線接觸彈流脂潤滑的數(shù)值分析及其應(yīng)用

于 玫，黃 平

（華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640）

彈性流體動力潤滑（elasto-hydrodynamic lubrication，EHL）（以下簡稱彈流潤滑）問題，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上講，需聯(lián)立求解流體潤滑方程（Reynolds方程）、固體表面彈性變形方程、潤滑膜幾何方程、潤滑劑黏度方程和密度方程［1］，由于彈流系統(tǒng)的復(fù)雜性和強烈的非線性，其幾乎不可能求得解析解。彈流潤滑的完全數(shù)值解就成為全面了解彈流潤滑機理和特性的有效途徑［2］。

在彈流潤滑研究中，所討論的流體大多是Newton流體，即流體的運動規(guī)律符合Newton的推斷：黏性剪切應(yīng)力與剪切應(yīng)變率成正比［3］。潤滑脂具有較強的非Newton流體特性，因此其彈流問題的理論研究更加復(fù)雜。隨著彈流理論研究的不斷深入和彈流應(yīng)用的推廣，基于非Newton流體的彈流潤滑研究日益受到關(guān)注。文獻［4］對脂潤滑彈流問題進行了全面的理論分析和試驗研究，推導(dǎo)出了適用于Herschel-Bulkley流變模型的一維潤滑方程，用分區(qū)解法求得線性彈流潤滑完全數(shù)值解。特殊工況下使用的滾動軸承的接觸潤滑分析技術(shù)在近年來取得顯著進展［5］。然而由于脂潤滑彈流問題的復(fù)雜性，目前能見到的對脂潤滑數(shù)值分析的研究還不多［6］。這里以O(shè)stwald模型為基礎(chǔ)建立脂潤滑控制方程，運用多重網(wǎng)格法對等溫線接觸脂潤滑彈流潤滑方程進行求解，并以轎車輪轂軸承為例，分析了主要工況參數(shù)對潤滑膜壓力分布和潤滑膜形狀的影響。

1 輪轂軸承潤滑脂流變特性本構(gòu)方程

這里研究的輪轂軸承為圓錐滾子軸承，其常采用潤滑脂實現(xiàn)終身潤滑。在彈流脂潤滑中，脂潤滑膜的重要特征是分層流動，即內(nèi)層無剪切流動，外層為剪切流動［3］。描述潤滑脂流變特性的本構(gòu)方程目前主要采用Ostwald，Bingham及Herschel-Bulkley 3種模型［7］。文獻［8］通過大量試驗認為國產(chǎn)潤滑脂的特性符合Herschel-Bulkley模型，它含有3個參數(shù)。而這里認為該模型的特例就是Ostwald模型，兩者的特性有較大的共性。文獻［9］認為，工業(yè)上80%的廣義Newton體均可用Ostwald模型，它僅需確定2個參數(shù)，使用簡單，因此被廣泛采用。所以，這里以O(shè)stwald模型為基礎(chǔ)建立脂潤滑的控制方程。Ostwald模型的本構(gòu)方程為：

式中：τ為剪切應(yīng)力；?為塑性黏度；u為潤滑膜流動速度；z為潤滑膜厚度方向；n為流變指數(shù)；γ·為剪應(yīng)變率。

嚴格說來，流變參數(shù)?和n都應(yīng)是溫度和壓力的函數(shù)，對于等溫潤滑問題不考慮溫度的影響，而流變參數(shù)與壓力的關(guān)系通常按簡化處理，即認為n與壓力p無關(guān)［10］。

另外，密度的變化對脂潤滑彈流計算的影響較小，通常在彈流脂潤滑研究中，假設(shè)潤滑膜為不可壓縮介質(zhì)［3］。

2 數(shù)值分析與求解

2.1 經(jīng)典脂潤滑Reynolds方程的修正

根據(jù)（1）式，由文獻［4］得等效Reynolds方程為：

2.2 脂彈流潤滑其他方程

線接觸接觸體的長度和曲率遠大于接觸寬度，可認為屬于平面應(yīng)變狀態(tài)，相當(dāng)于平直的彈性半無限體受分布載荷作用［11］，如圖1所示。表面上各點沿垂直方向的彈性位移為：

圖1 線接觸彈性變形

式中：s是x軸上的附加坐標，表示任意線載荷p（s）ds與坐標原點的距離；p（s）為載荷分布函數(shù)；s1和s2為載荷p（x）的起點和終點坐標；c為待定常數(shù)。

如圖2所示，將（7）式與潤滑膜壓力作用下的彈性變形疊加，可以求得膜厚方程為：

圖2 潤滑膜的間隙

Roelands提出了較符合實際的等溫條件下的黏壓關(guān)系式：

式中：z為試驗常數(shù)，近似為0.1～1.5。

2.3 基本方程的無量綱化

在數(shù)值分析前，需要將線接觸潤滑基本方程無量綱化［12］。無量綱膜厚方程為：

脂潤滑狀態(tài)是處于動態(tài)的變化過程，分析脂潤滑彈流一般針對潤滑脂在經(jīng)過剪切穩(wěn)定后的流變參數(shù)相對穩(wěn)定的狀態(tài)［13］。用多重網(wǎng)格法計算（6）和（10）～（12）式組成的方程組［7］。迭代過程包括壓力修正和載荷平衡所需的剛體位移的修正，這些都是在某一特定網(wǎng)格下進行的［14］。此處對較輕的壓力進行修正時采用Gauss-Seidel迭代法；當(dāng)壓力較大時，由于采用這種方法容易發(fā)散，因此采用Jacobi雙極子迭代法。兩種方法同時使用，從而解決了脂彈流潤滑的入口區(qū)壓力變化劇烈和接觸區(qū)載荷難以平衡的問題，較好地得到問題的收斂數(shù)值解。

3 計算結(jié)果與分析

根據(jù)運算結(jié)果可以對圓錐滾子軸承的彈流潤滑進行分析。圖3是基于表1的工況參數(shù)下，載荷、速度、流變指數(shù)n分別對潤滑膜形狀和潤滑膜壓力分布的影響示意圖。圖4反映了工況參數(shù)對潤滑膜最小厚度和最大壓力的影響。

圖3 工況參數(shù)對潤滑膜的影響

表1 工況參數(shù)

圖4 工況參數(shù)對潤滑膜最大壓力和最小厚度的影響

從圖3中可看到：（1）脂潤滑彈流膜厚形狀和壓力分布與油潤滑情況相似。脂潤滑彈流膜具有與油潤滑膜相同的二次壓力峰和出口區(qū)的頸縮現(xiàn)象；（2）載荷的變化對潤滑膜壓力分布有顯著影響，但對潤滑膜厚度的影響比較小。在轎車輪轂軸承可能的承載條件下，隨著載荷的減小，二次壓力峰的高度降低，其位置向入口區(qū)移動。在接觸區(qū)中部，潤滑膜壓力接近于Hertz應(yīng)力分布，潤滑膜呈近似平行狀。在二次壓力峰對應(yīng)處，潤滑膜開始收縮，形成出口區(qū)的頸縮現(xiàn)象；（3）當(dāng)速度增加時，膜厚相應(yīng)增加，潤滑膜的平行部分縮短，二次壓力峰的高度增加，其位置也向入口區(qū)移動。很顯然，卷吸速度增大（軸承轉(zhuǎn)速提高）有利于形成良好的彈流潤滑膜，從而讓軸承處于良好的潤滑狀態(tài)；（4）軸承在一定的承載和卷吸速度條件下，隨著流變指數(shù)n的增大，二次壓力峰的高度升高，其位置向入口區(qū)移動，膜厚相應(yīng)增加。

從圖4中可看到：（1）潤滑膜的最大接觸壓力隨著載荷的增大而增大，最小膜厚隨著載荷的增大而減小，并且都呈近似線性關(guān)系；（2）當(dāng)卷吸速度增大時，潤滑膜的最小厚度和最大壓力都隨之增大，并且也都呈近似的線性關(guān)系；（3）潤滑膜最大接觸壓力和最小厚度都隨著n的增大而增大，所以n越大越有利于形成良好的彈流潤滑膜。

4 結(jié)束語

對經(jīng)典等效脂潤滑Reynolds方程存在的問題進行了修正，解決了計算不確定問題。利用輪轂軸承參數(shù)，編制程序?qū)Σ煌髯儏?shù)條件下的彈流脂潤滑進行了計算，結(jié)果合理。在一般的工況條件下，計算得到的膜厚在彈流潤滑解的范圍之內(nèi)，并且潤滑膜壓力分布與形狀均存在二次壓力峰和頸縮現(xiàn)象。最大壓力和最小膜厚隨工況參數(shù)的變化趨勢符合實際。這表明文中給出的求解滾子軸承的脂潤滑線性彈流問題的方法是可行的，能夠較好模擬滾子軸承脂潤滑情況，可為開發(fā)輪轂軸承提供數(shù)值分析手段。