主成份分析綜合評價模型的改進及應用

李粉紅，劉新平

（1.商洛學院 數學與計算科學系，陜西 商洛 726000；2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062）

1 方法簡介

1.1 分組主成份分析

分組主成份分析[1]是將主成份分析和因子分析結合的一種方法，它先對樣本做因子分析，然后對各組變量進行主成份分析，只提取第一主成份，僅算各組第一主成份的得分Cj(j=1，2，…，k)；再以各組的第一主成份得分 Cj(j=1，2，…，k)為各組得分，以因子旋轉后各因子的方差貢獻率(其中 λl是旋轉后因子的特征值)為權重，建立綜合評價模型進行排序，分類。(為了方便仍用原文中的符號)

1.2 變異系數作為權系數的可行性

在綜合評價中，變異系數、復相關系數等一些統計系數也常用來作為權數[2]，變異系數反映的是變量之間的變異程度。原始數據一般包含兩方面的信息：一是各指標變異程度的差異信息，二是各指標之間相互影響程度上的信息，實際上也就是各指標的變異系數和相關系數。而協方差矩陣能完全刻劃原始數據的全部信息，由定義知，其對角線元素即為各指標的方差，非對角元素則包含了各指標間的相關系數的信息。而通常的主成份分析中對原始數據標準化后數據的協方差陣的主對角元素全為1，那么實際上就抹殺了各指標變異程度的差異信息。

主成份分析通常是先將原始數據無量綱化，再由其協方差矩陣或相關系數矩陣來求主成份。而像其它的無量綱化方法如均值化或比重法等，無量綱化后的數據協方差矩陣的對角線元素都與該變量的變異系數有關。所以不管是選擇通用的方法是對原始數據進行標準化，還是用均值化或比重法等，從協方差矩陣或相關系數矩陣來求主成份，則結果中更多反映的是數據的相關關系，若加進變異系數，體現出數據的變異信息，就能使原始數據的全部信息在綜合評價得以體現，從而達到對問題全面評價的目的。

1.3 建立模型

在分組主成份分析的基礎之上，將主成份分析作如下改進：

對原始數據進行無量綱化，得到數據陣X=(xij)n×p，方法選用均值化或其他方法，其余步驟均按照分組主成份分析，在建立綜合評價模型時，選擇將各變量的變異系數和分組后的方差貢獻率這兩種權數進行組合，得到綜合評價模型：

其中?k是以分組后各組的方差貢獻率為權數時各變量Xk的系數，ρk是各變量Xk的變異系數。

2 應用實例

2.1 數據的來源

根據科學性原則和可比性原則，對我國中等職業教育的發展情況，選擇以下十個變量作為綜合評價的指標：X1：每萬人口的畢業生數；X2：每萬人口的招生數；X3：每十萬人口的在校學生數；X4：獲得職業資格證書占當年畢業生人數的比例；X5：每萬人口的職工人數；X6：每萬人口的專任教師；X7：職業中學教育經費支出占地方教育事業費支出的比例：X8：生均教育經費支出占地方教育事業費支出的比例；X9：生均預算內教育經費支出占地方教育事業費支出的比例：X10：年末購置專用設備金額占本年設備購置費的比例.

指標的原始數據取自《中國統計年鑒，2006》和《中國教育經費統計年鑒，2005》。

2.2 分析結果

為了加強方法之間的可比性，分別用傳統主成份分析、分組主成份分析和改進后的方法，借助SPSSl2.0[3]及EXCEL軟件，對我國中等職業教育發展情況作詳盡的分析(缺少西藏的數據)，得到如下結果：

表1 特征值及特征向量

表2 分組主成份分析的分組情況

表3 各模型得分及排名

(2)用分組主成份法計算綜合評價值

因子分析后將原指標分成三個組，第三個因子只在X4上有較大載荷，用前面的結果，得到E2，具體值見表3。

建立綜合評價模型為：

(3)用改進方法計算，建立綜合評價模型得到E3(見表3)

2.3 結果討論

從綜合排名情況可以看出，幾種綜合方法在大部分地區上前后相差不大，而在個別地區上還是有很大的不同，E2、E3的排名前后有差距，但基本差異不大口浙江按E1排在第1名，按 E2在第 3名，而按 E3在第 7名，青海在 E2、E3中均排在第1位，而若用用第一主成份或衛1則位于第30名，從其余省份的排名也可以看出第一主成份或E1排名與E2、E3的排名的差距。這種差異從原始數據來看不是模型引起的，因為從原始數據來看青海在變量 X8、X9、X1。上的值居于所有省、市之首，尤其在X10上更是超出其他省很多，而在E3中引入了描述變量變異程度的量一變異系數，這幾個奇異值導致了青海的排名靠前，實際上就是沒有引進變異系數的E2中青海也排在第一位.從此排名可以了解各地區中等職業教育的發展狀況，總體上來看發達地區的發展情況要好，進一步也可以找出各省份存在的問題。

另外，也可根據綜合評價值按通常方法對各省份分類，不再贅敘。

3 結論

(1)在用主成份分析做綜合評價時，應堅持理論界的提法，只提取第一主成份，而不能簡單提取多個，以方差貢獻率為權數加權；

(2)在分組主成份分析基礎上，引進變異系數建立的綜合評價模型，經過實證檢驗，能反映原始數據的相關信息和變異信息，證明用該模型作綜合評價更客觀、合理。

(3)對我國31個地區中等職業教育的發展情況進行綜合分析，由綜合得分排名，說明了地域差別對職業教育的影響，為我國中等職業教育的健康發展提供了一定的依據。

[1]侯文.對應用主成份法進行綜合評價的探討[J].數理統計與管理，2006，（2）.

[2]胡永宏，賀思輝.綜合評價方法[M].北京：科學出版社，2000.

[3]章文波，陳紅艷.實用數據統計分析及應用，SPSS12.0[M].北京：人民郵電出版社，2006.