再 議 小 船 過 河

蔡 梅

(湖北省十堰市鄖陽中學,湖北十堰 442000)

在教學運動的合成和分解時,都會講到關于一只小船渡河的問題.后又引申到兩只小船渡河時的相遇問題,學生感到很棘手.下面就此問題結合例題作一探討.

例.甲乙兩船在同一條河流中同時開始渡河,河寬為H,河水流速為 u,劃船速度均為 v,出發時兩船相距甲乙船頭均與岸邊成 α=60°角,且乙船恰好能垂直到達對岸的A點,如圖1,則兩船能否相遇?在哪兒相遇?

圖1

解析:甲乙兩船相遇的條件是在沿河岸方向甲乙兩船位移之差等于.設經時間 t相遇,對甲船有又乙船恰好能垂直到達對岸,即vcos60°=u,解得.甲船沿垂直河岸方向上的位移為 h=vtsin60°=H,故甲乙兩船在A點相遇.

下面不妨再討論幾個問題:

1.若兩船在靜水中渡河,經計算易得出相遇點在對岸O點.即甲乙兩船在對岸O點相遇.

2.若河水流速 u變大,使乙船到對岸 B點,則乙船渡河時間乙船在沿河岸方向的位移為 s乙=(u-vcos60°)t1.在 t1時間內,甲船沿垂直河岸方向上的位移 h'=vt1sin60°=H,即甲船到了對岸.甲船在沿河岸方向的位移 s甲=(u+vcos60°)t1,解得即甲船也到了對岸的B點.故甲乙兩船在B點相遇.

綜上所述,O、A、B三點均在對岸(如圖 1).O點為兩船在靜水中渡河的相遇點.A點為水速u=vcosα的流水中渡河的相遇點.B點為水速u＞vcosα的流水中渡河的相遇點.可見,河水流速越大,相遇點越向河的下游移動.

3.在上題中,若甲乙船頭均與岸邊成 β=45°角,則兩船能否相遇?又在哪兒相遇?

解析:分兩種情況分析,如圖 2.

(1)若船在靜水中渡河,兩船必能相遇.

(2)若乙船到對岸C點,假設經時間 t2兩船相遇,由即(u+vcos45°)t2-(u-vcos45°)t2=解得兩船相遇點b距河岸h2=vt2sin45°則h1=h2.

由以上計算可知,a、b兩點在平行于河岸方向的一條直線上(如圖2),河水流速越大,相遇點越向河的下游移動.

4.若河水流速為 u,出發時兩船相距 L.甲劃船速度為v1,船頭與岸邊成α角;乙劃船速度為 v2,船頭與岸邊成β角(如圖3).則兩船能否相遇?在哪兒相遇?

圖2

圖3

解析:分兩種情況分析.

(1)若兩船在靜水中能相遇,則(v1cosα+v2cosβ)t=L,此時兩船相遇點 d距河岸h=v2tsinβ=v1tsinα.

(2)若兩船在流速為u的河水中渡河,相遇時(v1cosα+u)t'-(u-v2cosβ)t'=L,可見 t=t',相遇點 e距河岸 h'=v2t'sinβ=v1t'sinα.故 h=h',即相遇點 d、e在平行于河岸方向的一條直線上(如圖3),河水流速越大,相遇點越向河的下游移動.

綜合上述幾種情況,不難發現兩船渡河時的相遇問題是有規律可循的:在靜水中渡河兩船若能相遇,那么在流水中渡河兩船一定能相遇,且兩種情況的相遇點所在的直線平行于河岸,河水流速越大,相遇點越向河的下游移動.