光子運動的蒙特卡羅方法用于LED燈具設計

2010-08-08 06:52:58付元增熊娟

照明工程學報 2010年3期

付元增熊娟

(濮陽職業(yè)技術學院，河南濮陽 457000)

1 前言

LED是發(fā)光二極管的簡稱，它是電致發(fā)光的半導體發(fā)光器件。過去常規(guī)的LED多為發(fā)紅光或綠光的，只能在產品上充當指示燈信號。隨著光電技術及材料科學的發(fā)展，在全球能源短缺的憂慮再度升高的背景下，歐、美及日本等國成立了專門的機構，研制出了白光LED，且其發(fā)光效率正在逐步提高［1］。但是光源的形狀、大小和光強分布都會對照明系統(tǒng)的配光效果產生重要的影響。目前在照明光學系統(tǒng)的計算機輔助設計中，時常將光源近似看作點光源或者線光源。但對于一些照明系統(tǒng)特性要求較高的場合，這種近似誤差太大，需要建立更加復雜精確的光源模型，將實體模擬為面光源甚至是體光源［2］，從而獲得更好的照明模擬效果。

結合不同照明的要求，充分分析LED燈光子的特點，考慮LED的發(fā)光原理和特性，從塑造合理光環(huán)璄的要素出發(fā)，優(yōu)化LED的光分布，避免眩光的同時使LED的出射光線更加合理高效，達到照明的要求，理性地將LED應用于各種照明工程中，才能最大限度發(fā)揮LED照明的優(yōu)點，而避免盲目使用所帶來的負面的影響。為了改善傳統(tǒng)LED出射光角度狹小，光強隨角度變化迅速衰減，光譜空間分布不均，邊緣存在嚴重偏色等問題，必須改進LED封裝結構的設計［3］。將LED應用于照明工程中也面臨著一系列的挑戰(zhàn)，例如單顆LED的光通量還難以滿足普通照明的需求、單位成本過高、光效比氣體放電燈低、色差大、穩(wěn)定性不足等。同時散熱問題在LED器件的封裝中占有十分重要的地位，在封裝結構、封裝材料方面，如何有效解決LED散熱問題成為發(fā)展的關鍵［4］。

蒙特卡羅方法來源于人們對隨機抽樣事件的概率理解，將一個復雜問題簡化為許多次簡單的隨機實驗的方法。采用蒙特卡羅方法對光子運動隨機抽樣，較真切的模擬光子運動的過程，反映了光子的運動規(guī)律，模型可以設置空間多維、多因素等復雜的條件，計算出光子與封裝曲面碰撞新方向，統(tǒng)計出光子的運動數(shù)據(jù)，同時封裝曲面參數(shù)的變化對光子散射的影響，通過模擬計算得到不同情形下散射光子運動軌跡，光子封裝曲面內部發(fā)生的散射誤差的分布，為LED燈在照明工程的設計提供理論依據(jù)。

2 光子飛行模擬

在坐標系 x，y，z中將光源傳輸?shù)墓庾臃纸猓髯砸?π方向角傳播，那么光子空間飛行模型為:

其中r1，r2，r3分別為沿各自方向的運動半徑;φ1，φ2，φ3分別為光子與空間方向軸的夾角;β1，β2，β3分別為光子的衰減系數(shù);ω1，ω2，ω3分別光子運動的角頻率。

根據(jù)光子空間飛行模型［5］，光源 s至 LED燈曲面p點之間的距離為r，再把r等分為n份，每份的長為r/n，第一份sp1的距離為r1，第二份p1p2的距離為r2，第三份p2p3的距離為r3，……第n份pn－1pn的距離為rn，如果n足夠大，這每一份距離就足夠短，就是說，光從點S發(fā)出，頻率為ν0，通過距離 r1到達點p1，頻率為ν1=ν0+Δν1;光又以頻率ν1從 p1通過 r2到達 p2，頻率為 ν2= ν1+Δν2;光又以頻率ν2從p2點通過距離r3到達 p3點，頻率為 ν3= ν2+ Δν3;……;光又以頻率 νn－1從 pn－1點通過距離 rn到達 pn點，頻率為 ν= νn= νn－1+Δνn，按照級數(shù)推導得出:

c是光速，h叫做哈勃常量，光的頻率ν隨著r的增長而不斷按自然負指數(shù)規(guī)律衰減，根據(jù)愛因斯坦的光子假說及其對光電效應的量子解釋，入射光子的頻率越高，光子的初動能越大，即

那么光子運動與封裝曲面發(fā)生彈性散射相函數(shù)為:

其中θ為散射角，dCsca/dΩ為微分散射橫截面［6］。

為總的散射截面。

根據(jù)Henyey-Greenstein相函數(shù)方程導出，再通過坐標變換，光子新運動方向為:

φ為方位角。

散射后光子能量:

如果被曲面吸收:

其中α為材料線性吸收系數(shù)，β為雙光子間吸收系數(shù)，γ為三光子間吸收系數(shù)，在光子被吸收的過程中，封裝曲面材料系數(shù)占主要因素。

同時考慮空間溫度對LED燈的光子影響:

kB為波爾茲曼常數(shù);T為絕對溫度;Et是封裝曲面的介質能帶間隙;ν0為絕對溫度時的光子運動頻率。

當光子傳輸?shù)揭粋€新位置時，不僅光子的能量被材料吸收、光子的傳輸方向會發(fā)生改變，而且權重減少，光子每與封裝曲面碰撞后都將有部分光子被吸收，假定經過τ－1步碰撞后繼續(xù)傳輸?shù)墓庾拥臋嘀貫閣τ－1，則經過τ步后光子的權重將更新為:

其中β是材料散射系數(shù)。

產生大量的光子采用線性同余法:

其中，a和N分別是乘子和模，t表示時間。

3 蒙特卡羅模擬

光子在封裝曲面內部的運動是一個隨機過程，通過隨機數(shù)來模擬與光子運動相似的事件，然后通過觀察模擬過程，計算光子的運動特征，最后得出運動特征參數(shù)近似值。實質上蒙特卡羅模擬就是跟蹤光子在封裝曲面內部吸收和散射過程，若發(fā)生散射，則由適當?shù)纳⑸湎辔缓瘮?shù)就能選取散射后新方向，光子運動這個過程重復進行，直到光子被封裝曲面吸收，蒙特卡羅的模擬方法既可以較精確地求解一個光子運動模型，不但給出具體、形象的光分布結果，而且通過對光學結構的參數(shù)進行修正可以很容易地看出修改所產生的對光分布的影響，這種影響反饋到對光學結構的修正中，以改變封裝曲面的設計。

假定光子運動與封裝曲面發(fā)生第一次碰撞的位置x1，可由概率密度決定:

其中 σ(ν)是頻率為 ν光子的總截面［7］，根據(jù)媒質對光子的吸收截面，決定它是否被吸收，如果σ1(ν)是吸收截面，σ2(ν)是散射截面，再由計算機產生隨機數(shù) k，如 k<σ1(ν)/σ(ν)，則光子被吸收，不然則未被吸收。如被吸收，則須重取一光子，從頭開始這個過程;如未吸收，則從克萊因-仁科公式和康普頓公式決定光子經過一次散射后的頻率ν和光子散射前與散射后的方向之間的夾角，由此可得出光子散射后的方向，連續(xù)使用這樣的過程，就可研究光子在封裝曲面中的行為。所以追蹤一個光子行為的過程是這樣的:先定光子的碰撞位置，然后再定光子的頻率改變和方向改變，對一個光子一直追蹤下去，直到它被吸收，或被反射出這個封裝曲面媒質，或穿透過這個封裝曲面。

以后再取一個光子，用上面所述的辦法進行追蹤。如果所取的總光子樣品數(shù)目為k，其中k′個光子被封裝曲面媒質吸收，則吸收率ρ為

進行蒙特卡羅模擬時，計算的光子總數(shù)和隨機數(shù)產生的質量都會影響模擬的精度，但是當光子數(shù)目達到一定量后，在增加光子將不會對結果的可靠性產生有利的因素，因此為得到小于3%的統(tǒng)計誤差，光子數(shù)為105個。確定光子的運動過程終止條件:光子在封裝曲面中傳輸?shù)漕l率ν衰減到低于一定的閾值時即停止。

光子運動的誤差函數(shù)［8］為:

式中，Xa為與置信度α對應的量，k模擬的光子總數(shù)，δ是統(tǒng)計估計值的標準方差，定義為:

蒙特卡羅方法模擬光子運動的過程［9］，其步驟為:

(1)根據(jù)入射條件確定起始跟蹤點;

(2)確定光子行進的角度和下一次碰撞的位置;

(3)確定在該位置光子的吸收、散射和發(fā)射狀態(tài);

(4)判斷光子是否被吸收;

(5)返回第二步。

4 仿真實驗

所用軟件為Matlab7.0，盡管在每個光子運動垂直面中的光通量是均勻分布的，假定散射運動是各自獨立的。在模擬中做了幾點假設:(1)光束是無發(fā)散;(2)光束的入射方向是2π;(3)為了利用所有模擬光子，節(jié)省計算時間，假定接收屏為無限大;(4)溫度為常溫，這樣就可以無限接近LED實際的模型，模擬出LED實際發(fā)光效果，跟蹤光子在封裝曲面中散射和吸收事件，直到被吸收或者逃離表面。圖1到圖4為單一光子運動情況，圖1為沒有被吸收的光子空間運動軌跡模擬，圖2為光子被封裝曲面反射模擬，圖3為光子被封裝曲面吸收模擬，圖4為溫度升高光子運動模擬，圖5到圖8為大量光子與封裝曲面碰撞后的情況。