球籠式等速萬向節圓弧形溝道接觸應力影響因素分析

湯雙清，胡 歡，徐艷飛

(三峽大學 機械與材料學院，湖北 宜昌 443002)

符號說明

Dw——鋼球直徑，mm

Dpw——球組節圓直徑，mm

E——彈性模量

E1——當量彈性模量

μ——接觸體的泊松比

ε——第二類橢圓積分

k——接觸橢圓系數

f——溝道曲率系數

Li，Le——星形套、鐘形殼與鋼球接觸點的力臂，mm

p——接觸應力

P0——溝道與鋼球間的接觸載荷，N

R1——圓弧溝道曲率半徑，mm

∑R——主曲率半徑和，mm

Rx,Ry——當量主曲率半徑，mm

rax,ray——接觸點鋼球主曲率半徑，mm

rbx,rby——接觸點溝道主曲率半徑，mm

T——萬向節傳遞的扭矩，N·m

Z——鋼球數

下標

i——內圈(星形套)溝道

e——外圈(鐘形殼)溝道

球籠式等速萬向節是目前應用最為廣泛的等速萬向節，作為前置前驅動轎車的關鍵部件，等速萬向節的性能和壽命與接觸應力密切相關，萬向節疲勞破壞的特征通常是溝道表面產生剝落和麻點[1-2]。圓弧形溝道由于容易加工，且鋼球和溝道只有兩個接觸點，不易出現“滯點”而被廣泛使用。以下通過使用Hertz接觸理論對球籠式等速萬向節圓弧形溝道的接觸應力進行參數化的公式推導，尋找出對萬向節溝道接觸應力有影響的參數。應用正交試驗優化設計方法，將相應的影響參數選取為主要因素，并將其作為自變量設計正交化試驗。對正交試驗結果進行極差分析，得到3個主要因素對接觸應力大小的影響程度。通過關注主要的影響因素，來指導圓弧形溝道等速萬向節的設計生產加工，以便能有效減小溝道接觸應力，從而增加其使用壽命。

1 圓弧形溝道接觸應力的理論推導及影響因素

對等速萬向節進行內部接觸應力的理論分析，實際上是進行彈性接觸分析，目前彈性接觸分析主要采用的是Hertz接觸理論。

1.1 結構參數的確定

圓弧截面形式的溝道是由一半徑稍大于鋼球半徑的圓弧形成，如圖1所示，以鋼球球心為原點，建立平面直角坐標系，OO1為圓弧的圓心和鋼球圓心之間的距離。

圖1 圓弧溝道幾何模型

(1)

R1=fDw

(2)

由(2)式可得：

(3)

由此可知，圓弧溝道的結構參數OO1，R1僅同鋼球直徑Dw和接觸點溝曲率系數f有關。

1.2 圓弧溝道主曲率半徑和的確定

鋼球與內圈接觸主曲率可表示為：

(4)

rby=-R1=-fDw

同理,鋼球與外圈接觸主曲率可表示為：

(5)

rby=-R1=-fDw

引入當量主曲率：

(6)

(7)

主曲率和表示為：

(8)

則對于內溝道：

對于外溝道：

1.3 Hertz理論接觸應力計算公式

根據文獻[1]中的介紹，假定理想狀態下作用在各球上的力相等，接觸區處于彈性應力狀態，且接觸面尺寸比物體接觸點曲率半徑小得多。由此便可直接引用Hertz理論求解接觸應力。

傳遞扭矩為T時6個鋼球同時受載，理想狀態下6個鋼球上傳遞力的大小相同，此時作用在鋼球與溝道接觸點的接觸載荷可表示為[4]：

(9)

(10)

當接觸點主曲率、法向載荷、彈性模量和泊松比已知時，用Hertz公式求得接觸橢圓長、短半軸，進而可求得最大接觸應力。

(11)

k和ε分別為橢圓系數和第二類橢圓積分，可分別由下式求得[4]：

1.4 溝道接觸應力的影響因素

由上兩節的公式推導可知，對圓弧形溝道接觸應力有直接影響的參數為法向載荷P0、當量彈性模量E1、橢圓系數k、第二類橢圓積分ε以及接觸點主曲率半徑和∑R。當萬向節的材料一定時，接觸體的彈性模量和泊松比就一定，從而當量彈性模量E1一定；在鋼球數Z=6及傳遞的扭矩T一定時，對法向載荷P0的影響參數為球組節圓直徑Dpw和鋼球直徑Dw；橢圓系數k、第二類橢圓積分ε以及接觸點主曲率半徑和∑R都與球組節圓直徑Dpw、鋼球直徑Dw以及溝道的溝曲率系數f有關，由此可知，圓弧形球籠式等速萬向節溝道接觸應力的主要影響因素為Dpw，Dw和f。

2 接觸應力影響因素的正交試驗優化設計

2.1 正交試驗的因素與水平確定

對圓弧形球籠式等速萬向節溝道接觸應力有直接影響的結構參數為球組節圓直徑Dpw、鋼球直徑Dw以及溝道的溝曲率系數f，故以這3個參數作為正交試驗的因素，以溝道接觸應力大小為正交試驗的性能指標進行正交試驗。

參照文獻[3]中等速驅動軸的相關參數，選取球籠式等速萬向節傳遞的最大轉矩為T=1 122 N·m，所用鋼球直徑為Dw=15.875 mm，球組節圓直徑為Dpw=54.3 mm，雙心弧溝道和橢圓溝道與鋼球接觸角β=45°，圓弧形溝道溝曲率系數通常取f=0.505～0.520。鋼球材料為GCr15，泊松比為μa=0.29，彈性模量為Ea=2.06×1011N/m2；鐘形殼材料為55#鋼，泊松比為μb=0.3，彈性模量為Eb=2.01×1011N/m2；星形套材料為20CrMnTi，泊松比為μc=0.29，彈性模量為Ec=2.06×1011N/m2。按照以上3個因素的取值，每個因素取3種水平，其正交試驗的因素水平表如表1所示。

表1 接觸應力正交試驗優化設計因素水平表

2.2 正交試驗方案組合及計算

因該正交試驗有3個因素，每個因素都有3個水平，現選用L9(34)列出接觸應力的正交試驗方案表(表2)[5-7]。

表2 接觸應力正交試驗方案組合表

根據上節中已知的各種參數及表2中對應的9組正交試驗方案，由(11)式分別計算相應內、外溝道的接觸應力，得出各試驗的各項指標結果(表3)。

表3 各試驗方案的指標結果

3 極差分析法分析

3.1 極差分析法計算

由表3的各列因素A，B，C分別計算每一種水平上試驗值(接觸應力性能指標)的平均數[5-7]。

即因素A在1，2，3水平上試驗值的平均數分別為：

(1)對于內溝道

K1A=3 303.62；K2A=3 176.88；

K3A=3 106.80。

因素B在1，2，3水平上試驗值的平均數分別為

K1B=3 255.82；K2B=3 232.74；

K3B=3 098.74。

因素C在1，2，3水平上試驗值的平均數分別為

K1C=2 686.80；K2C=3 296.75；

K3C=3 603.76。

算出因素A,B,C的極差R(1，2，3水平中最大減最小的差)

RA=196.82；RB=157.08；RC=916.96。

(2)對于外溝道

K1A=2 439.42；K2A=2 430.37；

K3A=2 402.71。

因素B在1，2，3水平上試驗值的平均數分別為

K1B=2 551.82；K2B=2 415.43；

K3B=2 305.24。

因素C在1，2，3水平上試驗值的平均數分別為

K1C=2 051.81；K2C=2 470.10；

K3C=2 750.58。

算出因素A,B,C的極差(1，2，3水平中最大減最小的差)

RA=36.71;RB=246.58;RC=698.77。

3.2 各因素極差R主次關系比較分析

根據計算，對于內溝道：RC>RA>RB；對于外溝道：RC>RB>RA。

由上面的各因素極差值的比較可知：溝道的溝曲率系數對球籠式等速萬向節內、外溝道接觸應力的影響極為顯著；而球組節圓直徑和鋼球直徑的影響次之。

3.3 因素水平與指標關系圖及試驗分析

因素A實際水平為52.4，54.3，56.2 mm。以實際水平為橫坐標，試驗值(接觸應力性能指標)平均數K1A，K2A，K3A為縱坐標，按照內、外溝道分別作圖。對因素B、因素C也同樣作圖[5-7]，詳見圖2～圖4。

圖2 平均接觸應力與A因素水平關系圖

圖3 平均接觸應力與B因素水平關系圖

圖4 平均接觸應力與C因素水平關系圖

由以上平均接觸應力與各因素水平關系圖可知：在總體趨勢上，內溝道接觸應力大于外溝道接觸應力與實際非常相符。圖2中，內、外溝道的接觸應力隨著球組節圓直徑的增大而減小。圖3中，內、外溝道的接觸應力也是隨著鋼球直徑的增大而減小，這說明通過適當增大球組節圓直徑和鋼球直徑，可以減小球籠式等速萬向節內、外溝道的接觸應力。但同時，球組節圓直徑和鋼球直徑的增大，會使整個球籠式萬向節尺寸增大，這又是不利的。圖4中，隨著溝曲率系數的增大，內、外溝道的接觸應力增大，而且變化趨勢較大，這也驗證了溝曲率系數是影響圓弧形球籠式等速萬向節內、外溝道接觸應力最為顯著的影響因素。減小溝曲率系數，可以顯著地減小其內、外接觸應力，從而增加其使用壽命。溝曲率系數的減小，意味著鋼球和溝道的接觸區域增大，這也對溝道的加工以及內部潤滑及散熱提出較高的要求。

4 結束語

通過使用Hertz接觸理論公式及結構參數的推導，提出對圓弧形球籠式等速萬向節內、外溝道接觸應力大小有影響的3個因素——鋼球回轉直徑、鋼球直徑以及溝道溝曲率系數，通過應用正交試驗優化設計方法，驗證了溝道溝曲率系數是影響圓弧形球籠式等速萬向節內、外溝道接觸應力最為顯著的影響因素。通過適當控制溝道溝曲率系數大小，可以達到有效減小內、外接觸應力，提高其性能及使用壽命的目的。