定數截尾情形下一類分布族參數的Minimax估計

任海平，李中恢

（1.江西理工大學 基礎部，南昌 330013；2.江西宜春學院 數學與計算機科學學院，江西 宜春 336000）

0 引言

分布族參數的Minimax估計問題，一直引起很多學者的興趣，見文[1-6]。在加權平方損失函數和MLINEX損失函數下，文[1]、[2]研究了Parteo分布參數的Minimax估計和風險函數問題，文[3]討論了Rayleigh分布參數Minimax估計問題；文[4]在對數誤差平方損失函數和MLINEX損失函數下，討論了一類轉換的χ2分布族參數的Minimax估計問題；文[5]在LINEX損失函數下研究了成功概率的Minimax估計問題；文[6]通過參數變換得到了一類分布函數參數的Minimax估計.大多數Bayes推斷程序已經在通常的平方損失函數下得到了發展，平方誤差損失是對稱的，它予于了高估和低估具有同等的重要性。然而這樣的一個限制可能是不合實際的。例如，在估計可靠性及失效率函數時，高估會比低估帶來的后果更嚴重，在這種情況下使用對稱損失函數可能是不合實際的[7].于是很多學者提出了一些非對稱損失函數。

Podder[1]提出了一個修正的線性指數損失函數(MLINEX損失函數)：

本文考慮如下一類分布族:

其中g(x)是關于單調遞減的可微函數，且g(A)=1，g(B)=0,其中θ為未知參數，很多重要的分布都屬于這一類分布族。

在生存分析、可靠性和保險精算問題中有各種各樣與壽命或失效時間有關的試驗數據，稱為壽命數據.完全壽命試驗要進行到所有試驗樣本壽命結束為止，統計分析的結果雖較可靠，但常常需要較長時間，特別是隨著科學技術的進步，產品的質量也不斷提高，產品的壽命越來越長，所以在這些情形下完全壽命試驗難于采用，此時我們只能獲得部分數據，但若能充分利用壽命分布提供的信息，也能得到較有效的統計分析結果，且省時、經濟、具有實用價值.定數截尾壽命試驗又稱為Ⅱ型截尾壽命試驗,就是其中一種較常采用的截尾試驗。

本文將基于定數截尾試驗，在加權平方誤差損失函數和MLINEX損失函數下，討論了此類分布族參數Minimax估計問題。

1 引理及證明

引理1 設X1，…，Xn為來自分布族(3)的一個簡單隨機樣本，在定數截尾試驗中,進行到有r個產品(r事先指定,r＜n)失效時試驗終止, 獲得 r個觀察值 x(1)＜x(2)＜…＜x(r).

（2）假定參數θ具有Jeffery's無信息先驗密度：π（θ）∝

證明：在定數截尾（Ⅱ型截尾）下，樣本的似然函數為：

其中A≤x(i)≤B

則u(x)的矩母函數Φ(w)為：

于是 u(X)～Gamma(1，θ)

（1)設參數 θ 具有 Jeffery’s無信息先驗密度：π （θ）∝的聯合密度函數為：

給定樣本X=(X1，…，Xn)后參數θr的后驗概率密度為：

于是 θ｜X～Gamma(r,T).

引理 2[10]在加權平方損失函數為：

下，其中δ為θ的判別空間的一個估計，則對于任意的先驗分布 π（θ），θ 的 Bayes 估計為并且解是唯一的，這里假定 r(δ)=E(θ，δ)[L2（θ，δ）]＜+∞

引理3 在MLIEX損失函數L2(θ，δ)=w

證明：在MLIEX損失函數下，δ對應的Bayes風險為：

故欲使 r(δ)達到最小，只需 E(L2(θ，δ)｜X)幾乎處處達到最小。

由于

下證唯一性：欲證唯一性，只要證 r(δMMLE)＜+∞，由題設 r(δ)＜+∞，而 r(δMMLE)＜r(δ),故引理得證。

證明：設參數θ具有Jeffery’s無信息先驗密度：π（θ）由（4）式知 θ｜X～Gamma(r,T)

故由引理3有

引理5[11]（Lehmann定理）在給定的bayes決策問題中，D為非隨機化決策函數類，假如δ*∈D為對應于先驗分布π*(θ)的 Bayes 估計，且其風險函數 R(δ*，θ)=ρ（常數），則 δ*為θ的Minimax估計。

2 主要結論

定理1 設X1,X2,…，Xn為來自分布密度為（3）式的一個簡單隨機樣本，X（1），…，X(r)為前 r個次序統計量，r(≤)為首次失效時間

證明：首先我們要找到θ的Bayes估計,然后如果我們若能證明d的風險函數是常數，那么我們由引理5就直接得到定理的結論。下面我們假定參數θ具有Jeffery’s無信息先驗密度那么給定樣本x后參數θ的后驗概率密度為：

又由 T～Gamma(r,θ), 有

（2）由引理 4 有：

又

故有

3 數值模擬比較

采用均方誤差(MSEs)對上述兩個Minimax估計及極大似然估計進行比較。一個參數的估計的均方誤差定義為：

我們以指數分布 F(x)=1-[g(x)]θ=1-e-θx,θ=1 為例， 通過Monte-Carlo模擬，分別在不同的樣本容量下，計算這三種估計的值及相應的均方誤差。 記(n,r)表示(樣本容量,截尾數)

(1）由表1可以看出，在 r＜25 時 ，加權平方損失函數下的極小極大估計的均方誤差比極大似然估計和MLINEX損失函數的要小，在r較大(r>25)，上述三種估計的均方誤差近似相等，且隨著r的增大，這三種估計值之間的差異逐漸縮小。建議對于定數截尾試驗的截尾樣本數盡量多一些。

(2)經過多次數值模擬知，上述三種估計值相對于真值的近似效果與r,n以及樣本觀測值之間的差異有關，并且有時會對估計值產生較大的影響。

表1 三種不同估計的估計值和均方誤差值(θ=1，c=1)

[1]Podder C K,Roy M K,Bhuiyan K J,et al.Minimax Estimation of the Parameter of the Pareto Distribution for Quadratic and MLINEX Loss Functions[J].Pak.J.Statist.,2004,20(1).

[2]Podder,C.K.Comparison of Two Risk Functions Using the Pareto Distribution[J].Pak.J.Statist，2004,20(3).

[3]Sanku Dey.Minimax Estimation of the Parameter of Rayleigh Distribution under Quadratic Loss Function[J].Data Science Journal,2008,7(23).

[4]Mahmoodi E,Sanjari F N.Minimax Estimation of the Scale Parameter in a Family of Transformed Chi-square Distributions under Asymmetric Quares Log Error and MLINEX Loss Functions[J].Journal of Sciences,Islamic Republic of Islamic,2006,17(3).

[5]Alicja Jokiel-Rokita,Ryszard Magiera.Minimax Estimation of Probability of Success under LINEX loss[J].Stat Comput,2007,(17).

[6]Alicja Jokiel-Rokita,Ryszard.Minimax Estimation of a Cumulative Distribution Function by Converting to a Parametric Problem[J].Metrika,2007,(66).

[7]Basu A P,Ebrahimi N.Bayesian Approach to Life Testing and Reliability Estimation Using Asymmetric Loss Function[J].J.Statistical Planning&Inference,1991，29.

[8]R.Calabria,G.Pulcini.Point Estimation under Asymmetric Loss Functions for Left-truncated Exponential Samples[J].Communications in Statistics Theory and Methods,1996,25(3).

[9]韓慧芳,楊珂玲,張建軍.Pareto分布中形狀參數的估計問題[J].統計與決策,2007(24).

[10]茆詩松.貝葉斯統計[M].北京:中國統計出版社，1999.

[11]Lehmann E L,George Casella.點估計理論（第二版）[M].鄭忠國，蔣建成，童行偉,譯.北京:中國統計出版社,2005.