一種單站純方位跟蹤中的非線性最小二乘方法*

穆曉斌

(海軍駐北京作戰系統軍事代表室 北京 100036)

1 引言

由于潛艇隱蔽攻擊的需要,純方位跟蹤問題(BOT)引起了廣大學者的普遍關注。到目前為止,對該問題的研究已經建立了大量、豐富的方法。文獻[1]對純方位目標跟蹤系統的可觀測性進行了分析,得出了系統可觀測的必要條件。文獻[2]介紹了確定性參數計算方法和基于最小二乘原理的方位平差法。文獻[3]建立了直角坐標系下的推廣卡爾曼濾波算法,這種濾波器常常導致發散。文獻[4]采用了擬線性濾波器,即在直角坐標下將非線性量測方程擬線性化,而擬線性濾波器的解出現了偏倚。文獻[5]在改進的極坐標系下選擇目標運動參量,再利用這種參量建立推廣卡爾曼濾波器,但這種濾波器計算量太大。文獻[6]構建基于修正極坐標系下的近似線性最小二乘濾波算法,并以它作為卡爾曼濾波器的初始化算法。但是這些方法仍然滿足不了潛艇日益增長的隱蔽攻擊需要。最小二乘濾波具有不計誤差統計特性,使用簡單,實現容易、有效的特點。因而得到了最為廣泛的使用,成為潛艇火控子系統中一種不可缺少的濾波方法。目前各種論文和雜志上論述的采用線性最小二乘濾波的方法較多,而對于基于非線性最小二乘濾波方法的敘述和討論較少。因此對于新方法和新思路進行研究和討論對于純方位跟蹤問題的深入研究具有重要意義。

2 純方位法問題的描述

純方位跟蹤問題,是指觀測器利用觀測器材量測到的一組受污染的目標方位,來估計目標的運動參數。

圖1 目標-觀察者運動態勢圖

具體采用數學和物理模型的描述如下:見圖1目標和觀察者的運動態勢。以地理正北方向為y軸,地理正東方向建立直角坐標系。O點為觀察者(本艇)觀測到第1個目標方位βm(1)時的本艇位置,(xo(i),yo(i))為ti時刻觀察者的位置坐標。(βm(1),βm(2),…,βm(i))為本艇觀測到的目標方位序列。假定目標做勻速直線運動,在已知βm(1)時 ,利用(D1,Cm,Vm),就可以唯一地確定目標的運動軌跡;在已知(xt0,yt0,vtx,vty)時,也可唯一確定目標的運動軌跡。(D1,Cm,Vm)分別代表目標的初距、航向和航速。(xt0,yt0,vtx,vty)為目標初始位置橫縱坐標、橫向速度分量和縱向速度分量。

所謂的純方位跟蹤,就是利用方位觀測序列(βm(1),βm(2),…,βm(i))及(xo(i),yo(i)),ti等已知量,在假定目標做等速直線運動的情況下,求解(D1,Cm,Vm)或(xt0,yt0,vtx,vty)的過程。

3 模型建立及求解

這里選擇x=[x1 x2 x3 x4]T=[xt0 yt0 vtx vty]T作為待估計的變量。設 T為采樣周期,初始時刻為設置為零,第iT時刻測量的目標方位記為βm(i)。以觀測者的初始位置為坐標原點,正北方向為坐標縱軸,正東方向為坐標橫軸建立直角坐標系。

由式(1)得

對式(2)兩邊取正切得

將 xt(i)=xt0+iTvtx和yt(i)=yt0+iTvty代入式(3)得

設計目標函數為

這樣對x的估計轉化為求F(x)的極小化問題minF(x)。由于fi(x)是x的非線性函數,F(x)的極小化是一個非線性最小二乘問題。文獻[6]給出了解非線性最小二乘問題的兩種迭代方法,本文選擇了Marquardt方法,這種方法把一個正定對角矩陣加到Ak)-1上去,改變原矩陣的特征值結構,使其變成條件數較好的對稱正定矩陣,并且不需要作一維搜索。這里給出針對單站純方位跟蹤問題算法描述,描述的方法采用偽碼。偽碼中 A、f的計算公式,參見式(7)、式(8);式(8)中偏導數的計算公式,參見式(9);x*為算法的估計值。

圖2 Marquardt方法的偽碼描述

4 仿真分析

為了考察這種非線性最小二乘方法的計算效果,特進行了仿真分析。仿真時間為20min,目標初始距離為20km,初始方位為45°,航速為 8m/s,航向為120°;觀測者初始位置為(0,0),先走方位航向5min,再走方位航向加90度15min,航行速度為4m/s。測量方位角采用真實方位角值附加均方差為0.3°的高斯白噪聲生成。由于觀測者機動,純方位跟蹤問題才有解,解算從觀測者機動以后開始。取初始點 x=(9000,9000,5,-3),初始參數?1=0.01,增長因子β=10,允許誤差ε=1.0e-010。仿真將非線性最小二乘方法的解算結果跟線性四維最小二乘方法[7]的解算結果進行了比較,如圖3～圖4所示。從圖中我們可以看出,非線性最小二乘方法的估計誤差明顯小于線性最小二乘方法。但是,同時仿真也發現,非線性最小二乘方法受初始點設置的影響較大,當初始值偏離真實值較大時,估計效果不好,甚至會發散;求解過程中還受到?1、β、ε設置的影響。

5 結語

單站純方位跟蹤問題是水下目標跟蹤中的重要研究內容之一。文章通過建立一個非線性最小二乘模型并對其求解來解決單站純方位問題,對建模過程和求解方法給出了詳細的過程與步驟。對于非線性最小二乘方法初始化困難的問題,可以采用觀測者機動以后的線性最小二乘估計為該方法的初始值,需要進一步的深入研究。仿真結果表明,該方法優于四維線性最小二乘方法,估計精度有了較大提高,是一種有效的算法,對于潛艇實施隱蔽跟蹤具有重要意義。

[1]Nardone,s.c.,Aidala,V.J.Observability criteria for bearings-only target motion analysis[J].IEEE Trans.AES-17,1981

[2]趙正業.潛艇火控原理[M].北京國防工業出版,2003

[3]Aidala,V.J.Kalman filter behavior in bearings-only tracking application[K].IEEE Trans.AES-15,1979(1)

[4]Aidala,V.J.,Nordone,S.C.Biased estimation properties of the pseudolinear trackingfilter[J].IEEE Trans.AES-18,1982(7)

[5]Aidala,V.J.,Hammel,S.E.Utilization of modified polar coordinates for bearings-only tracking[J].IEEE Trans.AC-28,1983

[6]陳寶林.最優化理論與算法[M].北京:清華大學出版社,2005

[7]羅浩,趙厚奎,楊津驍.一種解決純方位跟蹤問題的新的最小二乘模型[J].火力指揮與控制,2008,33(11):137～139