單模光纖的彎曲損耗分析

江 華， 張 靜

（①海軍工程大學(xué) 裝備經(jīng)濟(jì)管理系，湖北 武漢 430033；②海軍萬壽路干休所，北京 100000）

0 引言

在光纖通信系統(tǒng)[1-2]中，單模光纖的彎曲損耗是使信號(hào)劣化的主要因素之一。在測量彎曲損耗時(shí)，早期的理論在假設(shè)光纖具有無限擴(kuò)展包層的條件下，給出了一個(gè)簡單的計(jì)算模型，這個(gè)模型預(yù)測彎曲損耗與彎曲半徑和波長之間存在單調(diào)變化的關(guān)系[3]。然而近年來，實(shí)驗(yàn)顯示單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長的變化都呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象[4-6]。這是因?yàn)榘鼘映叽绲挠邢扌院屯扛矊拥拇嬖冢率估w芯中傳播的場和從包層與涂覆層的界面上反射回來的部分輻射場發(fā)生耦合，并不如傳統(tǒng)理論假設(shè)的那樣，所有的彎曲損耗都從基模中泄漏出去永遠(yuǎn)損耗了。為了解釋這一現(xiàn)象，Harris和Castle從射線理論的角度出發(fā)，認(rèn)為這是由基模和whispering gallery模之間的耦合引起的[7]。近年來，人們開始從波動(dòng)理論的角度出發(fā)，利用數(shù)值法來分析單模光纖的彎曲損耗。Valiente和Vassallo得出了關(guān)于彎曲損耗的線性方程組[8]。Vendeltrop－Pommer和Povlsen利用波束傳播法（BPM：Beam Propagation Method）對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了解釋[9]。只有Murakami和Tsuchiya把彎曲光纖看作五層平板波導(dǎo)[4]，在傳統(tǒng)損耗公式的基礎(chǔ)上，乘以一個(gè)修正因子，得到一個(gè)相對(duì)簡單的損耗公式。

本文采用一個(gè)簡單的模型，仿真和分析了單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑和波長變化的關(guān)系，并對(duì)關(guān)系曲線的特性進(jìn)行了討論，得出了一些有價(jià)值的結(jié)論。

1 理論模型

由于可將求解單模光纖的彎曲損耗轉(zhuǎn)化為求解彎曲光纖基模傳播常量的虛部，而傳播常量的虛部又與波動(dòng)方程后向場在軸芯上的強(qiáng)度有關(guān)，所以我們只要求解由彎曲光纖轉(zhuǎn)化而來的等效直光纖的波動(dòng)方程，得到后向場在光纖軸芯上的強(qiáng)度，進(jìn)而就可求得單模光纖彎曲損耗系數(shù)。

弱導(dǎo)近似時(shí)，彎曲光纖中的橫向場分布為(,)xyψ，它滿足二維標(biāo)量方程。根據(jù)以上的理論思路，通常采用的方法為通過修正折射率將彎曲光纖等效成直光纖。此時(shí)標(biāo)量方程對(duì)坐標(biāo)y的傅里葉變換為：

式中：k0=2πλ為真空中的波數(shù)；β0為未受擾動(dòng)直光纖基模的傳播常量；?為y分量的傅里葉變換共軛量； nq是q區(qū)域的折射率。

式（1）解為：

設(shè) Rc為彎曲半徑的臨界值，當(dāng) R ＜Rc時(shí)，損耗會(huì)急劇增加，振蕩現(xiàn)象也會(huì)充分顯現(xiàn)。其通過對(duì)艾利函數(shù)的近似，我們可以進(jìn)一步求取后向場軸芯上的強(qiáng)度，最后得到彎曲損耗系數(shù)。設(shè)L2=b RrRC，當(dāng)L的值較大時(shí)，繁瑣的無窮積分就能得到替代，得到一個(gè)簡單的彎曲損耗系數(shù)的表達(dá)式：

其中：2Bα是傳統(tǒng)理論中具有無限延伸包層的單模光纖的彎曲損耗系數(shù)。對(duì)于纖芯折射率為1n的階躍型光纖，2Bα值為：

2 實(shí)驗(yàn)與分析

本文仿真實(shí)驗(yàn)采用的是 G.652型光纖，其參數(shù)如表 1所示。

表1 光纖參量

圖 1、圖 2分別是理論仿真得到的單模光纖彎曲損耗隨彎曲半徑及波長變化的曲線以及實(shí)際測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖中的虛線和實(shí)曲線分別是式（4）和式（3）的仿真結(jié)果，從中可以看到傳統(tǒng)理論所推導(dǎo)的彎曲損耗和彎曲半徑及波長的關(guān)系是單調(diào)的。而實(shí)曲線隨著彎曲半徑的增大呈遞減趨勢的同時(shí)還伴隨著振蕩現(xiàn)象，并且彎曲半徑越小，振蕩越頻繁越劇烈。圖2中，橫坐標(biāo)數(shù)值應(yīng)乘以10-3單模光纖的彎曲損耗隨著波長的增大呈現(xiàn)遞增趨勢的同時(shí)也伴隨著振蕩現(xiàn)象。由于實(shí)驗(yàn)條件有限，只取了較少的半徑值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所以實(shí)驗(yàn)顯示的振蕩現(xiàn)象不是很明顯，但是損耗曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在所對(duì)應(yīng)的半徑值上還是基本一致的。

圖1 單模光纖中彎曲損耗隨彎曲半徑變化的曲線

圖2 單模光纖的彎曲損耗隨波長變化的曲線

觀察式（3），因?yàn)?Z3＞Z2＞0，所以當(dāng)，式（4）可取得局部最大值，即波峰值；（m為任意正整數(shù)），式（4）取得局部最小值，即波谷值。對(duì)以上兩式進(jìn)行化簡計(jì)算，可得到如下條件等式（7）：

這一結(jié)論剛好與文獻(xiàn)[7]的分析相吻合：彎曲損耗的振蕩現(xiàn)象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。當(dāng)兩種模的相位同步，即同相耦合時(shí)彎曲損耗振蕩曲線出現(xiàn)最大值；反之，當(dāng)兩模的相位異步，即異相耦合時(shí)，彎曲損耗振蕩曲線出現(xiàn)最小值。通過式（5），單模光纖彎曲損耗出現(xiàn)峰值和谷值時(shí)所對(duì)應(yīng)的彎曲半徑值就可以比較準(zhǔn)確地被預(yù)測。下頁圖3給出了式（5）的仿真結(jié)果，“▽”和“O”分別標(biāo)識(shí)的是峰值和谷值位置的預(yù)測值。由于實(shí)驗(yàn)中彎曲半徑取值的困難，這里取了三組數(shù)據(jù)，見下頁表2。

表2 波峰預(yù)測實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，雖然半徑取值沒有完全與理論值相等，但是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從大體趨勢上體現(xiàn)了理論預(yù)測的正確性。通過對(duì)彎曲損耗曲線峰－谷值位置特性的了解，我們可以更為深入地掌握單模光纖彎曲損耗的振蕩規(guī)律。

圖3 單模光纖的彎曲損耗波峰－波谷位置預(yù)測

3 結(jié)語

本文采用一簡單的分析模型，對(duì)單模光纖的彎曲損耗和彎曲半徑、波長的關(guān)系進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn),觀察到彎曲損耗隨彎曲半徑和波長的變化具有單調(diào)變化趨勢的同時(shí)還呈現(xiàn)振蕩的現(xiàn)象。并在此基礎(chǔ)上，對(duì)關(guān)系曲線的特性進(jìn)行了深入地分析，得出了峰－谷值位置的計(jì)算式，分析表明，彎曲損耗的振蕩現(xiàn)象是由光纖中的基模和在包層和涂覆層中傳播的whispering gallery模之間的耦合引起的。這對(duì)我們在實(shí)際應(yīng)用中掌握單模光纖彎曲損耗的情況有相當(dāng)大的幫助。

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