逆抽樣條件下含結構零的2×2列聯表中相對差的估計

江紹萍

（1.云南民族大學 數學與計算機科學學院，昆明 650500；2.云南大學 數學與統計學院，昆明 650500）

0 引言

在實際生活中，研究者經常遇見這樣的一類問題，即在2×2列聯表的對角線上有一個元素為零；且在理論上，這個為零的格子在試驗中是觀察不到次數的，故含結構零的2×2列聯表就產生了。如1997年日本進行結核病的臨床試驗[1]稱為TB試驗，總共進行兩次TB試驗。在第一次TB試驗后，都希望被試驗者呈強陽性（Positive也就是有肺結核抗體）。過一到三周后在進行第二次TB試驗，若第一次試驗后呈陽性反應的患者將不進行第二次TB試驗。經過第二次TB試驗后，患者還是出現陽性或者陰性的反應，從而得到含結構零的2×2列聯表。這個試驗中，試驗的總樣本數是固定的，若樣本數小，那么可能使得其它三個格子中的樣本數為零。為了避免這種情況的發生，在試驗中加入了逆抽樣過程。

逆抽樣（又稱為負二項分布）即為連續抽樣直到獲得先前固定的r個感興趣的樣本時才停止抽樣。在現實生活中，逆抽樣條件下相對差的估計問題具有很高的實用價值。所以一些學者已作過類似的研究，如KungJongLui[3,4,5]把逆抽樣的思想加入到2×2列聯表的研究過程中，他只是建立了Wald統計量和對數Wald統計量進行假設檢驗，且在求解得方法采用極大似然估計的方法求解感興趣參數的估計及方差。M.L.Tang[4]作了逆抽樣條件下兩組獨立的樣本的風險比的檢驗問題。

1 概率密度函數及其相對差的定義

本文在含結構零的列聯表中加入逆抽樣,以檢測結核病抗體的試驗為例，即在TB試驗中連續抽樣,直到抽到先前固定x1(x1>0)的個第一次TB反應為陰性的樣本時才停止抽樣。我們得到如下的列聯表的形式：

其中 0＜πij＜1(j=0,1)是列聯表的相應格子中的概率，X11,X10,X00為落入相應格子的樣本數。 并且滿足：π1=π11+π10；π1+π00=1；X11=0，1,…x1；X10=0,1,…，x1；X00=0,1,…。 從而得到變量X=（X11，X10，X00）的概率密度函數為：

在含結構零的2×2列聯表中，相對差的定義為：

根據相對差的定義，可以用參數δ和π1表示出其它的參數，即 π11=π1(π1-δ)，π10=π1(1+δ-π1)，π00=(1-π1)。 從而得到了由參數δ和π1表示的似然函數：

其中，C為不依賴于δ和π1常數，δ為感興趣參數，π1為討厭參數。

2 參數估計及其統計量的建立

本文感興趣的是檢驗相對差δ是否等于先前固定的某一個值δ0，從而建立如下的假設檢驗問題：

同理，可以求得在H0:δ=δ0條件下參數的極大似然估計，記為即求解如下方程：

得關于π1的一元三次方程：

計算過程中采用一元三次方程的求根公式來求解上述方程組的根。

以往求解感興趣參數的期望和方差，通常的做法是采用delta方法，但delta方法是一種近似求解的方法，得到的結果帶有一定的偏差。為了避免出現偏差，本文采用Fisher-score的方法來求解參數的方差。由此建立Fisher信息陣如下：

在求解Fisher信息陣的過程中應該注意到，變量X11服從參數為x11和π11/π1的二項分布；同理X10服從參數為x1和π10/π1的二項分布；而變量X00服從參數為x1和的負二項分布。故可以得到各隨機變量的期望如下：

通過求解Fisher信息陣的逆矩陣得到感興趣參數的方差為：

建立統計量如下：

3 模擬研究

在實際中，可以通過求解各統計量條件下犯第一類錯誤的概率和功效來檢驗建立的統計量的優劣性。并采用蒙特卡洛的方法對有限樣本進行模擬。當給定了δ0和π1的值之后，通過相對差的定義得到 π11，π10，π00的值。 所以模擬的過程中， 相對差 δ0取值為-0.2，-0.1，0.0，0.1；π1取值為 0.3，0.5，0.7，顯著水平為α=5%，得到相應的結果見表1、表2。

表1 統計量T1,T2,T3,T4條件下犯第一類錯誤的概率

表2 統計量T1,T2,T3,T4條件下的功效

通過計算犯第一類錯誤的概率和功效，得到如下的結論：

觀察表1、表2發現，Score統計量是最優的。因為在參數取值相同的條件下，它能保證犯第一類錯誤的概率最小且功效還能達到最大。

T3統計量即Wald-score統計量適用于處理大樣本的情況。在T3統計量條件下，所求得的犯第一類錯誤的概率隨著樣本值的增大而減小，并趨近于置信水平。所求解得的功效隨著r的增大而增大。

在模擬過程中，無論樣本值r的取值如何，T2統計量即Score統計量都能使得犯第一類錯誤的概率達到最小，同時也使得功效達到最大。特別在樣本值r小于30的情況下，犯第一類錯誤的概率接近于置信水平。隨著樣本值r的增大，功效變化不大。故可以T2統計量來處理小樣本問題。

通過觀察犯第一類錯誤的概率發現，T1統計量即Wald統計量比T3統計量性質更穩定一些，但是在相同的參數條件下，T1統計量求解得的功效比T3統計量差一些。

通過觀察犯第一類錯誤的概率發現，T4統計量即似然比統計量的性質比較穩定，但是觀察功效發現波動性比較大，不太穩定，所以T4統計量比其他的統計量性質要差一點。

4 討論

現實生活中逆抽樣的問題經常涉及到。本文除了應用逆抽樣的方法外，還采用Fisher-Score的方法求解感興趣參數的方差。這種方法可以比較準確地求解參數方差，避免了采用delta方法求解感興趣參數方差時存在的誤差。另外,文中建立了四個統計量，并討論了這四個統計量所使用的條件，還得到了一個最優的統計量，為以后的研究提供了一個有用的方法。在以后的問題的討論過程中，可以采用類似的方法討論π11/π12的假設檢驗問題。

[1]Toyota,M.,Kudo,K.,Sumiya,M.,Kobori,O.High Frequency ofIndividuals with Strong Reaction to Tuberculosis among Clinical Trainess[J].Japanese Journal of Infectious Disease，1999，52.

[2]Nian-Sheng Tang,Man-lai Tang,Ivan Siu-Fung Chan.On Test of Equivalence Via Non-unity Relative Risk for Matched-pair Design[J].Statistics in Medicine，2003，22.

[3]Kung-Jong Lui.Estimation of Rate Ratio and Relative Difference in Matched-pairs underInverse Sampling[J].Environmetrics，2001，12.

[4]M.L.Tang,Y.J.Liao,H.K.T.Ng,P.S.Chan.Testing of Rate Ratio under Inverse Sampling[J].Biometrical Journal，2008，89.

[5]Kung-Jong Lui.Point Estimation on Relative Risk under Inverse Sampling[J].Biometrical Journal,1996，38.

[6]Kikuchi,D.A.Inverse Sampling in Case Control Studies Involing a Rare Exposure[J].Biometerical Journal,1987，29.

[7]Kung-Jong Lui.Confidence Intervalsforthe Risk Ratio in Cohort Studies under Inverse Sampling[J].Biometrical Journal,1995，37.

[8]Kung-Jong Lui.Sample Size for the Exact Conditional Test under Inverse Sampling[J].Statistics in Medicine，1995，15.