一種均衡風險條件下的證券投資組合模型

李學濤

（1.河海大學 商學院，南京 210098；2.山東行政學院，濟南 250014）

在金融市場高度發達的今天，風險指標已經成為投資決策中重要的因素。但是，作為一個需要經常作出投資決策的機構或者個人，由于信息不對稱、市場風險相對穩定等情況的存在，過仔細的考慮風險因素往往會帶來負面效果，導致投資迷茫，措施良機。因此本文提出一種均衡風險下的證券投資組合模型，以便機構或個人能夠簡明實用的運用此方法在日常的證券投資中作出正確決策。

1 模型建立

1.1 問題描述及假設

機構（個人）現有一筆資金（數量為Q）即將用于有價證券投資，目前可供選擇并符合意向的證券共有M種，并且每一種證券具有相應的投資收益率I、信用等級E、到期年限N，現擬一種證券組合決策，使得投資效用最大化。

上述問題是目前絕大多數普遍投資者遇到的情況，但描述并沒有完全披露相關信息。因此，需要對相關因素進行界定和假設。

（1）在投資期限內，投資者由于信息不對稱、市場相對平穩等因素確信各證券不會存在大的風險波動。投資效用最大化體現在收益上。

（2）可以將有價證券劃分為：市政、上市公司、政府三類，其中按照相關法律規定，市政證券收益可以免稅，其他證券收益須按照一定比例收稅，稅率為R。

（3）信用等級可以劃分為5類，為[1,2,3,4,5]。

1.2 投資組合模型的建立

為了方便分析，需要對各類證券投資收益率I、信用等級E、到期年限N進行描述（表1）。

其中：M為證券種類數，Xi為相應的種類，X1,X2,…xM=[市政，上市公司，政府]

表1

這個優化問題的目標是使數量為Q資金分別投資于M種證券獲取的利潤最大，需要作出決策，即將資金Q如何分配到各號證券。決策收到相應的限制：總投資資金不超過Q。

決策變量：Q1,Q2,…,QM設分別投資于M號證券。

目標函數：設獲利Z元，Z=[Q1,Q2,…,QM][R1,R2,…,RM]T

約束條件：總投資資金不超過Q。

得到 LP 模型：MAXZ=[Q1,Q2,…,QM][R1,R2,…,RM]T

但是往往在實際投資時，受到一些主觀因素的影響，如對上市公司類證券投資不能少于一個特定的數目（Q*），信用的評定等級不能大于E*，平均到期年限不能超過N*，那么規劃模型就可以改進成以下形式：

通過上式可以看出，某些虛擬變量（如證券種類Xi）必須在實際問題中明確才可以通過軟件進行求解，否則求不出具體的結果。

為了使用圖解法簡便的對模型進行分析得到結果，假設只有2種證券M1和M2,購買數量分別為Q1+Q2=Q，將不等式約束改為等式約束。可以得到如圖1圖形。

這樣就形成了四邊形ACOF，目標函數中取得不同的值，可以得到一系列等族線，如Z=0是過0點的線，Z=C0是過C點的線，等等，可以看出當等族線網上平移直到A點時，Z=A0,達到最優值，這樣得到最佳組合。針對2維空間的線性規劃組合一定在多邊形的頂點完成。那么同樣可以推廣到N維空間，一定是多面體的一個頂點取得。本文利用MATLAB軟件繪制了3維的空間立體圖。

2 實證檢驗

本節擬用一個案例來運用上面的模型進行投資組合決策。一銀行經理計劃用一宗資金100萬元對5種證券進行投資，并且每一種證券具有相應的投資收益率I、信用等級E、到期年限N已經確定。（具體數據見表2）現擬一種證券組合決策，使得投資所得收益最大化。

那么可以建立相應的LP模型：

模型求解，本文使用LINDO軟件就可以輕松實現求解。得出結果如下：

明顯可以看出，直接將全部資金用于購買收益率最高的證券即可。但是往往在實際投資時，受到一些主觀和客觀因素的影響，假設此銀行經理人認為上市公司類證券投資不能少于一個特定的數目（40萬元），信用的評定等級不能大于1.8，平均到期年限不能超過2.5年，由于約束條件中涉及到一些變量必須解釋評定等級和平均年限的關系，所以必須加如虛擬變量，即是否購買該證券。那么規劃模型就可以改進成以下形式：

那么，在LINDO求得的結果如下：

表2

上述模型告訴我們結果的最優解是Q2=3.333333，Q3=60.000000，Q4=，36.666668，所得的最佳收益 Z=100。 即用3.333萬元購買2號證券，6萬購買3號證券，36.6667萬元購買4號證券，能獲得最大經濟利潤為99.99萬元，收益率百分百。

結果分析：上述結果除了告訴問題的最優解及最優值以外，還有很多有價值的信息。

（1）四個約束條件右端可以看做是四種資源：總投資額、上市公司證券投資額、信用等級、到期年限。輸出的SLACK OR SURPLUS給出這4種資源在最優解條件下是否有溢出，總投資額、上市公司證券投資額、到期年限均無溢出，但是平均年限有 4.583333/5=0.81的溢出，以為著到期年限限制為2.5年是不合理的，應該縮短0.81年。表明在其他3項約束既定的條件下，到期年限應改為1.7年。

（2）所有約束的DUAL PRICES值均為0，表示資源已經實現完全消耗，增加任何一種資源，都不會帶來收益的增加，意味著已經達到帕累托最優狀態，不存在影子收益率。

[1]丁傳明，鄒捷中.最優投資組合模型[J].經濟數學，2002，（2）.

[2]楊紹杰，胡黃山.基于CVaR約束的投資模型[J].中國經濟評論，2004，（11）.

[3]王雅賢，李維平.以蟻群系統建立高報酬股票投資組合管理模型[C].2006電子商務與數位生活研討會論文.

[4]Artzner P,Delbaen F,Eber J.M.,Heath D..Coherent Measures of Risk[J].Mathematical Finance,1999,9(3).

[5]Rochafeller R.T.,Uryasev S..Optimization of Conditional Valueat-Risk[J].Journal of Risk,2000,2(3).

[6]Rochafeller R.T.,Uryasev S..Conditional VaR for General Loss Distributions[Z].University of Florida,Gainosville,FL32611.

[7]姜啟源等.數學模型[M],北京：高等教育出版社，2004.

[8]謝金星,薛毅編著.優化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社，2005.