均勻線陣幅相誤差和互耦效應的自校正

曾 奮， 董英凝， 鄧維波

（哈爾濱工業大學 電子與信息工程研究院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

波達方向的估計是智能天線的核心技術之一，MUSIC等超分辨算法是常用的高性能的波達方向估計的方法。然而陣列的幅相誤差和互耦效應嚴重影響了超分辨算法的性能，在使用這些算法前，必須采取合適的方法校正這些誤差。目前采用的校正方法主要分為校正源方位精確已知的有源校正法和校正源方位未知的自校正法[1]。對于工作波長很長的大型陣列，由于環境所限，往往不能通過放置方位精確已知的校正源來實現校正，同時環境的變化會導致陣列誤差參數的變化，這時需要實時性更強而且不需要校正源方位信息的自校正算法。

自校正算法通常根據某種優化函數對信號源方位和陣列誤差參數進行聯合的估計[1-2]；對于均勻線陣，其特殊的結構決定了自校正過程中必然存在相位誤差和方位參數之間的耦合[3-5]。當僅存在幅相誤差時，可利用陣列輸出協方差矩陣的特殊結構建立各陣元間幅相誤差的關系，并利用約束條件來解除相位誤差和方位參數之間的耦合[6-10]。然而互耦效應同時存在時，會導致這種解模糊方法失效，這使得對均勻線陣幅相誤差和互耦效應的同時自校正成為一個難題。

本文分析了自校正算法對均勻線陣失效的原因，指出算法對相位誤差的估計和DOA的估計存在耦合，但仍然能夠正確地估計陣列的幅度誤差和互耦系數?；谶@個特點，本文首先利用自校正算法對這兩種誤差進行估計，將得到的估計值用來修正陣列輸出的協方差矩陣；然后利用修正后的陣列輸出協方差矩陣的特殊結構和陣列相位誤差的約束條件，解除相位誤差估計的模糊，從而實現幅相誤差和互耦誤差的自校正。

1 信號模型

假定由M個無方向性的傳感器組成的均勻線陣，陣元的間距為d，N個互不相關的遠場窄帶信號從不同的方向入射到陣列，信號的波長為λ。當陣列同時存在幅相誤差和互耦誤差，陣元的輸出可表示為

其中， S ( j)表示信號源輸入的 N ×1維向量； V (j)表示陣列噪聲的 M ×1維向量，每個陣元上的噪聲都是功率相同的高斯白噪聲； X ( j)表示陣列輸出的 M ×1維向量；A是線陣的M×N維理想陣列流型矩陣，a(θN) 為陣列的導向矢量。 Γ =Γγ· Γθ表示陣列的幅相誤差矩陣，表示陣列的幅度誤差，而表示陣列的相位誤差；C表示陣列的互耦誤差矩陣，根據陣列的不同結構，互耦矩陣的形式可作不同的假設，均勻線陣的互耦矩陣結構為一帶狀、對稱Toeplitz矩陣。信號、噪聲和陣列輸出的協方差矩陣如下：

對XR 進行特征分解，有：

其中，SU 是信號子空間，NU 是噪聲子空間。

2 改進的均勻線陣幅相誤差和互耦效應校正算法

2.1 均勻線陣自校正存在的問題

自校正算法根據某種優化函數對信號源的方位和陣列的誤差參數進行聯合的估計，現在以Friedlander和Weiss提出的經典自校正算法[2]為例，說明均勻線陣在自校正中存在的多值性問題。經典的自校正算法利用陣列實際的導向矢量與陣列輸出協方差矩陣的噪聲子空間正交的特點，通過最小化代價函數式(4)來完成對陣列誤差參數和信號源DOA的估計[2]。

假設 { A1, C1, Γ1}是使代價函數 JC最小的一組解，對于均勻線陣，由于：

則必然存在一個對角矩陣：

使得：

2.2 改進的均勻線陣幅相誤差和互耦效應校正算法

如上文所分析，由于均勻線陣的特殊結構并不影響自校正算法對互耦矩陣和幅度誤差矩陣的估計，所提出的改進算法首先利用經典自校正算法[2]，得到陣列的互耦矩陣C和幅度誤差矩陣γΓ，然后用這兩個估計量修正陣列輸出的協方差矩陣：

這時，我們只需要考慮計算陣列的相位誤差。

在沒有陣列誤差和噪聲的理想狀況下，陣列輸出的協方差矩陣xrR 應該具有Hermitian Toeplitz結構，xrR 的元素為

利用xrR 的Hermitian Toeplitz結構和式(7)，建立起各陣元的相位誤差之間的關系。

式(8)中，i- j = k - l 表示元素 r?ij與 r?kl位于同一條對角線上。利用所有上對角線的元素能得到類似式(8)的方程的個數為，但實際上獨立方程的個數只有M- 2 個，經過分析證明，僅利用第一上對角線元素組成的M- 2 個獨立方程得到的參數估計的性能最好[7]。選定第一號陣元為相位參考點，則待估計的相位誤差參數為 M -1個，現在只有 M - 2 個獨立的方程，仍需一個約束條件來確定一組唯一的解。文獻[8]分析了多種約束條件，并指出最小模約束條件對于常見的陣列相位誤差的校正效果最好。這樣，我們利用第一上對角線的 M - 2 個獨立的方程和最小模約束條件，便可以完成對相位誤差的無模糊估計，它可以表示成一個帶線性約束的最小二乘問題，如式(9)所示：

幅相誤差和互耦效應同時存在時的自校正算法可描述為以下的三步：

① 利用經典自校正算法得到互耦矩陣C和幅度誤差矩陣γΓ的估計；

② 利用式(6)修正陣列輸出的協方差矩陣；

③ 利用式(9)完成對相位誤差θΓ的估計。

3 計算機仿真結果

本文通過兩個實驗驗證校正算法的性能。

實驗一 蒙特卡洛仿真。實驗選擇 10M= 的均勻線陣，d取半波長，N =3，分別位于-20°, 0°和25°，取512個快拍，信噪比從0 dB到40 dB變化，蒙特卡洛實驗的每一個信噪比下，做200次的獨立實驗。假設陣元間只有相鄰單元存在互耦，其互耦系數為 c=0. 2+0.12i，幅度誤差的取值為：1.20，1.13，0.81，0.80，0.94，0.81，0.78，1.09，0.80，1.01；相位誤差的取值為（單位為度）：3.0，-0.6，-13.2，-11.4，-0.4，2.0，-11.4，13.7，-7.2，-11.6。仿真結果如圖1到圖5所示。

圖1 對陣列幅度誤差估計的性能

圖 1所示的平均偏差是對各陣元幅度誤差估計偏差的絕對值的平均，而平均均方根誤差是對各陣元的相位誤差估計均方根誤差的平均。圖1到圖3說明經典自校正算法可以對均勻線陣的幅度誤差和互耦系數作出正確的估計；圖4給出了經典自校正算法[2]對陣列相位誤差的估計，由于多解性的存在，算法不能收斂于正確的相位誤差上，從而導致了錯誤的估計。圖5是使用了式(9)解模糊后的相位誤差估計，算法很好地去除了相位估計的模糊性，可以看出算法對相位誤差的估計是有偏的，高信噪比的時候平均偏差在1.2度左右，平均均方根誤差在0.3度以內。

實驗二 利用實驗一的實驗條件，校正源的信噪比固定為10 dB，利用本文提出的校正算法對陣列的誤差進行校正。觀察校正前后陣列對位于-2度和2度兩個相距很近的信號源的分辨能力，信號源的信噪比為10 dB，對未校正的MUSIC譜和校正后的MUSIC譜分別做20次獨立的實驗，將這些實驗的MUSIC譜作于圖6中。

從圖6可以看出，未經校正的陣列完全不能分辨出這兩個相距很近的信號源，然而經過本文提出的算法校正后，MUSIC譜上可以很清楚地分辨出兩個分別位于-1度和1度的信號源。這說明了本文所提出的自校正算法對陣列超分辨性能有很大的改善。

圖2 對互耦系數幅度估計的性能

圖3 對互耦系數相位估計的性能

圖4 經典自校正算法對相位估計的性能

圖5 本文改進的自校正算法對相位估計的性能

圖6 算法對超分辨測角性能的改善

4 結語

由于均勻線陣的特殊結構，在自校正過程中必然存在相位誤差估計和信號源方位估計的耦合，使得算法出現多解性，導致自校正算法的失效。本文用蒙特卡洛仿真驗證了這種多解性只出現在相位誤差估計和信號源方位估計上，而自校正算法仍然能正確地對幅度誤差和互耦系數進行估計。在此基礎上，利用最小模約束條件很好地解決了相位誤差估計的模糊問題。本文提出的改進的自校正算法不需要陣列誤差以及DOA的先驗知識，對幅度誤差和互耦誤差的估計有很高的精度，同時也很好地解決了自校正算法對均勻線陣相位估計和DOA估計模糊的問題，陣列用該算法校正以后，超分辨的性能得到了很大的改善。

[1] 王永良.空間譜估計理論與算法[M].北京:清華大學出版社,2004：124-160.

[2] Friedlander B, Weiss A J. Direction Finding in the Presence of Mutual Coupling[J]. IEEE Trans. on Antennas and Propagation,1991,39(03):273-284.

[3] Hung E K L.A Critical Study of A Self-calibrating Direction-Finding Method for Arrays[J]. IEEE Trans. on Signal Processing,1994,42(02):470-474.

[4] Pierre J, Kaveh M. Experimental Performance of Calibration and Direction Finding Slgorithms[C]//Proceedings of IEEE ICASSP-91.Toronto:IEEE,1991:1365-1368.

[5] Xie Z M, Wang J S.The Ability of Blind Calibration for the Linear Array[C]//IEEE, Antennas and Propagation Society International Symposium.Albuquerque:IEEE,2006:4565-4568.

[6] Paulraj A, Kallath T. Direction of Arrival Estimation by Eigenstructure Methods with Unkonwn Sensor Gain and Phase[C]//IEEE International Conference on ICASSP.IEEE,1985: 640-643.

[7] Youming Li, Er M H. Theoretical Analyses of Gain and Phase Error Calibration with Optimal Implementation for Linear Equispaced Array[J].IEEE Trans. on Signal Processing, 2006,54(02):712-723.

[8] 賈永康,保錚,李有明. 線性陣相位誤差校正約束條件性能分析[J].電子學報,1998,26(04):104-106.

[9] 令瀚,黃志清,張麗婭.基于均勻線陣的混合源波達方向估計方法[J].通信技術,2009,42(01):123-125.

[10] 李曉剛,曹祥玉,劉濤.EBG結構在曲面共形天線中的應用[J].通信技術,2009,42(01):48-50.