用Excel解決結構力學計算問題

常建梅 宋媛媛

0 引言

在長期的結構力學教學中,發現學生做作業需要的時間很長。究其原因:1)課程內容不熟悉致使方法運用不熟練造成花費時間較多;2)計算內容很多,手算起來不容易,尤其是超靜定結構,方程解錯了,后續的內力位移等都會出錯。回過頭來重算,所用的時間自然就增多了。而對于學習結構力學,一定數量的習題是必須要保證的,否則很難掌握和理解所學的內容。這就給學生帶來很大的困擾,在學習結構力學和其他課程的時間分配上經常會有沖突。在保證一定計算能力訓練的基礎上,如果能再找到一種簡單的輔助算法,一定可以讓學生分析問題和解決問題的能力得到同步提高。

Excel擁有強大的數據處理功能。近年來,在諸多領域包括土木工程,越來越多的人已經開始使用Excel來處理一些實際問題。另一方面,對Excel的掌握也正在成為國內外土木工程領域中的一項不可缺少的要求,在美國,利用Excel制作表格用于解決工程問題的計算表單(Spread sheet)是對結構工程師的一項基本要求,美國注冊結構工程師的考試大綱就明確將Spread sheet列為考試內容,而且美國的很多大學里的土木工程專業,也開有計算表單方面的課程。所以,讓在校的本科生將重要的專業基礎課《結構力學》和強大的軟件Excel聯手,在學習結構力學的過程中輔以Excel程序應用,不僅解決學習階段的問題,還可以為以后的職業生涯開辟更寬廣的道路。

1 用Excel求解線性方程組

1.1 在力法和位移法中的應用

在超靜定結構計算中,不論位移法還是力法,都要求解線性方程組。每一個系數的計算可通過結構力法的方法得到,那解方程的過程則可以交給Excel來快速解決。在Excel中求解線性方程組,可以通過矩陣運算和規劃求解兩種方法。例如力法中,經過圖乘后各系數已經算出,方程為:

那么解方程可通過Excel矩陣運算求解。步驟如下:

1)在Excel單元區域A1:B2和 D1:D2中輸入系數矩陣A和常數陣列B所有元素的值。2)選中A4:B5作為A1:B2系數矩陣的逆矩陣的位置,輸入函數“=MINVERSE(A1:B2)”,同時按Ctrl+Shift+Enter,得到逆矩陣。3)進行矩陣相乘,輸入“=MM ULT(A4:B5,D1:D2)”,同時按Ctrl+Shift+Enter,得到結果。

可通過選中單元格D4:D5,右鍵-設置單元格格式-數值-小數位數來設置結果的顯示位數。

當然,求解線性方程組也可通過規劃求解來實現。但沒有利用矩陣運算函數方便,這里就不再詳細敘述了。

1.2 在矩陣位移法中的應用

學習矩陣位移法,學生也要通過幾個數目的習題理解矩陣位移法的思路和整個過程,如局部坐標系下單元剛度矩陣建立,整體坐標系下單元剛度矩陣的生成,等效荷載轉換等等。在這一過程中有大量的矩陣運算,那我們都可以通過Excel中的矩陣加減、矩陣相乘、矩陣的逆運算很方便的實現。

由上所述,在結構力學計算中通過Excel矩陣運算,可方便地求解方程組,為力法、位移法、矩陣位移法等計算提供了很大方便,值得嘗試。

2 用Excel計算連續梁影響線

土木工程橋梁專業要求很好地掌握影響線。連續梁影響線形狀可根據機動法很容易繪出,但每一位置處所求量值的影響線的數值計算較為復雜。對等跨連續梁,還可以通過查表得到影響線數值的數據;對不等跨連續梁,就需要找一種簡便易行的輔助方法。其次,還要求出在所加荷載如均布荷載作用下所求量值的大小。根據公式:

這就需要知道影響線與軸線所圍合圖形的面積,這一計算過程是很繁瑣的,而這正是Excel的優勢所在。下面依次從兩個方面予以說明。

1)求指定量值影響線數值。以圖1為例,如要求 MB的影響線。圖1b)為 MB的影響線形狀。

以第一跨為例,影響線數值計算步驟如下:

a.分別在A2中輸入連續梁跨度L為6 m,B2中輸入x為0,C2中輸入“=A2-B2”,D2中輸入MA值為-0.5,E2中輸入“=2*A2-B2”,F2中輸入MB的值為1,G2中輸入“=A2+B2”,H2中輸入“=B2*C2*(D2*E2+F2*G2)/(6*A2)”。b.在B3中輸入0.6,B4中輸入1.2,使用右下角小十字下拉形成等比數列,其余各列直接利用下拉十字生成表單如圖2所示。

其余跨的MB影響線數值、其他量值的數值可用同樣的方法求得。

2)計算影響線的面積。由于圖1b)影響線形狀為曲線,面積可通過梯形公式、辛普森公式等數值積分方法求得。以辛普森公式為例,公式為:

在Excel中只要在圖2的基礎上繼續進行即可。步驟如下:

a.在I2輸入“=*G2”,I14中同此。其他 I列輸入“=2*G2”。b.在 J3中輸入“=2*G2”,每隔一個輸入一次。代表積分中間隔的數據點。c.分別對I列和J列求和。d.將求和數據相加并乘以h/3,得到積分結果,存放于K15,如圖3所示。

由此可見,在連續梁影響線的計算過程中,運用Excel強大的數據批處理功能,可大大提高效率。在三鉸拱、無鉸拱的計算中,更可以利用這種方法計算各個截面內力。

3 結語

借助Excel簡化計算,學生在學習結構力學的過程中可以起到事半功倍的效果,大大提高學習效率。學生用于計算的時間顯著減少,所做習題量增加,并有更多時間用于思考一些深層次的問題;而且借助其強大的功能,Excel軟件可以推而廣之地有效解決許多其他方面、其他課程的實際問題。在這一過程中,使Excel運用更加嫻熟,為以后實際工作打下堅實基礎。Excel確實是學習結構力學的有效工具。

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