用物理方法求曲線運動的曲率半徑

黃振平

(江蘇省靖江高級中學,江蘇靖江 214500)

2008年江蘇高考物理題中出現了擺線的曲線半徑,在運用動力學方法推導開普勒第二定律中遠地點、近地點速度關系時也要用到曲率半徑,而曲率半徑在數學上有嚴格的意義和表達式.在中學階段,也可用物理方法求運動軌道的曲率半徑,下面給出幾種典型曲線運動的曲率半徑.

圖1

解析:如圖 1,把質點的橢圓運動看成兩個互相垂直的同頻率簡諧運動的疊加.設質點的運動方程為

對應的軌道方程就是題中給出的橢圓方程.

A(a,0)的速度vA是切向速度,又是質點在y方向振動時的速度振幅,有

此處質點受力沿x方向,即曲線的法向,大小為

法向加速度為

由(3)式和(5)式得到 A(a,0)處曲率半徑為

同理求得B(0,b)處切向速度、法向加速度、曲率半徑分別為

圖2

例2.如圖 2,一物體作初速為v0的平拋運動,得到一拋物線軌跡,求在拋物線上任一點處的曲率半徑.

解析:圖2中的拋物線方程可寫為

拋體的運動方程為

消去t得軌道方程

所以

設 t時刻拋射體抵達P點,其坐標為(x,y).為得到此處曲率半徑ρ,可利用圖中速率v和法向加速度an求得.

因為 vx=v0,vy=gt,所以又 an=得到

例3.一個剛性圓輪在直線軌道上作純滾動,圓輪邊緣上一點所經歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線、擺線).所謂純滾動就是圓輪與直線軌道的接觸點無相對運動.設圓輪半徑為R.試求滾線上各點的曲率半徑.

圖3

解析:滾線形狀與圓輪滾動快慢無關.選定一種圓輪滾動的方式,圓心O′以不變的速度v0沿直線軌道向右運動,同時圓輪繞圓心 O′以不變的角速度ω轉動,為保證圓輪在直線軌道上作純滾動,應有關系式

設圓輪滾動φ角,P點達圖3所示位置,P點瞬時速度為

其方向必沿滾線在P點的切線方向.P點的加速度為

此處已利用 v0是常量,輪心作勻速運動.vP′是P點相對O′的相對速度.此式說明,由于牽連加速度為零,絕對加速度等于相對加速度.故有

方向由P指向O′.因此,P點的法向加速度為

這里P點處曲線的法向為AP方向.由(1)、(2)式,得 P點曲率半徑為

這就是各φ處曲線的曲率半徑.

例4.一雜技演員在圓筒建筑物內壁表演飛車走壁.演員騎摩托車從底部開始運動,隨著速度增加,圈子越來越大,最后進入圓筒形直壁上行駛.開始在直壁上同一高度內作圓周運動,繼而又在直壁上作等距螺旋運動.已知圓筒直壁的半徑為 R,摩托車行駛速率為 v(勻速率運動),演員和摩托車的總質量為M.求:摩托車在圓筒形內壁上作等距螺旋線運動時螺旋軌道的曲率半徑[如圖4(a),設螺距為h].

圖4

解析:摩托車作等距螺旋運動時,由于速率v不變,無切向加速度.設摩托車的速度分解成水平方向速度 v水和豎起方向速度v豎,由于摩托車作等距螺旋運動,且運動中速率不變,所以可以知道,v豎在運動中方向和大小均保持不變;v水在運動中大小不變,方向不斷變化,其運動相當于同一水平面內作半徑為 R的勻速圓周運動.則

摩托車的加速度為

從摩托車運動的角度寫出法向加速度.盡管螺旋線是一條三維空間的曲線,但可以用與二維平面曲線確定曲率半徑相類似的原則來確定螺旋線的曲率半徑.因為在三維曲線上取一小線元,當線元趨于零時,必將趨于同一平面上的小圓弧,對應的圓弧半徑就是在該處的曲率半徑.由此可以寫出法向加速度.因等距螺旋線的對稱性,各處的曲率半徑相同,設為ρ,摩托車作螺旋運動時的法向加速度可以寫為

兩式比較得

利用摩托車在筒壁繞一圈的幾何關系,如圖4(b),得到

代入ρ的表達式,得螺旋線曲率半徑為