核磁共振測井改進TSVD反演算法研究

李仙枝

【摘 要】傳統TSVD算法穩定，運算量很大，適用于高信噪比的數據反演。將一種改進TSVD算法應用于核磁測井數據的反演中，該方法通過引入正則化算子，對模型進行平坦度約束，解決了傳統TSVD反演算法在實際應用中存在的計算量大和T2譜分布不連續的問題，提高了TSVD算法的反演精度。數值模擬實驗表明，該算法在較大范圍內具有穩定性，反演結果穩定可靠，可以滿足核磁共振測井工作的需求。

【關鍵詞】核磁測井；正則化；TSVD算法；平坦度約束

【Abstract】The effect is not that satisfactory when the traditional TSVD algorithm is applied to the T2 spectrum inversion of NMR logging data acquired，in particularoscillation occurs if the signal-noise ratio is relatively low. Aiming at the above problem， a modified regularization method of TSVD algorithm is proposed. Through applying the flatness restriction on the model with the introduction of regularization operator， the precision of TSVD algorithm is largely increased. Numerical simulation experiments indicate that this modified algorithm is stable in a wide range， and thatthe T2 spectrum inversed is still smooth and continuous，thus it is a better solution to the oscillation problem of TSVD algorithm when applying to data with low signal-noise ratio.

【Key words】NMR logging；Regularization；TSVD algorithm；Flatness restriction

在常規的核磁共振測井解釋技術中，橫向弛豫時間譜（以下簡稱T2譜）能夠提供許多巖石物性和流體特性的信息，如巖石孔隙大小分布，有效孔隙度，滲透率，可動流體與不可動流體飽和度等，這些獨特的地層巖石物理信息為地質勘探和油田開發過程中的儲存評價、產量預測和開發方案的制定提供了重要依據。因此，T2譜反演技術在核磁共振測井中具有重要地位。近年來，國內外出現許多不同的反演算法，主要有非負最小二乘法、奇異值分解法、聯合迭代重建反演算法等[1]。如何建立快速、適用、分辨率高且對信噪比要求不高的反演方法，仍然是一個有待進一步研究的重要課題。

本文從第一類積分方程的反演求解入手，推導出適合于巖石核磁弛豫多指數反演算法改進奇異值分解（改進SVD）方法，傳統TSVD算法穩定，運算量很大，適用于高信噪比的數據反演，當信噪比較低時，其反演精度不高，將會造成T2譜的不連續性。本文將一種改進TSVD算法應用于核磁共振測井數據的反演中，將正則化算子引入TSVD算法，對模型進行平坦度約束以得到最光滑的解。數值模擬實驗表明，本文所述算法穩定，精度高，對不同信噪比的回波串反演都能得到穩定的T2譜。

1 核磁共振測井信號模型

現代NMR測井中廣泛采用CPMG脈沖序列測量T2自旋回波[1]，其離散數學模型為：

其中，m是采集的每個回波串中包含的回波個數；ti為時間（1*TE，2*TE，…i*TE，…m*TE）（TE為回波間隔）；Y=[y1，y2，…，ym]T表示回波信號的幅值；n是橫向弛豫分量的個數，即弛豫譜布點數；T2j是第j種弛豫分量對應的橫向弛豫時間；X=[x1，x2，…，xn]T，xj是第j種分量對零時刻信號幅度的貢獻值，根據其物理意義，xj必須滿足非負約束條件；ε=[ε1，ε2，…，εm]T是噪聲信號。可見，反演實質上可歸結為求解病態方程：

Ax=b（3）

核磁共振測井反演中遇到系數矩陣通常為大型混定矩陣。此時，無論是采用針對超定問題的最小二乘法還是針對欠定問題的最小模型法，都無法得到滿意的解[2]。正則化是解決這類不適定問題的一類重要手段，其基本思想是用一個對攝動較不敏感的系統替代原系統，結合某些解的已知信息對解進行限制，使其能很好地逼近原問題的真實解。

2 理論分析

對方程（3）的系數矩陣Am×n進行SVD分解：

3 數值模擬

首先構造雙峰油水譜模型驗證改進TSVD算法的效果。選擇回波間隔TE=0.2ms，回波個數NE=1000。橫向弛豫時間T2布點范圍為0.0003-3s，布點數為128。運用TSVD法和改進TSVD法分別對構造的無噪回波數據進行T2譜反演，如圖1所示。計算得TSVD法的相對誤差為3.16%，改進TSVD法的相對誤差為0.47%。可見，TSVD算法經過改進后誤差下降了85%，幾乎與構造譜曲線完全重合。

向以上的模擬數據中混入不同幅度的高斯白噪聲，結果如圖2所示。總體看來，這兩種算法在信噪比較高（SNR=300、SNR=100和SNR=50）時反演精度較高，但是當數據的信噪比繼續下降時（SNR=30），TSVD法出現明顯震蕩，而改進型TSVD方法由于加入了對平滑度的約束，較好地抑制了譜線的震蕩；同時反演譜與構造譜分布趨勢一致，譜線光滑連續，可見與TSVD算法相比，改進型TSVD算法更適用于低信噪比的數據。

4 結論

核磁共振測井是一種間接的測量技術，它的關鍵在于對回波信號的反演。而核磁共振弛豫測量多指數反演的結果受多種因素的控制，并且各種算法對反演參數的響應特征各不相同。由于傳統的TSVD算法計算量大，耗時，適用于高信噪比數據等問題，本文提出了改進TSVD算法。該算法對模型施加平坦度約束實現正則化，較好地抑制了反演結果的震蕩，極大地優化了傳統TSVD算法的反演效果。通過將傳統TSVD算法和改進TSVD算法應用油水同層模型的解譜結果進行對比，驗證了該改進算法的有效性。數值仿真結果表明，改進TSVD反演算法穩定，運算速度快，容易實現非負約束條件，獲得連續性好的T2譜，該算法可以滿足實際應用的要求。

【參考文獻】

[1]王為民，郭和坤.陸相儲層巖石核磁共振物理特征的實驗研究[J].波譜學雜志，2001，18（2）：113-121.

[2]姚姚.地球物理反演基本理論與應用方法[M].武漢：中國地質大學出版社，2002：25-30.

[3]Per Christian Hansen， Takashi Sekii， Hiromoto Shibahashi. The Modified Truncated SVD Method for Regularization in General Form[J].SIAM J. Sci. and Stat. Comput.，13（5），1142-1150.

[4]張文權，翁愛華.地面核磁共振正則化反演方法研究[J].吉林大學學報：地球科學版，2007，37（4）：809-0813.

[責任編輯：劉展]