“變換坐標,化曲為直”解物理實驗問題

王錫忠

(華東師范大學附屬東昌中學,上海 200120)

物理規(guī)律通常通過實驗測出相關物理量的數(shù)據(jù),利用作圖法進行數(shù)據(jù)分析,尋找出規(guī)律.先由實驗數(shù)據(jù)分析出定性關系,然后猜想物理量間的關系,建立坐標,作圖驗證.若作出的圖線是直線,則物理關系便可確定,若作出的圖線是曲線,則只能確定定性關系,而不能確定定量關系.適當變換坐標,將曲線轉化為直線,便可確定定量關系.這就是“化曲為直”的物理思想.

實驗1:在研究加速度與質量關系的實驗中,控制物體所受外力不變,改變物體的質量 m,測出對應的加速度 a,將實驗數(shù)據(jù)填入表1.

表1

如果作a-m圖像如圖1(a),是一曲線,不能確定a與m的定量關系,但由圖線可猜想其為反比函數(shù)圖像,即如果求出填入表 1,變換坐標,作圖像如圖1(b),則為過原點的一條直線,即可確定即加速度a與質量m成反比.

圖1

例1.某研究性學習小組發(fā)現(xiàn)河水在緩慢流動時有一個規(guī)律,河中央流速最大,岸邊速度幾乎為零.為了研究河水流速與從岸邊到中央距離的關系,學生小明設計了這樣的測量儀器:如圖2(a)所示,兩端開口的“L”型玻璃管的水平部分置于待測的水流中,豎直部分露出水面,且露出水面部分的玻璃管足夠長.當水流以速度 v正對“L”型玻璃管的水平部分開口端勻速流動時,管內外液面的高度差為h,且h隨水流速度的增大而增大.為了進一步研究水流速度v與管內外水面高度差h的關系,該組學生進行了定量研究,得到了如表2的實驗數(shù)據(jù),并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得到了vh圖像,如圖 2(c)所示.

表2

(1)根據(jù)表2的數(shù)據(jù)和圖 2(c),請在圖2(d)中確定縱軸所表示的物理量,并另作圖像,若該圖像的形狀為________,說明猜想正確.

圖2

(2)現(xiàn)利用上述測速器,如圖2(b)所示,由河流南岸開始,每隔1 m測一次流速,得到數(shù)據(jù)如表3所示.

表3

根據(jù)v和h之間的關系完成表3的最后一行,對比表3中的數(shù)據(jù),可以看出河中水流速度v與從南岸到河流中央距離x的關系為:______.

解析:(1)猜想圖2(c)曲線為拋物線,即v2∝h,作v2-h圖線,若為過原點的直線即可驗證猜想.(具體作圖解答過程略)

(2)分析同(1)略.

實驗2:在研究溫度不變時,一定質量的氣體壓強與體積關系的實驗中,控制氣體的溫度不變,改變氣體的體積V,測出對應的氣體壓強p,將實驗數(shù)據(jù)填入表4.

如果作p-V圖像如圖3(a),是一曲線,不能確定 p與V的定量關系.如果求出填入表4,變換坐標,作圖像如圖3(b),為過原點的一條直線,即可確定即壓強p與體積V成反比.

表4

圖3

例2.為了測量所采集的某種植物種子的密度,一位學生進行了如下如圖4(a)所示的實驗.

(1)取適量的種子,用天平測出其質量,然后將幾粒種子裝入注射器內;

(2)將注射器和壓強傳感器相連,然后緩慢推動活塞至某一位置,記錄活塞所在位置的刻度 V,壓強傳感器自動記錄此時氣體的壓強p;

表5

(3)重復上述步驟,分別記錄活塞在其他位置的刻度V和相應的氣體的壓強p,得到數(shù)據(jù)如表5所示.

(1)根據(jù)表5中數(shù)據(jù),為了求出種子總體積,在圖4(b)中應作該實驗的________關系圖線.

(2)根據(jù)所作圖線,可求得種子的總體積約為_______ml(即cm3).

(3)如果測得這些種子的質量為7.86×10-3kg,則種子的密度為________kg/m3.

解析:設種子的總體積為 V0,則封閉氣體的體積為(V-V0),由玻意耳定律得 p(V-V0)=C,若作 V-p圖線,則為一曲線.公式變換得,求出填入表5,變換坐標描點作出圖線,則為一條不過原點的直線,延長圖線,與縱坐標交點的坐標值即為種子總體積 V0,由公式即可求出密度ρ.(具體作圖解答過程略)

實驗3:在用電流表、電阻箱由如圖5電路測電源的電動勢 E和內電阻r的實驗中,改變電阻箱的阻值R,并讀出對應的電流 I,填入表6.用作圖的方法求 E、r.

圖5

表6

例3.某學生要測量一節(jié)舊電池的電動勢和內阻,實驗器材有1個電流表、1個電阻箱 R、1個 2 Ω的定值電阻R0,一個開關和導線若干,該學生按如圖6所示電路進行實驗,測得的數(shù)據(jù)如表7所示.

圖6

表7

(1)該學生為了用作圖法來確定電池的電動勢和內阻,在圖7中應作該實驗的_______關系圖線.

(2)利用實驗數(shù)據(jù)在給出的直角坐標系上畫出正確的圖像.

(3)由圖像可知,該電池的電動勢 E=_______V,內阻r=________Ω.

(4)若將器材中的電流表換為電壓表,在圖7中應作該實驗的_____關系圖線來確定該電池的電動勢和內阻.

圖7

解析:若將電源和定值電阻 R0等效成新的電源,新電源電動勢仍為 E,內阻 r′=r+R0,根據(jù)上面的分析,由閉合電路歐姆定律進行公式變換得算出填入表7,變換坐標作圖線,為一直線.由圖線斜率k=E,縱坐標截距 b=-r′,即可求出電源內阻 r=r′-R0,電動勢E.(具體作圖解答過程略)

實驗4:在用單擺測重力加速度的實驗中,改變擺長L,測出所對應的周期 T,填入表8.用作圖的方法求重力加速度g.

表8

例4.在用單擺測定重力加速度的實驗中,將一單擺裝置豎直懸于某一深度為h(未知)且開口向下的固定小筒中(單擺的下部分露于筒外),如圖8(a)所示.將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放,設單擺擺動過程中懸線不會碰到筒壁.如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒口下端到擺球球心之間的距離 l,并通過改變 l而測出對應的擺動周期T,再以 T2為縱軸、l為橫軸,做出 T2-l圖像,如圖8(b)所示.則可以由此圖像得出我們想要測量的物理量.

圖8

(1)現(xiàn)有如下測量工具:(A)時鐘;(B)秒表;(C)天平;(D)毫米刻度尺,本實驗所需的測量工具有________.

(2)如果實驗中所得到的 T2-l關系圖像如圖8所示,那么真正的圖像應該是 a、b、c中的________.

(3)由圖像可知,小筒的深度 h=________cm;當?shù)刂亓铀俣萭=________m/s2.

綜上,“變換坐標,化曲為直”解實驗題的方法有兩類,(1)在研究性實驗中,首先要根據(jù)測量數(shù)據(jù),作出兩個所測量物理量之間的關系圖像,根據(jù)圖線形狀猜想兩個物理量之間的關系,再根據(jù)猜想變換坐標,作出圖線驗證猜想.(2)在驗證性、測量性實驗中,首先要根據(jù)兩個所測量物理量之間滿足的關系式,巧妙地進行公式變換,將公式轉換為y=kx+b形式,再根據(jù)變換后的公式變換坐標,作出圖線,數(shù)形結合,根據(jù)圖線斜率和截距的物理意義解題.

“變換坐標,化曲為直”是解物理實驗問題的常用方法之一,也是近年來高考出現(xiàn)頻度比較高的方法之一.巧妙恰當?shù)亍白儞Q坐標,化曲為直”,便可柳暗花明,數(shù)形結合使問題迎刃而解.