多項式互素的等價條件

張景曉

（德州學院 數學系，山東 德州 253023）

多項式互素的等價條件

張景曉

（德州學院 數學系，山東 德州 253023）

多項式的互素是多項式理論的重要內容.本文利用反證法證明了有關多項式互素的若干等價條件.

分塊行列式；分塊加邊法；矩陣

多項式理論是代數學的重要內容之一，多項式的互素是多項式理論的重要概念，本文在人們對多項式互素性質研究的基礎上做了更深入的探討，利用反證法證明了有關多項式互素的若干充要條件.

性質1設f(x)，g(x)∈P[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)，f(x)+g(x))=1

證明必要性，反證，若(f(x)，f(x)+g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除f(x) +g(x)，從而d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，f(x)+g(x))=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)+g(x)，故d(x)整除f(x)與f(x)+g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性質2設f(x)，g(x)∈P[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.

證明必要性，反證，若(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)+g(x)，d(x)整除f(x)-g(x)，可推知d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)+g(x)，且d(x)整除f(x)-g(x)故d(x)整除f(x)+g(x)與f(x)-g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性質3設f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.

證明必要性，反證，若(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除f(x)h(x)+g(x)，可推知d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)h(x)+g(x)，故d(x)整除f(x)與f(x)h(x)+g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性質4設f(x)，g(x)∈P[x]，m、n是正整數，則(f (x)，g(x))=1的充要條件是(fm(x)，gn(x))=1.

證明 必要性，反證，若(fm(x)，gn(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，取d(x)的一個不可約因式p(x)，則p(x)的次數大于1，且p(x)整除d(x)，從而p(x)整除fm(x)，p(x)整除gn(x)，由于p(x)不可約，由不可約多項式的性質知，p(x)整除f(x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與p(x)的次數大于1矛盾，因此(fm(x)，gn(x))=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除fm(x)，d(x)整除gn(x)，故d(x)整除fm(x)與gn(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)， g(x))=1.

性質5設f(x)，g(x)∈P[x]，m、n是正整數，則(f (x)，g(x))=1的充要條件是((f(x)+g(x))m，(f(x)-g(x))n)=1.

證明必要性，反證，若((f(x)+g(x))m，(f(x)-g(x))n) =d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，取d(x)的一個不可約因式p(x)，則p(x)的次數大于1，且p(x)整除d(x)，從而p(x)整除(f(x)+g(x))m，p(x)整除(f(x)-g(x))n，由于p (x)不可約，由不可約多項式的性質知，p(x)必整除f (x)+g(x)，且p(x)整除f(x)-g(x)，故可推知p(x)整除f (x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)必整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與p(x)的次數大于1矛盾，因此((f(x)+g (x))m，(f(x)-g(x))n)=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)+g(x)，d(x)整除f(x)-g(x)，從而d(x)整除(f(x) +g(x))m，d(x)整除(f(x)-g(x))n，故d(x)整除(f(x)+g(x))m與(f(x)-g(x))n的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性質6設f(x)，g(x)∈P[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是((f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g(x))=1.

證明必要性，反證，若(f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g (x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，取d(x)的一個不可約因式p(x)，則p(x)的次數大于1，且p(x)整除d (x)，從而p(x)整除f(x)g(x)，p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，由于p(x)不可約，由不可約多項式的性質知，p(x)必整除f(x)與g(x)中的一個多項式，若p(x)整除f(x)，又因為p(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，可推知p(x)整除g (x)，故p(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與p(x)的次數大于1矛盾，因此((f(x)g(x)，f(x)g(x)+f(x)+g(x)) =1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)g(x)，d(x)整除f(x)g(x)+f(x)+g(x)，從而d(x)整除f (x)g(x)與f(x)g(x)+f(x)+g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.

性質7設f(x)，g(x)∈P[x]，m、n、k都是正整數，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是((fm(x)gn(x)，(f(x) +g(x))k)=1.

證明必要性，反證，若((fm(x)gn(x)，(f(x)+g(x))k)=d (x)≠1，則d(x)的次數大于1，取d(x)的一個不可約因式p(x)，則p(x)的次數大于1，且p(x)整除d(x)，從而p(x)整除fm(x)gn(x)，p(x)整除(f(x)+g(x))k，由于p(x)不可約，由不可約多項式的性質知，p(x)必整除f(x)與g(x)其中之一，且p(x)整除f(x)+g(x)，故可推知p(x)整除f(x)，且p(x)整除g(x)，故p(x)必整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與p(x)的次數大于1矛盾，因此( (fm(x)gn(x)，(f(x)+g(x))k)=1.

充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大于1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而d(x)整除f(x)g(x)，d(x)整除f(x)+g(x)，因此d(x)整除fm(x)gn(x)，d(x)整除(f(x)+g(x))k，故d(x)整除fm(x)gn(x)與(f(x)+g(x))k的最大公因式1，這與d(x)的次數大于1矛盾,因此(f(x),g(x))=1.

〔1〕北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕楊子胥.高等代數習題解[M].濟南：山東科學技術出版社，2002.

〔3〕姚慕生.高等代數學[M].復旦大學出版社，2008.

〔4〕周亞蘭.高等代數學習指導書[M].西北大學出版社，2007.

O151.1

A

1673-260X（2010）08-0001-02