考慮偶應力影響的雙組節理巖體等效模型

劉 俊，黃 銘

（1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240；2.合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009）

考慮偶應力影響的雙組節理巖體等效模型

劉 俊1，黃 銘2

（1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海 200240；2.合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009）

考慮到巖體中節理存在的影響，針對具有兩組斜交節理的巖體，通過對代表單元的分析，得到了基于一般Cosserat介質理論的等效模型，該模型可以退化到巖體具有兩組正交節理或一組節理的情形。將上述模型以自編程序實現，對節理巖體沉降進行了數值模擬，同時采用增設節理單元法進行了對比分析，兩者具有較好的一致性，最后討論了兩組節理不同斜交角度的影響，計算結果表明等效模型合理有效。

節理巖體；Cosserat理論；等效模型；有限元分析；偶應力

1 概 述

確切了解巖土的特性以及由于工程建設（或開挖）而引起的巖體或土體應力、變形和破壞的發展規律并對其穩定性作出正確評價非常重要，而在土木、水利等工程中所接觸到的巖體總是具有結構面，這些結構面的存在改變了巖體的均勻連續性。受層狀或多組節理切割的巖體是巖土工程中經常遇到的，研究節理巖體的力學行為特點，建立合適的模型進行數值模擬分析對巖體工程設計和施工具有理論和實際意義。

對于節理巖體的模擬，一般有采用節理單元的顯式方式［1］和建立宏觀復合等效模型的隱式方式［2－5］。在節理密集時，應用節理單元進行分析相當困難和麻煩，而隱式方法將節理巖體等效為具有各向異性特點的連續體，求解非常方便，但其應用前提是等效模型必須合理有效。

絕大部分節理巖體等效模型基于傳統連續介質理論構建［2－5］，傳統連續介質理論建立在均質、連續的基本假設之上，所以其求解的正確及精確程度依賴于材料對均勻性假定的滿足程度。事實上節理的存在使得巖體具有明顯的宏觀特征尺度和結構性，Cosserat介質理論由于可以考慮特征尺度影響，較一般連續介質理論更為精確且更具有一般性，在節理巖體力學特性的數值模擬中具有理論上的優越性。

目前已有一些學者基于約束轉動Cosserat理論或一般Cosserat理論針對節理巖體建立了等效模型［6－9］，但大多數研究者針對的是具有一組節理的層狀巖體［6，8，9］，只有少數學者采用約束轉動Cosserat介質理論進行了兩組節理或是多組節理情形的研究［7］。考慮到約束轉動Cosserat理論中轉動位移不獨立，剪應力無法確定，采用一般Cosserat介質理論更為合適。

本文基于一般Cosserat介質理論，針對具有兩組斜交節理的巖體，通過對代表單元的分析，建立了平面等效模型，并以有限元程序實現。隨后分別采用等效模型和增設節理單元法對節理巖體沉陷進行了數值模擬，同時對兩組節理不同斜交角度的影響進行了討論，結果表明該等效模型可以有效模擬節理巖體的力學行為。

2 Cosserat介質理論

由于介質具有微結構，代表單元具有尺度，偶應力及曲率被引入，如圖1。

對于平面問題，其微分平衡方程為：

式中：σx和σy為正應力；σxy和σyx為剪應力，且σxy≠σyx；mx和my為偶應力。

幾何變形方程為6個：

圖1 Cosserat單元Fig.1 A Cosserat element

3 斜交節理巖體模型

3.1 局部坐標系下斜交節理巖體模型

考察具有兩組斜交節理，節理間距分別為d1和d2的巖體。視為平面問題，則代表單元如圖2。

圖2 2組斜交節理巖體代表單元Fig.2 An element of rockmass w ith two sets of nonorthogonal joints

圖2 中，oxy為整體坐標系；局部坐標系ox1y1的x1軸在第一組節理面內，y1軸垂直于第一組節理面；ox2y2依ox1y1的相同方式定義；?為兩組節理的夾角；β1為第一組節理面和整體坐標系x軸之夾角。

以｛σ*｝和｛ε*｝分別表示ox1y1下傳統應力和應變矢量，則在ox1y1下，有｛σ*｝＝［］｛ε*｝和｛ε*｝＝［S*］｛σ*｝。在此，基于變形等效原則，可以得到［7］

式中：［S*］為ox1y1下節理巖體性質矩陣；［Sr］是巖塊性質矩陣；［］是oxiyi下第i組節理對巖體柔度性質的貢獻（i＝1，2）；［C1→2］和［C2→1］為轉換矩陣，且有［C1→2］＝［C2→1］T＝［C2→1］－1。其中，考慮非對稱Cosserat剪應力與剪應變的關系，有

剛性執行。軍隊行政權力清單制度規范的內容，主要是機關部門行使的權力，一旦列入清單，該項權力就必須按照規定的權限、內容和流程行使，任何單位和個人不得隨意增加和削減清單列入的權力。對未列入清單的權力，則是處于該部門職權范圍之外，不得越權行使。一旦違規用權，必須嚴肅追究責任，承擔相應后果。

式中：E，v分別為巖塊的楊氏模量與泊松比；G為通常意義下的剪切模量，Gc為Cosserat剪切模量［6］。

又有

式中：kni，ksi分別為兩組節理的法向剛度和切向剛度。轉換矩陣［C1→2］為

由此可以得到

分別考察節理和巖塊的轉角變形和外力偶的關系，可以得到

3.2 整體坐標系下彈性矩陣

通過坐標轉換可以得到整體坐標系下彈性矩陣［D］為

4 算 例

4.1 沉陷計算對比分析

設巖體中存在兩組節理，節理面以及巖體的參數見表1。計算域尺寸6 m×3 m，上邊界中部1.2 m范圍作用均布載荷q＝20 kN／m。

表1 巖體物理力學參數Table1 Mechanical parameters of a rockmass

分別采用本文等效模型和增設節理單元法進行分析，得到上部邊界的下沉曲線如圖3，可以看出中部向下垂向位移最大；受第二組節理的影響，基巖兩邊變形不對稱，左側的垂向位移大于右側；同時可以發現，兩者的結果具有很好的一致性，說明文中建立的等效模型有效。

圖3 上部邊界的變形曲線Fig.3 Settlement curves of upper boundary

4.2 節理夾角影響

設巖體仍存在兩組節理，巖塊參數以及計算域和載荷同4.1。取節理法向剛度為10 000 MPa／m，切向剛度5 000 MPa／m，節理間距0.2 m。保持第一組節理水平，改變第二組節理的產狀（第二組節理面與水平面的夾角分別取為0°，15°，30°，45°，60°，75°以及90°，圖4為第一組節理水平，第二組節理與水平面成夾角60°的示意），考察交角變化的影響。

圖4 兩組斜交節理巖體Fig.4 The rockmass w ith two sets of non-orthogonal joints

計算得到上邊界中部及兩邊的垂向位移隨第二組節理角度變化的曲線見圖5。從圖中可以看出，夾角為15°，30°，60°以及75°時，在載荷以及約束都對稱的情況下，兩邊變形明顯不對稱，巖體具有明顯的各向異性；同時可以看出，模型可以反映節理產狀的影響，其他條件一樣時，上部沉降量會隨第二組節理和水平面夾角的增大而減小，其中兩組節理平行（兩組節理角度都為0°）時，相當于巖體具有一組節理且節理間距為0.1m，此時沉降最大，而兩組節理垂直（兩組節理角度分別為0°和90°）時沉降最小，不過在這兩種情況下變形都是左右對稱的。

圖5 變形隨節理夾角變化曲線Fig.5 Settlement curves of upper boundary vs.included angles of joint

5 討 論

本文針對雙組節理巖體建立了等效模型，與增設節理單元法的對比表明該等效模型合理有效。由于實際工程中節理產狀復雜，所以多組斜交節理切割巖體的力學行為分析非常重要。Cosserat介質理論相對傳統連續介質理論更為精確和一般化，基于該理論進行復雜節理巖體的本構模型研究具有理論和實際工程意義，有必要進一步開展相關工作。

［1］ GOODMAN R E，TAYLOR R L，BREKKE T L.A model for the mechanics of joint rock［J］.J of Soil Mech.Found Dic ASCE，1968，94（3）：637－659.

［2］ ZIENKIEWICZO C，KELLYDW.The coupling of the finite element method and boundary solution procedures［J］.Int JNumer Methods Eng，1977，11（2）：355－375.

［3］ 張 武，張宏憲.節理巖體的彈性模型［J］.巖土工程學報，1987，9（4）：33－44.（ZHANG Wu，ZHANG Hong-xian.Elasticmodels of jointed rockmasses［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1987，9（4）：33－44.（in Chinese））

［4］ 張玉軍.節理巖體等效模型及其數值計算和室內試驗［J］.巖土工程學報，2006，28（1）：29－32.（ZHANG Yu-jun.Equivalentmodel and numerical analysis and laboratory test for jointed rockmass［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2006，28（1）：29－32.（in Chinese））

［5］ 牛 斌，楊海天.基于均勻化方法的斜交節理巖體復合本構關系研究［J］.巖土工程學報，2007，29（5）：773－778.（NIU Bin.YANG Hai-tian.Homogenizationbased investigation on constitutive relationship of oblique joint rock［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2007，29（5）：773－778.（in Chinese））

［6］ 陳勝宏，王鴻儒，熊文林.節理巖體的偶應力有限元分析［C］∥第一屆全國計算巖土力學研討會論文集（二）.成都：西南交通大學出版社，1987：94－99.（CHEN Sheng-hong，WANG Hong-ru，XIONGWen-lin.Couple stress FE analysis for jointed rock masses［C］∥Proc.of the 1st National Seminar on Computational Geomechanics 2.Chengdu：Southwest Jiaotong University Press，1987：94－99.（in Chinese））

［7］ GE Xiu-run，FENG Shu-ren.Model of regularly jointed rockmass with consideration of the influence of couple stresses［J］.Computer Methods and Advances in Geomechanics，1991，（6）：138－152.

［8］ DAIC，MUHLHAUS H，MEEK J，et al.Modelling of blocky rock masses using the cosseratmethod［J］.International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences＆Geomechanics Abstracts，1996，33（4）：425－432.

［9］ 劉 俊，黃 銘，葛修潤，等.層狀巖體開挖的空間彈性偶應力理論分析［J］.巖石力學與工程學報，2000，19（3）：276－280.（LIU Jun，HUANG Ming，GE Xiurun，et al.Analysis on layered rockmass excavating with spatial elastic couple-stress theory［J］.Chinese Journalof Rock Mechanics and Engineering，2000，19（3）：276－280.（in Chinese））

［10］佘成學，熊文林，陳勝宏.層狀巖體的彈粘塑性Cosserat介質理論及其工程應用［J］.水利學報，1996，（4）：10－17，26.（SHE Cheng-xue，XIONG Wen-lin，CHEN Sheng-hong.Elasto-visco plastic Cosserat theory of layered rockmass and its application in engineering［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1996，（4）：10－17，26.（in Chinese） ）

（編輯：曾小漢）

Equivalent M odel of Rockmasses w ith Two Sets of Joints Considering Influence of Couple Stresses

LIU Jun1，HUANG Ming2
（1.School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China；2.School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Considering the influence of existence of joints in rockmasses，an equivalentmodel has been erected based on the general Cosserat continuum theory and the analysis of a representative element.The equivalentmodel aims at rockmasses with two sets of nonorthogonal joints.Moreover，it also could be used to simulate rockmasses with two sets of orthogonal joints or one set of joint under certain condition.The equivalentmodel has been coded into a FEM program and the numerical analysis has been carried out to predict settlement of rock foundation；at the same time，the Goodman’s jointelementmethod has been applied to solving the same problem.It can be found that the deformation results obtained from abovementioned twomethods have a good agreementwith each other.Moreover，two sets of jointswith different included angles are discussed with equivalentmodel，the results show that the proposed equivalentmodel is reasonable and effective for numerical analysis in jointed rockmasses.

jointed rockmass；Cosserat theory；equivalentmodel；FEM analysis；couple-stress

TU452；O344.3

A

1001－5485（2010）09－0043－04

2009-11-26；

2010-01-14

國家自然科學基金資助項目（50609014，50979056）

劉 俊（1971-），女，湖北仙桃人，副教授，博士，主要從事巖土工程數值方法以及計算結構力學研究，（電話）021-34204470（電子信箱）JLIU＠sjtu.edu.cn。