因子分析教學案例的改進

李俊揚林海明

（1.貴州師范大學 數學與計算機科學學院，貴陽 550001；2.廣東商學院a.經濟貿易與統計學院；b.國民經濟研究中心，廣州 510320；3.廣東省電子商務市場應用技術重點實驗室，廣州 510320)

1 因子分析模型L用于綜合評價的步驟與實例

對于多元統計問題的解決，計算出有關模型的結果是一方面，同時能通過計算結果、原始數據進行數據分析，盡可能地解決實際問題同樣是重要的。以下給出初始因子、旋轉后因子較系統的應用步驟和實例。關于變量的總體相關陣通常是不知道的，通常用變量的樣本相關陣替代。

因子分析模型L及其解和優良性，數學符號見文獻[1]。

1.1 初始因子分析的綜合評價步驟及其實例

初始因子應用于綜合評價的步驟。

⑴指標的正向化(單獨計算)[2]，標準化；

⑵求變量的樣本相關陣∑及其特征值λi，主成分法下的初始因子載荷陣L0，旋轉后因子載荷陣LΓ；

⑶LΓ(要計算出多個 LΓ)與 L0比較，用因子載荷絕對值 0、1兩極分化頻數對比表判斷(見表4)，如果L0中行元素絕對值足夠向0、1兩極分化，用初始因子進行分析[3]，繼續[原始變量之間相關度很低或無關時，直接進行逐個指標分析，用∑i=1pXi作綜合分析(Xi是正向化、標準化的)是適合的]。

⑷確定初始因子個數m：用L0和因子與變量顯著相關的臨界值判斷，若因子與某些變量顯著相關，則選入該因子[3]，因子個數m、因子方差累計貢獻率隨之確定；

⑸初始因子fi0的命名及其正向化：由L0的第i列li0，將與fi0顯著相關的變量歸為fi0一類，由這些變量的意義對因子fi0進行命名(注意有些變量，可能與兩個因子顯著相關，命名中、分析中也要同時考慮好這些變量的聯系性影響)。正向化[3]：如果這類變量與fi0的相關系數表明該類變量的意義是正向的，fi0不變符號；如果意義是反向的，fi0、li0同時乘上負號；

⑹計算寫出初始因子 F0=(λ1-1/2a1'X,…，λm-1/2am'X)'(用 L0回歸的因子得分)；

⑺因為因子不相關，綜合起來可反映樣品的因子累加綜合狀況(不是反映多變量信息最大化時的樣品值狀況)，以初始因子方差貢獻率λi/p為權數得綜合初始因子

⑻計算給出m個初始因子樣品值矩陣Hm0、綜合初始因子樣品值并排序；

⑼用m個初始因子樣品值做聚類分析，按綜合初始因子樣品值排名順序給出樣品分類結果；[2]

⑽結合樣品的分類結果，綜合初始因子、初始因子樣品值和排序，原始數據，原始變量的意義，進行優勢、劣勢、潛力狀況和影響因素等的綜合評價，給出較客觀、可靠的決策相關性建議。

SPSS軟件初始因子有關結果計算過程：原始數據的正向化數據輸入或拷貝到數據窗口中，選擇Analyze→Date Reduction→Factor→變量框中選入正向化的數據→Descriptives 選擇 Initial solution，Coeffi-cients，Continue→Extraction 選擇 Principal Component，Correlation matrix(數據標準化被 執 行 )，Numberoffactor：m，Unrotated factorsolution，Screen Plot(碎石圖),Continue→Rotation 選擇 None，Continue→Scores選擇 Save as Variables，Regression，Display factor score coefficient matrix，Continue→OK。

表1 原始數據正向化數據

計算結果有：樣本相關系數陣R、R的特征值、初始因子載荷陣、初始因子的標準化變量系數陣、初始因子的樣品值數據等，數據窗口中的fac1-1,…,facm-1為初始因子f10,…,fm0的樣品值(注意Extraction選擇Principal Component)。

旋轉后因子載荷陣的計算要用下述1.2中SPSS軟件旋轉后因子有關結果計算過程。

例1.1[4]：2001年廣東卷煙工業企業廣州卷煙一廠、廣州卷煙二廠、韶關卷煙廠、南雄卷煙廠、梅州卷煙廠、南海卷煙廠、湛江卷煙廠和廉江卷煙廠(n＝8)的經濟效益變量為：x1-總資產貢獻率、x2-資本保值增值率、x3-資產負債率、x4-流動資產周轉率、x5-成本費用利潤率、x6-全員勞動生產率、x7-產品銷售率(p＝7)，數據見表1。對這些企業作經濟效益綜合評價。

⑴正向化數據為表1(x3正向化公式為：－x3。中性指標x7正向化公式為：

Ej為公認最好的中性值，這里Ej=1，其余是正向的；或②[|(xij/Ej)-1|+1]-1。表1 x7的正向化用公式①)。

⑵啟用SPSS11.0軟件因子分析過程進行因子分析，輸入例1正向化表1的數據，得特征值表2，相關陣特征值碎石圖圖1，初始因子載荷陣L0、旋轉后因子載荷陣LΓ表3。

⑶表3的L0、LΓ比較得表4,即L0每列系數絕對值較往0、1兩極分化，故使用初始因子。

⑷前2個初始因子設為f10,f20,變量正態分布下，取顯著水平為5%，顯著相關的臨界值是r(6)=0.707[8]，由L0和顯著相關的臨界值r(6)判斷，因子f10，f20與變量顯著相關；其它初始因子與變量沒有顯著相關，故因子個數m=2,此時累計貢獻率為93.56%。

⑸因子的命名與正向化：初始因子設為 f10，f20，根據表3的L0,因子f10與x1-總資產貢獻率、x2-資本保值增值率、x3-資產負債率、x4-流動資產周轉率、x5-成本費用利潤率、x6-全員勞動生產率顯著正相關,故稱f10為內部效益因子；因子f20與x7-產品銷售率顯著正相關,故稱f20為外向效益因子。f10與f20為正向的。

表2 相關陣特征值

表3 因子載荷陣

表4 因子載荷絕對值0、1兩極分化頻數對比表

⑹從初始因子得分系數得因子(Xi是xi的正向化、標準化變量)：

⑺以初始因子貢獻率為權數構造綜合因子函數：

70.193)，X4-流動資產周轉率(0.17)、X3(正向化)-融資率(0.155)、X1-總資產貢獻率(0.129)的有效性，拉動的是X2-資本保值增值率(0.118)、X6-全員勞動生產率(0.093)、X5-成本費用利潤率(0.038)。

⑻計算各企業因子值、綜合因子值及排名見表5。

⑼將表5中無相關性的數據f10、f20作系統聚類分析，用歐氏距離、類平均法,按綜合初始因子值相應順序企業分為如下四類。

第一類：廣州卷煙二廠；

第二類：廣州卷煙一廠、韶關卷煙廠、南海卷煙廠；

第三類：梅州卷煙廠、湛江卷煙廠；

第四類：南雄卷煙廠、廉江卷煙廠。

⑽現結合聚類分析結果、表5、初始因子得分系數、表1進行第一類、第三類（其余類似）綜合實證，提出建議。評價中注意初始因子得分系數：x5-成本費用利潤率既對內部效益因子f10是好影響(系數為0.155)，又對外向效益因子f20有較大的負影響(系數為－0.47)。

表5 初始因子、綜合初始因子值及排名

表6 因子方差貢獻

建議：廣州卷煙二廠應繼續保持發揮x1-總資產貢獻率、x2-資本保值增值率、x3-資產負債率、x4-流動資產周轉率、x5-成本費用利潤率、x6-全員勞動生產率(內部效益因子)已有優勢的條件下，加強銷售力度，提高x7-產品銷售率(外向效益因子)，定能進一步提高綜合效益，增強競爭力。

建議：梅州卷煙廠、湛江卷煙廠應明確已有差距、挖掘內部管理與產品質量潛力，在既抓好自身已有立足的前提下,向省內外卷煙企業優點學習,提高綜合經濟效益。

表7 上市公司贏利能力指標數據[9]

1.2 旋轉后因子分析的綜合評價步驟及其實例

旋轉后因子分析的綜合評價步驟。

⑴指標的正向化 (單獨計算)[2]， 標準化；

⑵求變量的樣本相關陣∑及其特征值λi，主成分法下初始因子載荷陣L0，旋轉后因子載荷陣 LΓ(要計算出多個 LΓ)，旋轉后方差貢獻 qiΓ；

表8 因子載荷陣

表9 因子載荷絕對值0、1兩極分化頻數對比表

⑶LΓ(要計算出多個 LΓ)與 L0比較，用因子載荷絕對值 0、1兩極分化頻數對比表判斷(見表9)，如果LΓ中行元素絕對值足夠向 0、1 兩極分化，用旋轉后因子 FΓ=(f1Γ,…,fmΓ)'進行分析[3]，繼續[原始變量之間相關度很低或無關時，直接進行逐個指標分析，用∑i=1pXi作綜合分析 (Xi是標準化的)是適合的]；

⑷確定旋轉后因子個數m、因子方差累計貢獻率：用LΓ和兩變量顯著相關的臨界值判斷，若因子與某些變量顯著相關，則選入該因子[3]，因子個數m、因子方差累計貢獻率隨之確定；

⑸旋轉后因子fiΓ的命名及其正向化：由LΓ的第i列fiΓ，將與fiΓ顯著相關的變量歸為fiΓ一類，由這些變量的意義對因子fiΓ進行命名(注意有些變量，可能與兩個因子顯著相關，命名中、分析中也要同時考慮好這些變量的聯系性影響)。正向化[3]：如果這類變量與fiΓ的相關系數表明該類變量的意義是正向的，fiΓ不變符號；如果意義是反向的，fiΓ、liΓ同時乘上負號；

⑹計算寫出旋轉后因子 FΓ=Γ'(λ1-1/2a1'X,…,λm-1/2am'X)'(用LΓ回歸的因子得分)；

⑺因為因子不相關，綜合起來可反映樣品的因子累加綜合狀況(不是反映多變量信息最大化時的樣品值狀況)，以旋轉后因子方差貢獻率qiΓ/p為權數得旋轉后綜合因子

⑻計算給出m個旋轉后因子樣品值矩陣HmΓ、旋轉后綜合因子樣品值并排序；

⑼用m個旋轉后因子樣品值做聚類分析，按旋轉后綜合因子樣品值排名順序給出樣品分類結果；[4]

⑽結合樣品的分類結果，旋轉后綜合因子、其樣品值和排序，原始數據，原始變量的意義，進行優勢、劣勢、潛力狀況和影響因素等的綜合評價，給出客觀、可靠的決策相關性建議。

SPSS軟件旋轉后因子有關結果計算過程：原始數據的正向化數據輸入或拷貝到數據窗口中，選擇Analyze→Date Reduction→Factor→變量框中選入正向化的數據→Descriptives 選擇 Initial solution,Coeffi-cients，Continue→Extraction選擇 Principal Component，Correlation matrix(數據標準化被執行)，Number of factor：m，Unrotated factor solution，Screen Plot(碎石圖),Continue→Rotation 選擇 Varimax，Rotated solution，Continue→Scores 選 擇 Save as Variables，Regression，Display factor score coefficient matrix，Continue→OK。計算結果有：樣本相關系數陣R、R的特征值、旋轉后因子的方差貢獻、初始因子載荷陣、旋轉后因子載荷陣、旋轉后因子的標準化變量系數陣、旋轉后因子的樣品值數據等，數據窗口中的fac1-1,…,facm-1 為旋轉后因子 f1Γ,…,fmΓ的樣品值(注意 Extraction選擇 Principal Component)。

例1.2 上市公司贏利能力的綜合評價，指標體系選為：x1-銷售凈利率、x2-資產凈利率、x3-凈資產收益率、x4-銷售毛利率，上市公司為青島海爾、貴州茅臺、五糧液等16家公司。數據見表6。

⑴表6數據全部是正向的；

⑵調用SPSS軟件因子分析主成分法下的過程命令，輸入表6的數據，計算，經過挑選，m=3時，得初始因子、旋轉后因子方差貢獻表7，相關陣特征值碎石圖圖2，初始因子載荷陣L0、旋轉后因子載荷陣 LΓ表8；

⑶由表8得表9，即旋轉后因子載荷陣LΓ中行元素絕對值足夠向0或1兩極分化，故用旋轉后因子解；

⑷前 3 個旋轉后設為 f1Γ、f2Γ、f3Γ,變量正態分布下，取顯著水平為5%，顯著相關的臨界值是r(14)=0.5[5]，由LΓ和顯著相關的臨界值 r(14)判斷,因子 f1Γ、f2Γ、f3Γ與變量顯著相關；其它因子與變量沒有顯著相關，故因子個數m=3，前三個因子解釋X的信息(累計方差貢獻率)為96%達到最大,誤差因子解釋變量X的信息為4%達到最小，結論可靠。

⑸因子命名與正向化：由LΓ和顯著相關的臨界值r(14)判斷，f1Γ與x2-資產凈利率、x3-凈資產收益率顯著正相關，因子f1Γ稱為資產贏利因子；f2Γ與x1-銷售凈利率顯著正相關，因子f2Γ稱為銷售凈利率因子；f3Γ與x4-銷售毛利率顯著負相關， 因子 f3Γ稱為銷售毛利率因子。 因子 f1Γ、f2Γ、f3Γ是正向化的；

⑹用LΓ回歸的因子得分函數(Xi是正向化、標準化的變量)：

表10 旋轉后因子、綜合因子樣品值

⑺以旋轉后方差貢獻率qiΓ/p為權數構造綜合因子：

2X1-銷售凈利率(0.1852)，拉動的是X4-銷售毛利率(0.1744)、X3-凈資產收益率(0.172)。

⑻旋轉后因子得分、綜合因子樣品值及排序見表10。

⑼調用SPSS軟件的聚類分析類平均法過程命令，選用歐氏距離，通過旋轉后因子得分 f1Γ、f2Γ、f3Γ的樣品值對樣品進行聚類。分成4類，結合綜合因子得分樣品值排名順序給出相應共性分類結果如下：

第一類：煙臺萬華，五糧液，雅戈爾，紅星發展；

第二類：貴州茅臺，青島海爾，用友軟件；

第三類：太太藥業，歌華有線，紅河光明；

第四類：浙江陽光，伊利股份，方正科技，方正科技，中鐵二局，福建南紙，湖北宜化；

⑽結合前3個旋轉后因子得分樣品值的聚類分析結果，因子得分、綜合因子得分樣品值和排序，因子得分、綜合因子得分函數，原始數據，原始變量名稱的意義，進行優勢、劣勢和影響因素等的綜合評價，給出客觀、可靠的決策相關性建議。

第一類的煙臺萬華、五糧液、雅戈爾、紅星發展，綜合因子得分值依次排第 1、2、3、4，全部高于平均水平。 其資產贏利因子f1Γ值依次排1、2、3、4,全部高于平均水平,優勢明顯。 銷售凈利率因子f2Γ值依次排5、7、6、4，全部高于平均水平，優勢中上。 銷售毛利率因子 f3Γ值依次排 8、7、10、6，其中紅星發展、五糧液靠近平均水平，煙臺萬華、雅戈爾低于平均水平。即該類企業是綜合贏利能力很強的企業，其中資產贏利能力尤其明顯，銷售凈利率略高于平均水平，銷售毛利率在平均水平附近的狀況。建議：該類企業在繼續保持資產贏利因子f1Γ中x2-資產凈利率、x3-凈資產收益率明顯優勢的情況下，銷售凈利率因子f2Γ中，應提高產品質量和管理水平，降低成本，進一步提高銷售凈利率的贏利能力；銷售毛利率因子f3Γ中，銷售毛利率提高的潛力較大，應向好的企業學習，改變銷售毛利率贏利能力較差的狀況。

第二～四類企業的綜合評價、建議方法與第一類企業類似，此略。

以上1.1和1.2的分析及結論，找到了研究對象的共性、優勢、不足、差距狀況和原因等，用具有可控性的原始指標給出了可靠的決策相關性建議，驗證了本文方法的有效性，且因子分析法的應用趨向深入。

1.3 旋轉后因子解釋原始數據的能力沒有提高的實例

請見文獻[6](2004)例6.1。

2 因子分析綜合評價中的注意事項

⑴指標需要進行正向化、標準化，以便進行指標的相對比較。

⑵因子的明確：計算出多個旋轉后因子載荷陣LΓ與初始因子載荷陣L0比較，用因子載荷絕對值0、1兩極分化頻數對比表判斷，確定旋轉后因子、初始因子哪個與變量相關性較高。

⑶確定因子個數m：用因子載荷陣和兩變量顯著相關的臨界值判斷，若因子與某些變量顯著相關，則選入該因子，因子個數m、因子方差累計貢獻率隨之確定，這樣不至于丟掉原始變量(初始因子個數、旋轉后因子個數確定有時是不同的，如例1.2。設相關陣特征值碎石圖拐點處的序號為k，旋轉后因子個數m建議在k-1、k、k+1中挑選)。

⑷因子fi的正向化：由因子載荷陣的第i列li，將與因子fi顯著相關的變量歸為fi一類，如果這類變量與fi的相關系數表明該類變量的意義是正向的，fi不變符號；如果意義是反向的，fi、li同時乘上負號。這是因子進行綜合的前提。

⑸使用旋轉后因子時，因為旋轉后因子方差貢獻已發生改變，故旋轉后綜合因子以旋轉后因子方差貢獻率為qiΓ/p權數，即這樣能保持方法的一致性。

⑹用前m個因子樣品值做聚類分析，按旋轉后綜合因子樣品值排名順序給出樣品分類結果，這樣既有樣品類的結果，又有樣品序的結果。

⑺結合樣品的分類結果，綜合因子、因子樣品值和排序，原始數據，原始變量的意義，進行優勢、劣勢、潛力狀況和影響因素等的綜合評價，盡可能給出客觀、可靠的決策相關性建議。

[1]林海明.因子分析教學內容的改進—因子分析模型L的教學內容[J].統計與決策，2009,(23).

[2]林海明.對主成分分析法運用中十個問題的解析[J].統計與決策(理論版),2007，(8).

[3]林海明.因子分析模型的改進與應用[J].數理統計與管理，2009，(6).

[4]張堯庭,方開泰著.多元統計分析引論[M].北京：科學出版社，1982.

[5]峁詩松等編著.概率論與數理統計[M].北京：中國統計出版社，2000.

[6]何曉群編著.多元統計分析[M].北京:中國人民大學出版社，2004.