極限上限分析中“切線法”引入非線性破壞準則的探討

趙煉恒，李 亮，但漢成，羅蘇平，任東亞

（中南大學土木建筑學院，長沙 410075）

極限上限分析中“切線法”引入非線性破壞準則的探討

趙煉恒，李 亮，但漢成，羅蘇平，任東亞

（中南大學土木建筑學院，長沙 410075）

基于極限分析上限法，討論了“切線法”引入非線性M-C破壞準則時采用“初始切線法”和“外切線法”對邊坡臨界高度、地基承載力、主動土壓力3個經典土力學問題的影響，用以分析“外切線法”引入非線性破壞準則對分析巖土問題的合理性和有效性。研究表明：非線性參數對土工結構的安全性有重要影響，恰當引入巖土材料的非線性破壞特性更加符合工程實際；基于上限法通過“初始切線法”引入非線性破壞準則是眾多上限解答的一個上限解答，特定條件下能夠獲得較好的上限解，但隨著非線性參數m的增大由此引起的誤差也越來越大，采用“外切線法”更具有效性和合理性。

土力學；非線性M-C破壞準則；極限上限法；切線法

1 概 述

現有研究表明，巖土介質服從非線性破壞準則［1-4］，自從Zhang和Chen（1987）［5］引入了冪函數非線性破壞準則以來，基于該破壞準則的巖土工程問題的分析研究成為熱點。Collins（1988）［6］，Drescher（1988）［7］和馬崇武（1999）［8］根據“插值法”，采用非線性破壞準則獲得了邊坡的穩定性系數。Maksimovic（1996）［9］和Li（2007）［10］結合數值分析法分析了巖土非線性破壞準則對邊坡穩定性的影響。王建鋒（2005）［11］基于Janbu普遍條分法，獲得了非線性強度下的邊坡穩定性分析；胡衛東（2006）［12］基于極限平衡法研究了非線性強度準則對邊坡安全系數的影響。

上限法由于其明確的物理意義和能夠提供嚴格的解答范圍而被更多學者認可，楊小禮（2002，2004，2006，2007）［13-16］基于非線性SQP優化方法和“外切線法”研究了邊坡的穩定性，土壓力和地基承載力問題。胡衛東（2007）［17］采用“初始切線法”對螺旋線破壞機制條件下的豎直邊坡進行了穩定性系數計算并與Zhang X J和Chen W F（1987）［5］的結果進行了對比，認為“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法也是有效、合理的。但由于該文獻所舉對比算例極為有限，尚不足以說明“初始切線法”的正確性，此時ct和φt實際均為常數，在進行分析時與基于線性破壞準則的方法無實質上的差別，因而“初始切線法”的合理性有待進一步證實。

基于以上原因，本文主要討論“外切線法”引入非線性破壞準則時采用“初始切線法”和“外切線法”對邊坡臨界高度、地基承載力、主動土壓力3個經典的土力學問題的影響，用以分析“外切線法”引入非線性破壞準則對巖土問題的合理性和有效性。

2 基本理論與假設

2.1 非線性破壞準則

設非線性破壞準則為

將式（1）繪制成如圖1所示的曲線。c0，σt，m均為需通過試驗確定的巖土材料參數，c0為曲線與縱軸的截距，-σt為曲線與橫軸的截距，曲線恒定通過（0，c0）和（-σt，0）兩點，m決定強度曲線的彎曲程度，進而影響巖土材料的屈服特性。當m＝1時，式（1）變為線性Mohr-Coulomb強度準則。

圖1 非線性破壞準則Fig.1 Nonlinear failure criterion curve

2.2 基于非線性破壞準則的極限分析方法

結構上限分析時，提高材料的屈服強度不會降低結構的極限載荷，因而采用上限分析時，對非線性破壞準則下的上限分析可采用“外切線法”，以提高巖土材料強度為手段來分析結構物的上限解［2，18］。2.2.1 外切線法

圖2中虛線所示即為由切線和初始切線確定的線性破壞準則，切線為經過非線性破壞準則上的任一點并與其外切的直線方程，若曲線的曲率隨著σn的增加而減小則切線完全位于曲線的外側，位于直線破壞準則上的所有點對應的材料強度均相應得到了提高，故切線表示的破壞準則上限解答一定為真實解答的上限。初始切線屬于切線的一種特殊情況，切點位于點（σn＝0，τ＝c0）處，一般情況下該初始切線表示的破壞準則大于切線表示的破壞準則，因而也是真實解答的一個上限。

圖2 非線性破壞準則的切線Fig.2 The tangential line for a nonlinear failure criterion

表達式（1）的切線方程為

式（2）中，ct，tanφt分別表示切線的截距和斜率，如圖1所示。ct，tanφt的表達式為

2.2.2 初始切線法

當采用“初始切線法”時，由于切點位于點（σn＝0，τ＝c0）處將σn＝0代入式（4），可得初始切線的斜率

則初始切線的方程為c0和φt一經確定后，ct，tanφt實際退化為只與非線性參數m相關的參數了，此時即可用初始切線代替非線性破壞曲線做上限分析，在進行上限分析時與線性破壞準則便無差別。

2.2.3 基本假設

基于巖土材料非線性破壞準則，本文在采用極限分析上限理論對“外切線法”引入非線性破壞準則時，應用了如下假設：①所有問題均符合平面應變問題條件；②巖土材料為理想剛塑性體，破壞時服從非線性M-C破壞準則，破壞面上某一點對應的抗剪強度指標為ct，φt（ct，φt的具體含義如圖2所示），并遵循相關聯流動法則。

需要說明的是：極限分析上限定理是對服從相關聯流動準則的材料而發展起來的，因而對滿足非相關聯流動準則的巖土材料是不適用的，然而根據極限分析定理［18］：服從非相關聯流動準則的材料的實際破壞荷載，必定小于或等于服從相關聯流動準則的同樣材料的實際破壞荷載。因而采用相關聯流動準則計算土工構筑物的極限平衡狀態參數實際仍然滿足上限定理的基本概念。

3 對比計算與分析

為分析“外切線法”引入非線性破壞準則進行上限分析的合理性和有效性，選取了以下3個經典的土力學問題進行計算與分析。

3.1 邊坡臨界高度、穩定性系數

3.1.1 對數螺旋線破壞機制

已有研究成果表明［2，5，17，18］：簡單邊坡的破壞面更接近對數螺旋面形狀，因而在簡單邊坡上限分析中也較常采用這種旋轉破壞機構。以對數螺旋線旋轉間斷機構為例進行分析，如圖3所示。根據上限法能耗計算過程，使外荷載所做的功率等于內能耗散率，可求得邊坡穩定性系數Ns（θh，θ0，α，β、β′，φt）：

圖3 邊坡穩定性的破壞機構Fig.3 Rotational failuremechanism for slope stability

式中：f1，f2，f3，f4為與θh，θ0，α，β，β′，φt相關的函數，具體表達式同文獻［18］，不同在于本文中的內摩擦角采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準則的內摩擦角φt。

進而可以獲得邊坡的臨界高度Hcr：

3.1.2 問題的分析

根據極限分析上限定理，上式給出了邊坡穩定性系數Ns的一個上限。當θh，θ0，β′，φt滿足條件：

時，函數Ns（θh，θ0，α，β，β′，φt）取得一個最小值，進而得到邊坡臨界高度Hcr的一個最小上限。以上最小值求解過程可以采用序列二次規劃優化方法實現。值得注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實際已經轉化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優化計算過程。

3.1.3 對比計算與分析

為便于分析，選取文獻［5］的算例為研究對象，假設邊坡巖土材料服從非線性破壞準則，坡頂傾角α＝0°，坡趾傾角β分別為45°，60°，75°，90°，土的重度γ＝18.6 kN／m3，巖土體粘結力c0＝90 kN／m2，σt＝247.3 kN／m2，當m＝1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5時穩定性系數Ns計算對比的結果如表1和圖4所示。

由表1和圖4可知：隨著m的增大，穩定性系數Ns下降得較快，因而巖土體非線性強度參數的取值對評定土坡穩定性有著重要的影響，同時對于巖土材料，引入非線性強度曲線假設是非常必要的，因為非線性破壞準則更符合工程的實際情況。

表1 非線性破壞準則下邊坡穩定性系數Ns計算結果對比Table1 Comparison of results obtained by differentmethods on slope stability factor Nsbased on nonlinear failure criterion

非線性破壞準則條件和其它參數不變的情況下，隨著邊坡坡趾傾角β的減小，采用“初始切線法”獲得的結果與較優的上限解答結果誤差增大，由β＝90°時的最大絕對誤差2.95%增加至β＝45°時的最大絕對誤差16.12%。可見：對于邊坡傾角較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法誤差較小；但對于邊坡傾角較小的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法會造成較大的誤差。同時，對比表明，本文采用“外切線法”引入非線性破壞準則所獲得的計算結果是同類方法中的較小結果，故對于上限法而言可以認為本文結果更接近于真實解答，是更優解答。

3.2 擋土墻主動土壓力

3.2.1 對數螺旋線破壞機制

式中：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7為與θh，θ0，β，φt相關的函數，具體表達式同文獻［16，18］，其中能量耗散計算參數c和φ為采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準則的粘聚力ct和內摩擦角φt。

3.2.2 問題的分析

根據極限分析上限定理，上式給出了主動土壓力Pa的一個下限。當θh，θ0，φt滿足條件

時，函數Pa（θh，θ0，β，φt）取得一個最大值。以上最大值求解過程可以采用序列二次規劃優化方法實現。同樣需要注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實際已經轉化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優化計算過程。

3.2.3 對比計算與分析

為便于分析，選取文獻［16］的算例為研究對象，假設邊坡巖土材料服從非線性破壞準則，墻后填土水平，墻趾傾角β為90°，土的重度γ＝18 kN／m3，巖土體粘結力c0＝9 kN／m2，σt＝20 kN／m2，當m＝1.2，1.4，1.6，1.8，2.0時主動土壓力Pa計算對比的結果如圖6所示。

由圖6可知：隨著m的增大，主動土壓力Pa明顯增大，因而巖土體非線性強度參數的取值對評定土坡穩定性有著重要的影響，對于巖土材料，引入非線性強度曲線假設是非常必要的，因為非線性破壞準則更符合工程的實際情況。非線性破壞準則條件和其它參數不變的情況下，隨著非線性參數m的增大，采用“初始切線法”獲得的結果與較優的上限解答結果誤差增大，由m＝1.2時的最大絕對誤差7.73%增加至m＝2.0時的最大絕對誤差13.28%。可見：對于非線性程度較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法會造成較大的誤差，采用“外切線法”引入非線性破壞準則的方法具有更好的合理性。

圖4 非線性破壞準則下邊坡穩定性系數Ns計算結果對比Fig.4 Comparison of calculated results obtained from differentmethods of slope stability factor Nsbased on nonlinear failure criterion

圖5 主動土壓力計算的破壞機制Fig.5 Logarithm ic spiral failuremechanism for active earth pressure

圖6 非線性破壞準則下主動土壓力計算結果對比Fig.6 Com parison of calculated results obtained from differentmethods of active earth pressure based on nonlinear failure criterion

3.3 條形基礎Prandtl機制地基承載力

3.3.1 Prandtl破壞機制

引用文獻［18］的粗糙條形基礎地基承載力Prandtl破壞機制如圖7。根據上限法能耗計算過程，使外荷載所做的功率等于內能耗散率，可求得粗糙條形基礎地基極限承載力Pu（ξ，η，φt）：

圖7 粗糙條形基礎破壞機制Fig.7 Failuremechanism for ultim ate bearing capacity of rough strip foundation

具體推導過程見文獻［18］，其中能量耗散計算參數c和φ為采用“外切線法”引入的基于非線性破壞準則的粘聚力ct和內摩擦角φt。

3.3.2 問題的分析

根據極限分析上限定理，上式給出了極限承載力Pu的一個上限，通過換算可求得相應的承載力系數Nc和Nq。當ξ，η，φt滿足條件：

時，函數Pu（ξ，η，φt）取得一個最小值。以上最小值求解過程可以采用序列二次規劃優化方法實現。同樣值得注意的是：上述分析中采用“初始切線法”和“外切線法”時ct和φt的取值是不同的。對于“初始切線法”，ct和φt實際已經轉化為常量；而對于“外切線法”，ct和φt為變量參與了優化計算過程。

3.3.3 對比計算與分析

為便于分析，選取文獻［13］的算例為研究對象，假設基礎下巖土材料服從非線性破壞準則，土體無重度γ＝0 kN／m3，基礎兩側地表超載q＝57 kN／m2，巖土體粘結力c0＝90 kN／m2，σt＝247.3 kN／m2，當m＝1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5時極限承載力Pu計算對比的結果如表2和圖8所示。

圖8 非線性破壞準則下極限承載力Pu和承載力系數Nc和Nq計算結果對比Fig.8 Com parison of calculated results obtained from differentmethods of ultimate bearing capacity and bearing capacity coefficients based on nonlinear failure criterion

表2 非線性破壞準則下地基極限承載力計算結果對比Table2 Comparison of calculated results obtained from differentmethods of ultimate bearing capacity based on nonlinear failure criterion

由表2和圖8可知：隨著m的增大，極限承載力Pu減小得較快，因而巖土體非線性強度參數的取值對評定地基承載力有著重要的影響，對于巖土材料，引入非線性強度曲線假設是非常必要的，因為非線性破壞準則更符合工程的實際情況。非線性破壞準則條件和其它參數不變的情況下同樣可見：對于非線性程度較大的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法會造成計算結果的較大誤差，采用“外切線法”引入非線性破壞準則的方法具有更好的合理性。

4 結 論

基于極限分析上限法，本文討論了“外切線法”引入非線性破壞準則時采用“初始切線法”和“外切線法”對3個經典土力學問題的影響，研究表明：

非線性破壞準則符合巖土材料的實際情況。較現有線性破壞準則而言，巖土體非線性強度參數m的值越大，巖土體構筑物的安全性越差，因而引入巖土體非線性強度準則對確保土工結構物的可靠性有著重要意義，工程實際中有必要通過“外切線法”引入非線性破壞準則進行土工結構安全性評價。

基于上限法通過“初始切線法”引入非線性破壞準則是眾多上限解答的一個，特定條件下能夠獲得較好的上限解，但隨著非線性參數的增加由此引起的誤差也越來越大。對于非線性程度較強的情況，采用“初始切線法”引入非線性破壞準則的方法會造成計算結果的較大誤差，采用“外切線法”具有更加明顯的有效性和合理性。

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［18］CHENW F.Limit Analysis and Soil Plasticity［M］.Amsterdam：Elsevier，1975.

（編輯：趙衛兵）

Discussion on Generalized Tangential M ethod Led in Nonlinear Failure Criterion in Upper Boundary Lim it Analysis

ZHAO Lian-heng，LILiang，DAN Han-cheng，LUO Su-ping，REN Dong-ya
（College of Civil and Architectural Engineering，Central South University，Changsha 410075，China）

On the basis of the upper boundary limit analysis theorem and nonlinear M-C failure criterion，three classical soilmechanics problems including the ultimate bearing capacity of a rough strip foundation，the critical height of a slope and the active soil pressure were studied bymeans of generalized tangential technique and the kinematic approach of limit analysis theory.The rationality and feasibility of the generalized tangentialmethod and the inceptive tangentialmethod were analyzed.From the numerical results，it can be seen that the nonlinear failure parameter exerts a significant effect on the safety of the geotechnical structure，and leading-in a proper nonlinear failure character of geo-materialsmore agreeswith the engineering practice.The case study and comparative analysis show that a better solution could be achieved bymeans of the inceptive tangentialmethod under specific conditions，but the larger the nonlinear coefficient is，the bigger the deviation caused by the inceptive tangentialmethod is.The generalized tangentialmethod possesses the rationality and feasibility obviously.

soilmechanics；nonlinear M-C failure criterion；upper-boundary theorem of limit analysis；generalized tangentialmethod

TU432

A

文獻［16］的主動土壓力對數螺旋線破壞機制如圖5。根據上限法能耗計算過程，使外荷載所做的功率等于內能耗散率，可求得邊坡穩定性系數Pa（θh，θ0，β，φt）：

1001-5485（2010）08-0034-06

2009-09-15；

2009-12-04

西部交通建設科技項目（2006318802111）；中南大學優秀博士學位論文扶植項目（2008yb004）；鐵道部科技研究開發計劃重點資助項目（2008G032-3）；湖南省交通廳科技項目（2007-29）

趙煉恒（1980-），男，湖南益陽人，講師，博士，主要從事道路與鐵道工程、地基處理等方面的研究工作，（電話）13755139425（電子信箱）zlh8076＠163.com。