年研究了一種可以自動識別頻率數目的多頻正弦信號擬合算法[30],在高信噪比時效果良好.P.M.Ram os則使用多諧波正弦擬合法估計周期信號波形[31],算法簡單易用.

2 正弦擬合的效果評估

正弦波擬合方法的優劣評價與比較問題以及它們的影響因素問題,是每一個用戶尤其關心的.

John P.Deyst 1995年給出了正弦波四參數最小二乘擬合算法獲得參數的誤差界[32],使用蒙特卡羅搜索仿真法等對于各種可以想象的條件變化進行了細致研究,得到了切實有效的明確結論,并分別以經驗公式、誤差界曲線等形式,給出了 4個擬合參數隨諧波次數和幅度、噪聲、抖動、序列長度、序列所含信號周期個數等條件參量變化而變化的規律,是極為重要的基礎性研究工作.基本結論是:擬合獲得的4個參數的誤差界隨著諧波階次、序列長度、序列所含信號周期個數增大而變窄,隨著諧波幅度、噪聲、波形抖動的降低而變窄.每個參數的誤差界應該在一個確定區間內變化,最小誤差界即是其 Cramer-Rao界.

文獻 [33]則提出了一種四參數擬合軟件評價體系,包含眾多擬合軟件參數指標,用于評價和比較不同的擬合軟件.具體指標為:①最大記錄序列長度;②每個正弦周期最少采樣點數;③序列中最少信號周期數;④噪聲收斂條件;⑤幅度擬合不確定度;⑥頻率擬合不確定度;⑦相位擬合不確定度;⑧直流分量擬合不確定度;⑨由軟件帶來的擬合殘差方均根.

該指標的缺點之一是沒有列出收斂速度參數指標.原因之一是由于軟件運算速度是一個相對指標,除了與算法復雜性有關外,還與軟件收斂判據、計算機軟件環境、硬件資源等有關,不具有絕對意義和價值.另外的不足是未能引入魯棒性指標.

T.Andersson 2006年給出了 IEEE Standard 1057標準中所推薦的正弦波擬合法在高斯噪聲下的Cram er-Rao界[34],數值仿真也表明了它在量化噪聲條件下的有效性.給出了使用三參數還是四參數擬合法的判據,頻率已知且定長樣本序列和確定信噪比情況下,三參數正弦波擬合法要優于四參數正弦波擬合法.

A.Moschitta 2007年研究了量化噪聲影響下的正弦參數估計誤差的 Cram er-Rao下界[35],給出了基于統計分析手段的精確模型.

所有這些工作,均可為四參數正弦曲線擬合提供指導和參考依據.

3 降低估計誤差的手段

通過上述討論可知,正弦參數的擬合誤差不可避免,并且已經知曉它們的影響因素,人們在獲取測量序列時,可通過控制外界條件,使得最終擬合誤差盡量小.盡管如此,限于客觀應用條件,仍不能盡如人意.這時,使用濾波等手段對正弦序列進行預處理后再進行擬合將是降低擬合誤差界的一個有效手段.但多數濾波器在濾除測量序列噪聲和諧波過程中,不可避免地將對正弦波形的 4個擬合參數造成影響,這是人們所不希望的.

文獻 [36]專門針對正弦波采樣序列提出了一種濾波器,可用于正弦擬合的預處理,主要用來消除諧波因素影響,以便降低擬合誤差.其特點是理論上可以濾除全部偶次諧波和任意指定的奇次諧波,且對 4個待擬合的正弦波模型參數沒有影響.

I.Kollar 2005年針對正弦波擬合的局限:面對的不是正態噪聲,而是量化噪聲、非線性、失碼等確定性誤差,為了降低它們給擬合結果帶來的誤差,推薦對采樣數據進行預處理,剔除粗大誤差再進行擬合的方式[37].

筆者曾試圖使用小波消噪手段對正弦采樣序列進行預處理,主要用來消除量化噪聲因素的影響,以期達到降低擬合誤差的目的,尚未獲得良好效果.研究表明,參數選擇合理的情況下,小波變換可以獲得非常光滑的降噪濾波效果,但正弦波的失真度降低很少,或者反而升高,4個參數擬合誤差并未明顯降低,很多時候反而升高.

4 討 論

綜上所述可見,人們對于四參數正弦波曲線擬合的各方面問題均進行了研究,從不同方法的比較研究,到收斂性、魯棒性、軟件指標、誤差界問題,一直到降低擬合誤差的濾波手段.針對擬合算法本身,到目前為止,人們基本上解決了其收斂性問題,使用的方法先后有:①提高初始估計值的精度;②將正弦波的 4個參數拆開分別估計,以繞開四參數非線性迭代的收斂問題;例如先估計頻率,再使用三參數算法獲取另外三個參數;先估計頻率和相位,再估計幅度和直流偏移等.③將頻率搜索區間劃分為多個子區間的網格法;④研究具有明確收斂區間和收斂條件的新算法;例如遺傳算法、組合希爾伯特變換和希爾伯特黃變換等.

針對四參數正弦波的條件物理模型方式,人們研究了不同的解決途徑,除了包含多個波形周期的一般條件外,還專門研究了針對含有一個波形周期序列的擬合算法,以及僅有部分波形周期的殘周期條件下的正弦波擬合算法,豐富和發展了正弦問題的理論技術手段,未來的算法研究將著眼于如何提高擬合速度、增強實時性以及提高算法的魯棒性.

關于正弦擬合算法本身的評價以及擬合誤差的研究也有了明顯的進展,人們已經明確了擬合誤差都與哪些因素有關,并以蒙特卡羅仿真手段獲得了不同條件下的誤差界估計結果,針對高斯噪聲和量化噪聲兩種情況,已經給出了其擬合誤差的下確界—— Cramer-Rao界.軟件指標的研究也有了一些進展,已經建立起了初步的評價體系和手段,可以直接用于不同擬合軟件的評價和比較.

對于降低擬合誤差的手段研究也有了一些進展,已經有專門用于正弦波序列的濾波器,濾除諧波因素的影響,小波降噪手段的應用研究也被使用過,尚未獲得理想效果.

另外,對于正弦波形單個參數的估計算法,如頻率、幅度和相位等的研究,也獲得了一些有價值的結論,并可望直接用于 FM,AM信號的數字化解調.而多頻正弦參數估計理論和方法,無疑是物理模型下正弦參數估計的一種有效補充和完善,對于其諧波、失真、噪聲等的參數估計具有明顯的意義和價值.

這些研究工作,已經逐步形成了一個理論技術體系,并在被不斷完善、發展和直接應用于自然界中正弦問題的分析與解決.

鳴謝:本文所述工作,得到了航空科學基金(殘周期正弦波形的四參數擬合算法研究)的支持,謹致謝忱.

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