也談交點速度問題的解法

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心,遼寧凌源 122500)

本刊2009年第5期刊登了“常見的速度合成問題錯解分析”一文,2009年第11期刊登了“對兩類速度合成問題錯誤的再分析”一文,都對交點類、關聯類的速度求解問題進行了詳盡分析并給出正確的解答方法,讀后頗受啟發.由于交點速度問題比關聯速度問題相對較難且生疏,并具有一定的教學價值,因此本文將對這類問題進行專題探究.所謂交點速度問題,一般是指在同一平面內相交放置的直桿與直桿、圓環與圓環或直桿與圓環,當發生勻速直線運動或勻速圓周運動時,其交點將發生某種運動.若已知直桿和圓環運動的速度,則可求交點運動的速度.對于這類問題的解答,除了速度合成分解法、位移微元法外,還有一種通法,即解析式求導法,下面進行分析.

例1.如圖1所示,臨界角為45°的液面上有一點光源S發出一束光線,垂直入射到水平放置于液體中且距離液面為d的平面鏡M上.當平面鏡 M繞垂直過中心O的軸以角速度ω逆時針勻速轉動時,觀察者發現水面上有一光斑掠過.設t=0時平面鏡處于水平位置且鏡面向上,試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上移動速度v與時間t的函數關系式.

圖1

圖2

解法1:端速分解法

把光線視為運動的直桿,繞軸 O轉動;把水面上光線經過的路徑視為靜止的直桿,它們的交點沿著水面移動.經過時間 t,平面鏡轉過的角度為 θ=ω t,光線反射到水面上的P點,由于點O到水面的距離不斷增大,則光線在轉動的同時,長度還增加,因此可將光斑沿水面的速度分解為沿著光線方向的縱向速度v∥和垂直于光線方向的橫向速度v⊥,如圖 2所示.

解法2:解析式求導法

建立直角坐標系如圖3所示,可知點P的橫坐標為x=dtan2θ=dtan2ω t,對時間求導數,得速度

圖3

例2.如圖4所示,兩根細長棒 AB與CD夾角為θ,分別以垂直于自身的速度v1與v2移動,求交點M 的移動速度.

圖4

圖5

解法1:速度合成分解法

設桿CD不動,只有桿AB移動,則交點沿著桿CD運動,如圖5所示.分解速度 v1,沿著桿CD運動的速度為v1′如圖6所示.

圖6

設桿 AB不動,只有桿CD移動,則交點沿著桿 AB運動,如圖7所示.

分解速度 v2,沿著桿 AB運動的速度為如圖8所示.

由圖6和圖8可知,分速度 v1′與v2′所成角度為180°-θ,由余弦定理得交點 M的合速度為

解法2:解析式求導法

建立如圖9所示直角坐標系,在t=0時刻,兩根直桿的交點位于坐標原點,則在任意時刻t,直桿 AB的直線方程為

直桿CD的直線方程為

由方程(1)、(2)可得任意時刻交點的坐標為

圖9

這就是交點的參數方程,表明交點沿坐標軸方向做勻速直線運動,交點沿坐標軸方向的速度分量分別為

所以合速度為

例3.如圖10所示,一個半徑為 R的軸環O1立于水平面上,另一個同樣的軸環O2以速度v從這個軸環旁通過,試求兩軸環上交點A的速度vA與兩環中心之距離d的關系.軸環很薄,且第2個軸環緊傍第1個軸環通過.

解法1:沿桿同速法

在軸環O2以速度v運動的過程中,因交點到圓心 O2的距離即半徑保持不變,則半徑 AO2的運動相當于輕桿的運動,其兩端點的運動速度分別等于圓心O2和交點的運動速度.交點相對于地面的速度vA沿靜止環的切線方向,與半徑 AO2的夾角為如圖 11所示.

圖10

圖11

在同一時刻,半徑 AO2兩端點的沿桿的縱向分速度相等,即“沿桿同速”,可知 vcosα=vAcosθ,即 vcosα=vAsin2α,則

解法2:解析式求導法

建立直角坐標系如圖12所示,若從兩軸環重合時開始計時,則在任意時刻t兩圓心之間的距離為d=vt,因軸環O1的圓心位于坐標原點,則軸環O1所在圓的方程為

軸環 O2的方程為

由此可得

圖12

此即為交點 A的參數方程.

分別對時間求導數得

已知 d=vt,還有幾何關系

可知合速度的平方為

所以合速度即交點 A移動的速度為

因d=vt為變量,故交點A的速度隨時間而變化.

綜上可見,對于交點速度問題,解法多樣,而利用解析法和導數知識來求解,數理相結合,妙趣橫生.

1 郭明遠.解運動合成與分解題的思路.中學物理(高中版),1999(12).

2 劉玲.常見的速度合成問題錯解分析.物理教師(高中版),2009(5).

3 周棟梁.對兩類速度合成問題錯誤的再分析.物理教師(高中版),2009(11).

4 黃晶.陳題新解溫故知新.中學物理(高中版),2009(3).

5 姚昌新.利用解析法求交點速度.中學物理(高中版),2009(10).