帶電粒子在電磁場中的運動圖形賞析

鮑 翔

(揚州大學附屬中學東部分校,江蘇揚州 225000)

帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中運動分別要受到電場力和洛倫茲力的作用,電場力會改變粒子的速度大小,而洛倫茲力只能改變速度的方向.由于所受力及初始條件的不同,帶電粒子在電磁場中形成不同的圖形.這些圖形具有和諧、對稱、統一的美,同時圖形也反映了有關帶電粒子在電磁場中運動時的不同特性.研究這些圖形,可以直觀地得到解題思路和方法,給人以美的享受、美的啟迪,能使學生體會到物理學的美.現以例題形式解析在電磁場中幾種常見的圖形.

1 “扇面”圖形

例1.(2006年天津卷)在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內,存在磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向里的勻強磁場,如圖1所示.一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿-x方向射入磁場,它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出.

(2)若磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應強度的大小變為B′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°,求磁感應強度B′多大?此次粒子在磁場中運動所用時間 t是多少?

圖1

圖2

解析:由題意分析可知,畫出粒子先后兩次的運動軌跡,如圖2所示,則粒子運動的軌跡形成一“扇面”圖形.

2 “心臟”圖形

圖3

圖4

解析:粒子重新回到 O點時其運行軌道如圖4所示,形成一個“心臟”圖形.由圖可知,粒子在 B1中運行時間為

粒子在B2中運行時間為

所以粒子運動的總時間為

3 “拱形”圖形

例4.(1998年全國卷 1)如圖5所示,在 x軸上方有垂直于xy平面的勻強磁場,磁感應強度為B,在 x軸下方有沿y軸負方向的勻強電場,場強為 E.一質量為 m,電荷量為-q的粒子從坐標原點O沿y軸正方向射出,射出之后,第3次到達x軸時,它與O的距離為L.求此粒子射出時的速度和運動的總路程.

圖5

圖6

解析:粒子從O點射入磁場,在洛倫茲力作用下經歷半個圓周進入電場,先做勻減速直線運動,速度減小至零后又返回做勻加速直線運動,接著,粒子就以同樣的方式繼續運動.畫出粒子運動軌跡如圖6所示,形成“拱形”圖形.

設粒子進入電場后沿 y軸負方向做勻減速運動的最大路程y,由動能定理知

所以粒子運動的總路程為

4 “葡萄串”圖形

例5.如圖7(甲)所示,兩塊水平放置的平行金屬板,板長 L=1.4 m,板間距 d=30 cm.兩板間有 B=1.25 T,垂直于紙面向里的勻強磁場.在兩極板上加如圖7(乙)所示的脈沖電壓.在 t=0時,質量 m=2×10-15kg,電荷量q=1×10-10C的正離子,以速度 v0=4×103m/s從兩板中間水平射入.試求:粒子在板間做什么運動?畫出其運動軌跡.

圖7

圖8

5 “花瓣形”圖形

例6.(2000年天津卷)如圖9所示,兩個共軸的圓筒形金屬電極,外電極接地,其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫 a、b、c和d,外筒的外半徑為 r0.在圓筒之外的足夠大區域中有平行于軸線方向的勻強磁場,磁感應強度的大小為B.在兩極間加上電壓,使兩圓筒之間的區域內有沿半徑向外的電場.一質量為m,帶電荷量為+q的粒子,從緊靠內筒且正對狹縫a的S點出發,初速為零.如果該粒子經過一段時間的運動之后恰好又回到出發點S,則兩電極之間的電壓U應是多少(不計粒子重力,整個裝置處在真空中)?

圖9

圖10

解析:帶電粒子從S出發,在兩筒之間的電場力作用下加速,沿徑向穿出 a而進入磁場區,在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動.粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫b.只要穿過了 b,粒子就會在電場力作用下先減速,再反向加速,經b重新進入磁場區.然后,粒子將以同樣方式經過 c、d,再經過 a回到S點,如圖10所示.

設粒子射入磁場區的速度為v,根據能量守恒,有

設粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動的半徑為R,由洛倫茲力公式和牛頓定律得

帶電粒子在電磁場中運動的圖樣豐富多彩,此文僅列舉一些圖樣,還有一些其他圖樣,在此不再一一列舉.通過對這些圖樣的欣賞與分析,既可以陶冶人的審美情操,又可提高人的思維能力.