彈簧振子問題綜述

譚 永 楊宇紅

(湖北省武漢市武漢中學,湖北武漢 430060)

若物體與彈簧相連,彈簧的另一端固定,不計物體受到的摩擦或空氣阻力,彈簧的質量比物體小得多,可以略去不計,這樣的系統叫彈簧振子,這個物體叫振子,彈簧振子有以下幾種放置方式(如圖1).

圖1

彈簧振子的特點有:

(1)振子沿彈簧軸線方向的自由振動為簡諧運動,遵守F回=-kx(其中 k為彈簧的勁度系數).

(3)彈簧沿彈簧軸線方向簡諧運動時 F回max=kA,其中 m為彈簧振子質量).

對多個物體組成的系統彈簧振子的判斷是個難點,例以圖2中若不計一切摩擦,且彈簧為輕彈簧,A和B、C和D、E和F沿彈簧軸線運動,且始終不分離,則做簡諧運動的是______,可稱為彈簧振子的是_____.

圖2

解析:將 A和B、C和D、E和F視為一個整體,它們均做簡諧運動,故 A、B、C、D、E、F 均做簡諧運動,A和B、C和D、E和F與彈簧組成的整體符合彈簧振子的定義,叫彈簧振子.

答案:A、B、C、D、E、F;A和B及彈簧、C和D 及彈簧、E和F及彈簧.

關于彈簧振子的主要題型如下.

1 利用簡諧運動的對稱性解題

例1.如圖3所示,一輕質彈簧與質量為 m的物體組成彈簧振子,物體在一條豎直線上的 A、B間做簡諧運動,O為平衡位置,C為AO的中點,已知 OC=h,振子的周期為 T,某時刻物體恰好經過 C點并向上運動.則此時刻開始的半個周期內正確的是

(A)重力做功 2mgh.

圖3

(C)回復力做功為0.

(D)回復力沖量為 0.

解析:做簡諧運動的物體在間隔半周期奇數倍的兩個時刻的位置關于平衡位置對稱,且這兩個時刻所有矢量等大反向.所以半周期時刻振子一定在平衡位置下方 C′處.OC′=OC=h,且速度大小與 C點等大反向,故(A)對;重力為恒力,故(B)對;回復力的功即合力的功為 0,故(C)對,而 I回=ΔP=mVC′-m(-VC′)≠0.所以答案為(A)、(B)、(C).

圖4

例2.如圖4所示,兩木塊質量分別為 m和M,用勁度系數為k的輕質彈簧連在一起,豎直放置在水平面上,將木塊1壓下一段距離后由靜止釋放,它就上下振動,在振動過程中木塊2剛好始終不離開地面(即它對地面的最小壓力為零),求:(1)木塊1的最大加速度;(2)木塊2對地面的最大壓力.

解析:木塊2剛好不離開地面即木塊1在最高點時,M受地面支撐力為零.

(1)木塊1在最高點時,由木塊2的平衡知此時 F彈=Mg,此時木塊 1在最高點,具有最大加速度,amax=方向向下.

(2)木塊1在最低點時,向上回復力最大,彈力最大,彈簧對2的向下彈力最大,木塊2對地面有最大壓力.由對稱性知木塊 1在最低點,得F彈′=Mg+2mg,方向向上.由木塊2的平衡知地面對木塊2的彈力為N=2(M+m)g.

2 兩物體組成的系統臨界值或范圍值的求解

圖5

例3.(2006年福建福州質量檢測)如圖5所示,質量為 m的物體A放在質量為M的物體B上,B與彈簧相連,它們一起在光滑的水平面上做簡諧運動.振動過程中 A、B之間無相對運動,設彈簧的勁度系數為 k,振動的幅度為 A0,重力加速度為 g,則物體A、B間動摩擦因素μ的大小范圍是________.

圖6

例4.如圖6所示,一個豎直彈簧連著一個質量為 M的薄板,板上放著一木塊,木塊質量為m.現使整個裝置在豎直方向上作簡諧運動,彈簧的勁度系數為k,若要求整個過程中小木塊 m都不脫離薄木板,系統振幅不能超過多少?

3 簡諧運動的變化分析

簡諧運動物體振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離,也是速度由最大處運動到速度為0處的距離.振幅由系統機械能決定,質量一定的做簡諧振動的物體,機械能越大,振幅越大;若振子質量改變,則不一定能由機械能情況推斷振幅變化.

圖7

例5.如圖7所示,豎直懸掛的彈簧振子作振幅為 A的簡諧運動.當物體到達下面最大位移時,恰好物體掉了一半(即物體質量減少了一半),此后振動系統的振幅的變化為

(A)振幅不變. (B)振幅變大.

(C)振幅變小. (D)條件不夠,不能確定.

解析:質量改變前后,最低點位置不變,但質量減少一半后的平衡位置會升高,即最低點到平衡位置的距離變大,故振幅會變大.

例 6.如圖8所示,質量為 M的物體拴在水平放置的左端固定的輕彈簧右端,構成一彈簧振子.物體可在光滑水平面上做簡諧運動,振幅為 A.在運動過程中,將一質量為m的小物塊輕放在M上,第1次是當 M運動到平衡位置時放在上面,第2次是當 M運動到最大位移時放在上面.觀察到第1次放后的振幅為 A1,第2次放后的振幅為 A2,則

(A)A1=A2=A. (B)A1＜A2=A.

(C)A1=A2＜A. (D)A2＜A1=A.

圖8

解析:當 M在最大位移處放上m,則放上m前后最大位移位置和平衡位置均不變,振幅不變.若在平衡位置放上m,M、m會相對滑動產熱,系統最大動能變小,最大彈性勢能會變小,從而彈簧最大形變即振幅會變小.答案應選(B).

4 彈簧振子能量問題

彈簧振子在做簡諧運動時,系統的機械能守恒.即動能+彈簧勢能+重力勢能=定值,由其中一種(或兩種)能量的變化,可推斷其他能量的變化.

圖9

例7.光滑斜面上物塊 A被平行斜面的輕質彈簧拉住靜止于O點,如圖9所示,現將 A沿斜面拉到B點無初速度釋放.物體在BC范圍內做簡諧運動,則下列說法正確的是

(A)OB越長,振動能量越大.

(B)在振動過程中,物體 A機械能守恒.

(C)A在C點時,物體與彈簧構成的系統勢能最大,在O點時勢能最小.

(D)A在C點時,物體與彈簧構成的系統勢能最大,在B點時勢能最小.

解析:對質量一定的彈簧振子,振幅越大,振動總能量越大,(A)對;振動過程中,A與彈簧組成的系統機械能守恒,勢能為重力勢能和彈簧勢能之和,勢能最大時應為動能最小時,(C)對.笞案:(A)、(C).

圖10

例8.如圖 10所示,一輕質彈簧豎直固定在地面上,自然長度為1 m,上面連接一個質量為 m1=1 kg的物體,平衡時物體離地面0.9 m.距物體的正上方高為0.3 m處有一個質量為 m2=1 kg的物體自由下落后與彈簧上物體 m1碰撞后即合為一體,一起在豎直面內做簡諧運動.當彈簧壓縮量最大時,彈簧長為0.6 m(g取10 m/s2),求:(1)碰撞結束后瞬間物體的動能之和;(2)兩物體一起做簡諧運動時振幅;(3)彈簧長為0.6 m時,彈簧的彈性勢能.

解析:(1)m1與 m2接觸時,由得

m2與 m1碰撞由動量守恒,則 m2v0=(m1+m2)v,v

(2)m2與m1平衡時壓縮量=m1平衡時壓縮量的2倍=2×0.1 m=0.2 m,即彈簧長度0.8 m處,而最低點彈簧長度0.6 m,所以 A=0.2 m.

(3)由簡諧運動對稱性知,m1和 m2簡諧運動最高點是彈簧處于原長狀態處,從最低點到最高點,由機械能守恒可知,Ep′=(m1+m2)gh=8 J.(收稿日期:2009-10-25)