存在偽碼多普勒條件下的XFAST性能分析

唐小妹，雍少為，王飛雪

（國防科學技術大學 電子科學與工程學院 衛星導航研發中心，湖南 長沙 410073）

1 引言

GPS信號采用C碼和P碼2種不同的偽隨機碼，其中，C碼是一種低碼率、周期重復的短碼，主要用于民用系統；P碼也稱為軍碼，是一種高碼率、長周期、加密偽隨機碼。正常情況下，可以通過對C碼信號的捕獲跟蹤，實現對P碼信號的引導；在戰爭或者某種突發事件的情況下，C碼信號可能會被干擾或者關閉，這就要求接收機具有長碼直接捕獲的功能。

由 Dr. Yang C于 2002年提出的 XFAST（extended replica folding acquisition search technique）是一種改進的頻域捕獲算法[1,2]，其基本思想就是，將一個很長的偽碼分成M個子段，每段長L點，并將各子段的對應位置進行算術相加，組成一個新的長為L點的重疊碼。利用重疊碼與接收信號進行相關運算，從而提高處理的并行性。

XFAST算法提出后引發了大量的研究，文獻[3,4]仿真驗證了 XFAST算法，沒有給出具體的仿真輸入條件，文獻[5～8]用高載噪比條件下的個例仿真來說明XFAST的性能，由以上的分析可知，現有的性能分析文獻存在缺乏精確的理論分析、信號電平的設置高于導航信號的實際使用情況、仿真條件過于理想[9]，用個例仿真結果代替統計結果等問題。

XFAST能夠提高捕獲搜索速度，然而多段PN碼疊加后相關計算導致噪聲信號能量與重疊段數成正比，導致等效輸入載噪比的下降，為達到相同的捕獲概率和虛警概率的要求，需要增加捕獲的總積累時間。由于偽碼存在多普勒頻偏，致使相關函數產生主瓣展寬、峰值移位和降低等現象[10]，也會在捕獲過程中引入損耗，導致增加積累時間并不能獲得對應的增益。以上2點的矛盾導致XFAST的應用受限。目前已知的關于 XFAST的研究論文均忽略接收信號的偽碼多普勒，在多普勒較大時會導致嚴重的模型誤差。

本文在簡要介紹XFAST的工作原理的基礎上，建立XFAST的理論分析模型，并基于該理論模型，考慮存在碼間互相關干擾及偽碼多普勒的捕獲和虛警概率的表達式，由于模型中有一些近似處理，為驗證模型的準確性，對模型進行了仿真驗證。

2 基于XFAST的長碼直捕原理

中頻AD采樣后的數字信號，經過中頻解調后，得到I、Q通道數據構成復信號進行FFT變換，同時本地偽碼經過重疊后，進行FFT變換，結果取共軛后與接收信號FFT變換的結果相乘，然后進行反FFT變換，由頻域相乘等于時域相關的原理，等效完成了時域接收信號和本地偽碼的信號相關過程，經過平方律檢波、非相干積累后進行捕獲判決，若過門限則認為是成功捕獲信號。

根據時域復指數相乘等效于頻域偏移的原理，通過對接收信號 FFT變換后的結果進行循環移位實現對不同頻率偏移下的偽碼相關值的搜索，具體如圖1所示[1,2]。

3 XFAST長碼直捕性能分析

本節將首先介紹 XFAST的信號模型，對相干累加值的信噪比進行分析，并由此推導出捕獲概率和虛警概率的表達式。

3.1 理論模型

假設輸入的中頻解調后的復信號[11]為

本地以采樣間隔T、標稱偽碼頻率 fc生成本地的偽隨機碼 P ( kT-τ1)，擴展復制重疊的段數為M，每段中的數據采樣點數為L，則重疊后的偽碼相位為

各分段對應的偽碼相位間隔為LT。

接收信號轉換到頻域后，通過對頻域數據的移位實現對接收信號的多普勒去除。FFT計算的點數為 PFFT，對應的頻率分辨率為 fsPFFT，頻域數據移位i位，等效于去除的多普勒頻率 i fsPFFT。

時域的相關計算值為

其中，τ0-τ1為本地偽碼和接收偽碼起始相位誤差；i為 FFT的第i譜線；L為相干累加長度；M為擴展復制重疊段數；k1表示利用接收數據為[k1,k1+L]段的數據計算。

圖1 XFAST實現結構圖

在一次相關計算中，由于偽碼瞬時相位差受偽碼多普勒影響隨時間變化，在多普勒固定情況下，偽碼平均相位差等于相關時間段中點的偽碼相位差（圖2中的“+”號所對應的偽碼相位）。

圖2 存在偽碼多普勒時捕獲過程中本地信號與接收信號間的相位差變化

由式（3）可知，相關計算并行搜索的平均相位差為

假設后積累的次數為q，則判決量可以寫為

由式（4）、式（5）及圖 2可知，對于一個固定的 m和 k0，由于偽碼多普勒的存在，導致在0～(q - 1 )次相干積累過程中，本地偽碼與接收到的偽碼平均相位差會隨偽碼多普勒而變化：

當信號存在時，相關峰最大值出現在載波頻率和偽碼相位分別為與真實值最接近的搜索單元，下面將分別對最大相關值處的偽碼相位和載波頻率分別進行分析。

由文獻[10]的一階動態相關峰的對稱性可以推導出：最大相關峰出現的位置為整個搜索過程中各子段的平均相位誤差絕對值之和最小的偽碼相位，即滿足如下的表達式：

考慮參數的離散性，則相關峰最大值處，對應的m、L、k0的取值滿足如下的等式：

其中，[]為四舍五入取整操作。

FFT的頻率分辨率為 fsPFFT，則相關峰最大值對應的頻率譜線為最接近真實頻率 fd的譜線位置：

3.2 相干累加值的信噪比

由上節可知，存在多普勒情況下，各次相干積累對應的偽碼相位不同，本節主要分析當信號存在時，捕獲搜索過程中相關值最大處對應的相干累加信號的信噪比，為簡化問題分析，假設相干累加是在同一個符號位內完成的。將式（3）中的R0(·)按照信號和噪聲項展開，有

其中，

假設滿足式(8)和式(9)的相關峰出現在相位為m = m′，k0= k0′，載波頻率為i′處。

則式(10)可以寫成如下的形式：其中，由P碼良好的隨機性可知，偽碼的0/1概率分布與載波相位的變化是獨立的，根據獨立分布變量的互協方差為零，則相關累加后的信號部分可以寫成如下的表達式：

噪聲 n( k T)為獨立分布的高斯白噪聲序列，相關累加后的相關值 N1(·)的I支路和Q支路的分布為的正態分布，式中的，則服從均值為0、方差為 N0MLT的正態分布。

由以上分析可知，經過 XFAST相關后的信號信噪比可以寫成如下表達式：

3.3 捕獲概率和虛警概率

則對應的捕獲概率和虛警率可以分別寫為

對于虛警率給定的情況下，捕獲概率可以寫為

4 分析與仿真驗證

由于捕獲概率和虛警概率的解析表達式中采用了一些近似，為驗證表達式的正確性，選取幾組不同的參數進行驗證。根據式（16）計算不同參數條件下的捕獲概率和虛警概率，得到理論數值如表1所示。

表1 多普勒不確定度-6～+6k，采樣率取為20.47MHz下的仿真參數設置

本文的統計驗證采用MATLAB進行模擬仿真，偽碼采用GPS的P碼，信號模型如式(1)所示，一次捕獲對應的不同參數的時頻二維搜索仿真相關值分別如圖3所示。

仿真1×107次，統計對應的捕獲概率和虛警概率，對給定的捕獲概率和虛警概率，仿真與理論的差異可以采用文獻[13]中定義的等效信噪比進行評估，即比較與其檢測性能相同的相干檢測器在輸入端的信噪比（D0）。

其中Q函數和誤差函數的定義如下：

得到對應的性能參數如表2所示。

由性能分析可以得到如下4點結論。

1) 不考慮偽碼多普勒的分析在不同的參數下引入的誤差不同，總積分時間越長，偽碼多普勒的影響越大，引入的誤差越大，如參數4引入的誤差為8.1dB。

圖3 表1中的4組參數分別對應的二維搜索仿真圖（最高處為相關峰位置）

表2 不同參數的捕獲性能分析表

2) 本文的性能分析方法與仿真結果差異較小，最大等效信噪比差異小于 0.5dB，證明本文的性能分析方法是正確的，而不考慮偽碼多普勒損耗。

3) 在偽碼多普勒引入的碼片誤差在一定范圍時，總積分時間的增大，會使捕獲性能提升（如參數2和參數3）；若繼續增大積分時間，導致碼片誤差損耗加大，反使捕獲性能下降（參數3和參數4），說明偽碼多普勒是性能分析中不得不考慮的因素。

4) 相同的總積分時間（參數1和參數2），參數分配的差異會導致性能的差異，即根據本文的性能分析結果，設置合理的優化目標，可以對捕獲參數進行優化，本文由于篇幅的限制，不進行描述。

5 結束語

本文主要分析了偽碼的互相關以及偽碼多普勒影響下的 XFAST的捕獲概率和虛警概率模型，對理論計算得到的概率公式通過實際仿真進行驗證，驗證結果表明，本文的捕獲概率和虛警概率模型是正確的。當擴展復制重疊段數為1時，本文的模型可退化為常規的長碼直捕算法的性能分析，指導接收機的設計。

[1] YANG C. FFT acquisition of periodic, aperiodic, puncture, and overlaid code sequences in GPS[A]. Proc of ION GPS 2001[C]. 2001.137-148.

[2] YANG C, VASQUEZ M J. Fast direct p(y)-code acquisition using XFAST[A]. Proc of ION GPS[C]. 1999.317-324.

[3] 馮永新, 劉芳, 潘成勝等. GPS中基于P碼的快速直接捕獲方法研究[J]. 計算機科學, 2007, 34(5)∶62-65.FENG Y X, LIU F, PAN C S, et al. The research of fast direct acquisition methods based on P code[J]. Computer Science, 2007,34(5)∶62-65.

[4] 劉芳，馮永新. GPS中新的P碼直接捕獲算法的提出與分析[J].沈陽理工大學學報, 2006,25(6)∶11-13.LIU F, FENG Y X. Proposal and analysis of a new direct acquisition technique of P code in GPS[J]. Transactions of Shenyang Ligong University, 2006,25(6)∶11-13.

[5] 梁坤，施滸立. 高靈敏度GPS捕獲技術的分析與仿真[J]. 全球定位系統, 2007,6∶26-32.LIANG K, SHI H L. Analysis and simulation of high sensitivity GPS acquisition techniques[J]. GNSS World of China, 2007 32(6)∶26-32.

[6] 焦瑞祥, 茅旭初. 基于批處理的微弱GPS信號捕獲[J]. 上海交通大學學報, 2008 42(2)∶285-289.JIAO R X, MAO X C. Batch processing-based acquisition of weak GPS signals[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University,2008 42(2)∶285-289.

[7] 劉芳，馮永新，潘成勝等. 基于新算法的P碼序列捕獲處理器的設計與實現[J]. 系統仿真學報，2008,20(10)∶2659-2665.LIU F, FENG Y X, PAN C S, et al. Design and actualize of P code sequence acquisition processor based on new algorithm[J]. Journal of System Simulation, 2008,20(10)∶2659-2665.

[8] 田明浩，馮永新，潘成勝. 一種基于P碼的頻域直接捕獲算法的研究[J]. 電子學報, 2007, 35(3)∶549-552.TIAN M H, FENG Y X, PAN C S. Research of a method of direct acquisition based on P code in frequency domain[J]. Acta Electronic Sinica, 2009,35(3)∶549-552.

[9] JING P. Direct Global Positioning System P-Code Acquisition Field Programmable Gate Array Prototyping[D]. College of Engineering and Technology Ohio University, 2003.

[10] 李春霞, 王飛雪, 郭桂蓉. 一階動態條件下偽隨機碼信號相關函數研究[J]. 電子學報, 2007, 35(9)∶1789-1793.LI C X, WANG F X, GUO G R. Correlation of pn spread spectrum signal under first-order dynamics[J]. Acta Electronica Sinica, 2007,35(9)∶1789-1793.

[11] KAPLAN E D, HEGARTY C J. Understanding GPS∶ Principles and Applications, Second Edition[M]. ARTECH HOUSE, INC, 2006.

[12] 數學手冊[M]. 北京∶ 人民教育出版社, 1992. 211-212.Mathematics Manual[M]. Beijing∶ People’s Education Press, 1992.211-212.

[13] 王飛雪,郭桂蓉. 二相編碼信號分段相關視頻積累的最優中頻積累時間[J]. 國防科技大學學報,1999 ,21(1)∶71-75.WANG F X, GUO G R. The optimum if integration time length for binary phase coded signals detection based on segment correlation video integration method[J]. Journal of National University of Defense Technology, 1999, 21(1)∶ 71-75.