利用不等式的性質(zhì)解物理題

王金聚

(浙江省溫州中學(xué),浙江溫州 325000)

1 利用不等式的傳遞性

數(shù)學(xué)模型:如果 a＞b,b＞c,那么 a＞c.

例1.有4盞燈,接入如圖1所示的電路中,L1和 L2都標(biāo)有“220 V,100 W”字樣,L3和 L4標(biāo)有“220 V,40 W”字樣,把電路接通后,最暗的燈將是

圖1

(A)L1. (B)L2. (C)L3. (D)L4.

解析:由它們的額定電壓、額定功率可以計(jì)算出4盞燈的電阻分別為:

所以 R1=R2＜R3=R4.即 R4＞R1＞R23并.

因?yàn)榇?lián)電路 P∝R,所以 P4＞P1＞(P2+P3).而 L2與 L3并聯(lián),并聯(lián)電路中所以 P2＞P3.

這4盞燈功率的關(guān)系是:P4＞P1＞P2＞P3,即燈 L3的實(shí)際功率最小,所以L3最暗,正確選項(xiàng)是(C).

2 利用不等式的定和求積模型

數(shù)學(xué)模型:如果兩個(gè)正數(shù)的和一定,當(dāng)兩數(shù)相等時(shí),其積最大.

圖2

例2.(2003年上海卷)為研究靜電除塵,有人設(shè)計(jì)了一個(gè)盒狀容器,容器側(cè)面是絕緣的透明有機(jī)玻璃,它的上下底面是面積 A=0.04 m2的金屬板,間距 L=0.05 m,當(dāng)連接到U=2 500 V的高壓電源正負(fù)兩極時(shí),能在兩金屬板間產(chǎn)生一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng),如圖2所示,現(xiàn)把一定量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi),每立方米有煙塵顆粒1013個(gè),假設(shè)這些顆粒都處于靜止?fàn)顟B(tài),每個(gè)顆粒帶電荷量為 q=+1.0×10-17C,質(zhì)量為 m=2.0×10-15kg,不考慮煙塵顆粒之間的相互作用和空氣阻力,并忽略煙塵顆粒所受重力.求合上電鍵后,

(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間煙塵顆粒可以被全部吸附?

(2)除塵過程中電場(chǎng)對(duì)煙塵顆粒共做了多少功?

(3)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間容器中煙塵顆粒的總動(dòng)能達(dá)到最大?

解析:(1)當(dāng)最靠近上表面的煙塵顆粒被吸附到下板時(shí),煙塵就被全部吸附.煙塵顆粒受到的電場(chǎng)力

(3)設(shè)煙塵顆粒下落距離為 x,則

3 利用不等式的定積求和模型

數(shù)學(xué)模型:如果兩個(gè)正數(shù)的乘積一定,當(dāng)兩數(shù)相等時(shí),其和最小.

例3.如圖3所示,一平直的傳送帶以速度v=2 m/s做勻速運(yùn)動(dòng),傳送帶把 A處的工件運(yùn)送到B處,A、B相距l(xiāng)=10 m.在A處把工件無初速地放到傳送帶上,經(jīng)過時(shí)間t=6 s,能傳送到B處.現(xiàn)調(diào)整傳送帶的運(yùn)行速度,以使工件從A處傳送到B處的時(shí)間最短,求傳送帶的運(yùn)行速度至少為多大?

圖3

解上述4式得

若要工件最短時(shí)間傳送到B,工件加速度仍為a,設(shè)傳送帶速度為v,工作先加速后勻速,同理有又因?yàn)樗曰?jiǎn)得因?yàn)槌Ａ?所以當(dāng)即時(shí),t有最小值,.表明工件一直加速到B所用時(shí)間最短.

4 利用不等式的降冪模型

數(shù)學(xué)模型:若 an＞bn且a、b為正數(shù),n為正整數(shù),則 a＞b.

例4.物體沿一直線運(yùn)動(dòng),在 t時(shí)間內(nèi)通過的路程為x,它在中間位置處的速度為v1,在中間時(shí)刻的速度為v2,則 v1和 v2的關(guān)系為

(A)當(dāng)物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),v1＞v2.

(B)當(dāng)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),v1＞v2.

(C)當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),v1=v2.

(D)當(dāng)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),v1＜v2.

解析:利用公式比較.設(shè)這段過程的初速為v0,末速度為vt,則由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律知所以當(dāng) v0=vt時(shí)取“=”號(hào),當(dāng) v0≠vt時(shí),有 v1＜v2,所以正確選項(xiàng)為(A)、(B)、(C).

5 利用不等式的“三均值模型”

例5.一輕繩一端固定在O點(diǎn),另一端拴一小球,拉起小球使輕繩水平,然后無初速度的釋放,如圖4所示,小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中,小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處具有最大值?

圖4

解析:當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成θ角的C時(shí),重力的功率為

小球從水平位置到圖中C位置時(shí),機(jī)械能守恒有

解(1)、(2)式可得

令 y=cosθ sin2θ,因?yàn)?又因?yàn)?/p>