彈簧振子問題綜述

譚 永 楊宇紅

(湖北省武漢市武漢中學(xué),湖北武漢 430060)

若物體與彈簧相連,彈簧的另一端固定,不計(jì)物體受到的摩擦或空氣阻力,彈簧的質(zhì)量比物體小得多,可以略去不計(jì),這樣的系統(tǒng)叫彈簧振子,這個(gè)物體叫振子,彈簧振子有以下幾種放置方式(如圖1).

圖1

彈簧振子的特點(diǎn)有:

(1)振子沿彈簧軸線方向的自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),遵守F回=-kx(其中 k為彈簧的勁度系數(shù)).

(3)彈簧沿彈簧軸線方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí) F回max=kA,其中 m為彈簧振子質(zhì)量).

對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)彈簧振子的判斷是個(gè)難點(diǎn),例以圖2中若不計(jì)一切摩擦,且彈簧為輕彈簧,A和B、C和D、E和F沿彈簧軸線運(yùn)動(dòng),且始終不分離,則做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的是______,可稱為彈簧振子的是_____.

圖2

解析:將 A和B、C和D、E和F視為一個(gè)整體,它們均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),故 A、B、C、D、E、F 均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),A和B、C和D、E和F與彈簧組成的整體符合彈簧振子的定義,叫彈簧振子.

答案:A、B、C、D、E、F;A和B及彈簧、C和D 及彈簧、E和F及彈簧.

關(guān)于彈簧振子的主要題型如下.

1 利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性解題

例1.如圖3所示,一輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為 m的物體組成彈簧振子,物體在一條豎直線上的 A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),O為平衡位置,C為AO的中點(diǎn),已知 OC=h,振子的周期為 T,某時(shí)刻物體恰好經(jīng)過 C點(diǎn)并向上運(yùn)動(dòng).則此時(shí)刻開始的半個(gè)周期內(nèi)正確的是

(A)重力做功 2mgh.

圖3

(C)回復(fù)力做功為0.

(D)回復(fù)力沖量為 0.

解析:做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在間隔半周期奇數(shù)倍的兩個(gè)時(shí)刻的位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱,且這兩個(gè)時(shí)刻所有矢量等大反向.所以半周期時(shí)刻振子一定在平衡位置下方 C′處.OC′=OC=h,且速度大小與 C點(diǎn)等大反向,故(A)對(duì);重力為恒力,故(B)對(duì);回復(fù)力的功即合力的功為 0,故(C)對(duì),而 I回=ΔP=mVC′-m(-VC′)≠0.所以答案為(A)、(B)、(C).

圖4

例2.如圖4所示,兩木塊質(zhì)量分別為 m和M,用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連在一起,豎直放置在水平面上,將木塊1壓下一段距離后由靜止釋放,它就上下振動(dòng),在振動(dòng)過程中木塊2剛好始終不離開地面(即它對(duì)地面的最小壓力為零),求:(1)木塊1的最大加速度;(2)木塊2對(duì)地面的最大壓力.

解析:木塊2剛好不離開地面即木塊1在最高點(diǎn)時(shí),M受地面支撐力為零.

(1)木塊1在最高點(diǎn)時(shí),由木塊2的平衡知此時(shí) F彈=Mg,此時(shí)木塊 1在最高點(diǎn),具有最大加速度,amax=方向向下.

(2)木塊1在最低點(diǎn)時(shí),向上回復(fù)力最大,彈力最大,彈簧對(duì)2的向下彈力最大,木塊2對(duì)地面有最大壓力.由對(duì)稱性知木塊 1在最低點(diǎn),得F彈′=Mg+2mg,方向向上.由木塊2的平衡知地面對(duì)木塊2的彈力為N=2(M+m)g.

2 兩物體組成的系統(tǒng)臨界值或范圍值的求解

圖5

例3.(2006年福建福州質(zhì)量檢測(cè))如圖5所示,質(zhì)量為 m的物體A放在質(zhì)量為M的物體B上,B與彈簧相連,它們一起在光滑的水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).振動(dòng)過程中 A、B之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng),設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 k,振動(dòng)的幅度為 A0,重力加速度為 g,則物體A、B間動(dòng)摩擦因素μ的大小范圍是________.

圖6

例4.如圖6所示,一個(gè)豎直彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為 M的薄板,板上放著一木塊,木塊質(zhì)量為m.現(xiàn)使整個(gè)裝置在豎直方向上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),彈簧的勁度系數(shù)為k,若要求整個(gè)過程中小木塊 m都不脫離薄木板,系統(tǒng)振幅不能超過多少?

3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的變化分析

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體振幅是振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離,也是速度由最大處運(yùn)動(dòng)到速度為0處的距離.振幅由系統(tǒng)機(jī)械能決定,質(zhì)量一定的做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體,機(jī)械能越大,振幅越大;若振子質(zhì)量改變,則不一定能由機(jī)械能情況推斷振幅變化.

圖7

例5.如圖7所示,豎直懸掛的彈簧振子作振幅為 A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).當(dāng)物體到達(dá)下面最大位移時(shí),恰好物體掉了一半(即物體質(zhì)量減少了一半),此后振動(dòng)系統(tǒng)的振幅的變化為

(A)振幅不變. (B)振幅變大.

(C)振幅變小. (D)條件不夠,不能確定.

解析:質(zhì)量改變前后,最低點(diǎn)位置不變,但質(zhì)量減少一半后的平衡位置會(huì)升高,即最低點(diǎn)到平衡位置的距離變大,故振幅會(huì)變大.

例 6.如圖8所示,質(zhì)量為 M的物體拴在水平放置的左端固定的輕彈簧右端,構(gòu)成一彈簧振子.物體可在光滑水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振幅為 A.在運(yùn)動(dòng)過程中,將一質(zhì)量為m的小物塊輕放在M上,第1次是當(dāng) M運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)放在上面,第2次是當(dāng) M運(yùn)動(dòng)到最大位移時(shí)放在上面.觀察到第1次放后的振幅為 A1,第2次放后的振幅為 A2,則

(A)A1=A2=A. (B)A1＜A2=A.

(C)A1=A2＜A. (D)A2＜A1=A.

圖8

解析:當(dāng) M在最大位移處放上m,則放上m前后最大位移位置和平衡位置均不變,振幅不變.若在平衡位置放上m,M、m會(huì)相對(duì)滑動(dòng)產(chǎn)熱,系統(tǒng)最大動(dòng)能變小,最大彈性勢(shì)能會(huì)變小,從而彈簧最大形變即振幅會(huì)變小.答案應(yīng)選(B).

4 彈簧振子能量問題

彈簧振子在做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.即動(dòng)能+彈簧勢(shì)能+重力勢(shì)能=定值,由其中一種(或兩種)能量的變化,可推斷其他能量的變化.

圖9

例7.光滑斜面上物塊 A被平行斜面的輕質(zhì)彈簧拉住靜止于O點(diǎn),如圖9所示,現(xiàn)將 A沿斜面拉到B點(diǎn)無初速度釋放.物體在BC范圍內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),則下列說法正確的是

(A)OB越長(zhǎng),振動(dòng)能量越大.

(B)在振動(dòng)過程中,物體 A機(jī)械能守恒.

(C)A在C點(diǎn)時(shí),物體與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)勢(shì)能最大,在O點(diǎn)時(shí)勢(shì)能最小.

(D)A在C點(diǎn)時(shí),物體與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)勢(shì)能最大,在B點(diǎn)時(shí)勢(shì)能最小.

解析:對(duì)質(zhì)量一定的彈簧振子,振幅越大,振動(dòng)總能量越大,(A)對(duì);振動(dòng)過程中,A與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,勢(shì)能為重力勢(shì)能和彈簧勢(shì)能之和,勢(shì)能最大時(shí)應(yīng)為動(dòng)能最小時(shí),(C)對(duì).笞案:(A)、(C).

圖10

例8.如圖 10所示,一輕質(zhì)彈簧豎直固定在地面上,自然長(zhǎng)度為1 m,上面連接一個(gè)質(zhì)量為 m1=1 kg的物體,平衡時(shí)物體離地面0.9 m.距物體的正上方高為0.3 m處有一個(gè)質(zhì)量為 m2=1 kg的物體自由下落后與彈簧上物體 m1碰撞后即合為一體,一起在豎直面內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí),彈簧長(zhǎng)為0.6 m(g取10 m/s2),求:(1)碰撞結(jié)束后瞬間物體的動(dòng)能之和;(2)兩物體一起做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)振幅;(3)彈簧長(zhǎng)為0.6 m時(shí),彈簧的彈性勢(shì)能.

解析:(1)m1與 m2接觸時(shí),由得

m2與 m1碰撞由動(dòng)量守恒,則 m2v0=(m1+m2)v,v

(2)m2與m1平衡時(shí)壓縮量=m1平衡時(shí)壓縮量的2倍=2×0.1 m=0.2 m,即彈簧長(zhǎng)度0.8 m處,而最低點(diǎn)彈簧長(zhǎng)度0.6 m,所以 A=0.2 m.

(3)由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性知,m1和 m2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)是彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)處,從最低點(diǎn)到最高點(diǎn),由機(jī)械能守恒可知,Ep′=(m1+m2)gh=8 J.(收稿日期:2009-10-25)