子彈打木塊問題的圖像解法

王秀芳 王建中

(1.山西省長治市華北機(jī)電學(xué)校基礎(chǔ)部,山西 長治 046000;2.山西省長治市長治學(xué)院附屬太行中學(xué),山西長治 046000)

子彈打入木塊后可能穿出,也可能不穿出,如果木塊被置于光滑的水平面上,那么子彈水平擊入木塊的過程中總動量一定守恒,同時還存在著子彈動能向木塊的傳遞和向內(nèi)能的轉(zhuǎn)化,這就是所謂的“子彈打木塊”問題.該問題常用的解法是列動量守恒和能量轉(zhuǎn)化的方程,而在“打擊條件變化后結(jié)果判斷”類選擇題中,利用速度圖像來判斷將更準(zhǔn)確,也更便捷.

1 利用速度圖像表示子彈打擊木塊的過程

情形1.一子彈水平擊中放置在光滑水平面上的木塊中最終沒有穿出,試用圖像法分析木塊及子彈的運(yùn)動情況.

圖1 -0

分析:設(shè)子彈質(zhì)量為m,木塊質(zhì)量 M,子彈初速度 v0,作用時間為 t,則子彈和木塊受同樣大小的作用力,方向相反,設(shè)此力大小不變,則子彈作勻減速而木塊作勻加速運(yùn)動,由于子彈沒有穿出,故最終二者達(dá)到共同的運(yùn)動速度,如圖1-0.其中圖線①為子彈的圖像;圖線②為木塊的圖像;圖線③為最終共同運(yùn)動的圖像.圖線①、②的斜率絕對值分別表示子彈打入木塊過程中子彈和木塊加速度的大小;三角形Opt0的面積表示子彈打入過程中木塊發(fā)生的位移,而梯形 Ov0Pt0的面積表示子彈打入過程中子彈發(fā)生的位移,陰影部分即三角形OPv0的面積就等于子彈相對于木塊的位移,即子彈打入木塊的深度.

討論:(1)如果子彈初速度增大;(2)如果子彈質(zhì)量增大;(3)如果木塊質(zhì)量增大……,在子彈不穿過木塊且相互作用力不變的條件下,圖線將有何變化?木塊位移s木、子彈位移s子、打入深度 d、打入時間 t、共同的末速度 v共又將如何變化?

答:(1)如果子彈初速度增大;子彈的速度圖線將上移,子彈和木塊的加速度均不變,此間木塊位移 s木和子彈位移s子均增大、打入深度d和打入時間t也增大、共同的末速度 v共也增大,如圖1-1所示.

圖1 -1

圖1 -2

圖1 -3

(2)如果子彈質(zhì)量增大;子彈的速度圖線將變緩(加速度變小),木塊位移 s木增大、子彈位移s子也增大、打入深度 d增大、打入時間 t增加、共同的末速度 v共增大,如圖1-2所示.

(3)如果木塊質(zhì)量增大,子彈的速度圖線不變而木塊的速度圖線將變緩(加速度變小),使木塊位移 s木減小、子彈位移 s子增加、打入深度 d增加、打入時間 t增加、共同的末速度 v共減小.如圖1-3所示.

圖2 -0

情形2.子彈穿過木塊時,圖像如圖 2-0,其中圖線①為子彈的速度圖線;圖線②為木塊的速度圖線;圖線③為射出后子彈的速度圖線;圖線④為子彈射出后木塊的速度圖線.斜率的絕對值分別表示打入過程中子彈和木塊加速度的大小;而陰影部分的面積就表示木塊的長度.

討論:(1)如果子彈初速度增大;(2)如果子彈質(zhì)量增大;(3)如果木塊質(zhì)量增大……,而相互作用力不變,圖線又會有何變化?木塊位移 s木、子彈位移s子、打入時間 t、各自的末速度 v子、v木又將如何變化?

答:(1)如果子彈初速度增大時,子彈的速度圖線將上移,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖 2-1所示.

(2)如果子彈質(zhì)量增大,子彈的速度圖線將更緩,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖2-2所示.

(3)如果木塊質(zhì)量增大,子彈的速度圖線不變而木塊速度圖線變緩,木塊位移 s木減小、子彈位移 s子減小、打入時間 t縮短、各自的末速度 v子增大、v木減小,如圖2-3所示.

2 舉例(分析過程略)

例1.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對子彈的阻力恒定,則當(dāng)子彈入射速度增大時,下列說法正確的是

(A)木塊獲得的動能變大.

(B)木塊獲得的動能變小.

(C)子彈穿過木塊的時間變長.

(D)子彈穿過木塊的時間變短. 答案:(B)、(D).

例2.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對子彈的阻力是恒定的,則當(dāng)子彈的質(zhì)量增大時,下列說法正確的是

(A)木塊獲得的動能變大.

(B)木塊獲得的動能變小.

(C)子彈穿過木塊的時間變長.

(D)子彈穿過木塊的時間變短. 答案:(B)、(D).

例3.一顆速度較大的子彈,水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊,設(shè)木塊對子彈的阻力是恒定的,則當(dāng)木塊的質(zhì)量增大時,下列說法正確的是

(A)木塊獲得的動能變大.

(B)木塊獲得的動能變小.

(C)子彈穿過木塊的時間變長.

(D)子彈穿過木塊的時間變短. 答案:(B)、(D).

3 木塊在平板車上的運(yùn)動與子彈打木塊相似

圖3 -0

例.如圖3-0所示,光滑的水平面上有質(zhì)量為 M的長平板車以初速度v0向右運(yùn)動,此時將一質(zhì)量為 m的物塊輕放在平板車的最右端,設(shè)m與M間動摩擦因數(shù)為μ,欲使m不從M上掉下來,M的長度至少應(yīng)為多少?

分析:當(dāng)物塊 m放到小車M上以后,由于摩擦力的作用,物塊m 將做勻加速直線運(yùn)動:而小車則做勻減速直線運(yùn)動.物塊 m不從小車M上掉下來,意味著最終 m將與M達(dá)到相同的速度.

物塊m放到小車M上后由于水平方向不受外力,因此動量守恒.設(shè)共同速度為 v共,則有 Mv0=(m+M)v共.

圖3 -1

解法1.利用牛頓運(yùn)動定律,如圖3-1.對物塊

對小車2a車s=v02-v共2.

解法2.根據(jù)摩擦生熱規(guī)律,有

解法3.利用圖像求解,作 v-t圖像,如圖3-2所示.

圖3 -2

如果m掉不下來,設(shè)經(jīng)時間t0二者速度相等,則在 t0時間內(nèi) M運(yùn)動的位移為

在t0時間內(nèi)m運(yùn)動的位移為

所以平板車的最小長度為