初等數學和高等數學的聯系與矛盾

　　摘 要： 本論文由初等數學與高等數學本身的一些特性出發，討論了初等數學和高等數學的一些聯系和矛盾，它們之間聯系的意義，以及如何從初等數學過渡到高等數學。
　　關鍵詞： 初等數學 高等數學 聯系 矛盾 過渡
　　1.引言
　　數學專業的學生，特別是畢業后當老師的同學，一入學就發現他們面對的問題是，要學的知識好像同中學學過的一點聯系也沒有。由于缺乏指導，又很難明辨當前的中學教學內容和大學課程之間的聯系。因此常會對大學所學課程有疑惑，甚至忽視。實際上，解決辦法之一是通過掌握相當程度的高等數學知識，讓初等數學與高等數學有機結合，“居高臨下”，注重高等數學對初等數學的滲透，從較高層次去聯系、指導和研究初等數學。
　　我們所說的初等數學通常是指中學階段所涉及的數學知識，內容包含有代數，幾何，解析幾何，函數與數列等內容，處理一些有限量的直觀的實際問題。高等數學是大學階段所涉及的數學知識，內容有微積分，抽象代數，解析幾何等內容，其特點是用極限的手段解決更切合實際的問題，是初等數學知識的補充與擴充。本論文研究的主要內容是初等數學與高等數學的聯系和矛盾。
　　2.初等數學與高等數學的矛盾和聯系
　　2.1初等數學與高等數學的矛盾
　　2.1.1動與靜的矛盾現象
　　因初等數學是用較直觀的方法處理問題，從而對事物的變化規律的揭示，往往停留于相對靜止的狀態下去分析解決問題，而高等數學卻采用極限的手段，對事物的變化規律通過對事物的動態描述而揭示，從而結果更精確。如對物理問題：已知非勻速連續運動的路徑，求給定時刻的速度等。
　　2.1.2曲與直的矛盾現象
　　初等數學主要以研究“直邊圖形”為主，而對于不規則的曲邊、曲面圖形問題，就難以解決。但在高等數學中能用極限手段化曲為直，使問題初等化。如積分學中著名的求曲邊梯形面積的問題，即已知y=f（x）>0，x∈［a，b］，計算由x=a，x=b，y=0，y=f（x）所圍成的曲邊梯形AbBa的面積。
　　2.1.3有限與無限的矛盾現象
　　在初等數學中，由于只運用有限次代數運算，因此無法描述事物變化的無限過程。對于連續變量，初等數學只能把它作為一單位和靜止的東西加以研究，無法把它看成某種連續運動所形成的結果。在高等數學中運用極限方法能把連續量看成是支點連續運動的結果，認為“無窮多個無窮小量的和”就是一個確定的量，通過極限的方法，有限與無限可以互相轉化，從而實現有限與無限的最終統一。
　　例：求無限和1+++…++…
　　先求有限和S=1+++…+=2（1-），然后對n取極限就成無限和S=S=2.另外，一個確定的數或初等函數也可以表示成無限和的形式，如：=+++…，sinx=x-+…+（-1）+….
　　2.1.4特殊與一般的矛盾現象
　　從特殊至一般和從一般到特殊都是數學思考的重要方法，從初等數學到高等數學就是從特殊到一般的過渡。初等數學常有許多問題本身不能解決而需要借助高等數學解決，而高等數學是在初等數學基礎上發展的，如在研究各種具有幾個自由度的物理系統的運動時，為了描述這種系統的狀態，需要引進一種量——向量，而這種向量的研究與由兩個，三個有序的實數確定的矢量有很多相似之處，若抽象地看，后者便是前者的特殊情況。
　　向量應用于代數可以使問題化繁為簡，化難為易。
　　2.1.5具體與抽象的矛盾
　　初等數學與高等數學的概念都是抽象的，它們是現實的量的關系的反映，都是人們通過實踐活動所獲得的認識。一般來說，高等數學借以抽象的基礎比初等數學更廣，概括面更寬，抽象的結果更深刻。高等數學能夠更加接近真實地反映實際事物的量的關系，得到更精確的結果，但高等數學在建立自己的抽象概念時又往往以初等數學概念作為具體，如線性空間這抽象的概念是集合的抽象，群、環等是實數集的抽象。
　　2.2初等數學與高等數學的聯系
　　2.2.1高等數學與初等數學的聯系之一是高等數學對初等數學理論上的支持，即初等數學中一些無法闡釋清楚的理論問題，必須利用高等數學的知識才能解決。
　　2.2.2高等數學與初等數學的聯系之二是高等數學也可以為初等數學中常用的數學方法提供理論依據。
　　例如，數學證明的常用方法，數學歸納法，只講怎樣運用數學歸納法而避而不談數學歸納法原理的證明，中學數學教材這樣處理是考慮到中學生的知識水平、年齡特征和中學數學的教學目的。數學歸納法的合理性，是由自然數的歸納法公理或最小數原理所保證的，其應用的具體步驟，也就是由歸納公理所提供的，由該公理還可以演變出各種形式的歸納證明方法：第一數學歸納法、第二數學歸納法、反向歸納法、無窮遞降歸納法，用這些方法可以解決用其他數學方法難于處理的許多問題，具體實例在此從略。
　　2.2.3高等數學與初等數學的聯系之三是高等數學對初等數學的學習和教學具有指導性作用。
　　例如：用初等數學的方法研究函數的增減性、凹凸性、求極值最值等種種特性有很大的局限性。而在高等數學中利用極限、導數、級數等知識，可用比較完備的方法研究函數的特性。
　　2.2.4高等數學與初等數學的聯系之四是可將一些高等數學的知識直接用來解決初等數學中的問題，從而達到簡便的效果。
　　綜上所述，初等數學與高等數學雖有一定的“矛盾”現象，但它們之間也有一定聯系，高等數學是初等數學的深化，初等數學是高等數學的基礎。由上述這些例子可以看到，教師僅具備初等數學的知識是遠遠不夠的，必須學習高等數學的知識來補充自己。
　　3.由初等數學到高等數學的過渡
　　3.1教材
　　高中教材難度較小，且表述通俗形象。研究的多是常量的定量計算，容易理解和接受。但高等數學的深度和廣度均有了較大的變化，難度也相應增大，研究的又是變量及變量之間的關系。要求有較高的理解和分析能力，課容量也明顯大得多，學生一時難以適應。
　　3.2學習方法
　　中學階段，對理解、歸納和概括的能力要求較低，學生被動學習不善于獨立思考和深入鉆研。通常是死記硬背公式、定理和解題方法。進入大學后，還沿用這種學習方法，習慣于照搬、套用現成的公式和計算方法。但高等數學的學習，要求勤于思考、獨立鉆研、善于歸納。比如極限部分內容就沒有現成公式可套，而教師的教學方法也有了變化，因此學生很不適應。
　　3.3思維能力
　　高等數學必須圍繞提高學生的數學思維能力而展開。數學教學主要是思維活動的教學，應該把激發學生思維活動的內容滲透于整個教材之中，將唯物辯證法的辯證統一規律貫穿于整個教學活動之中，培養學生的邏輯思維能力和動態思維能力。
　　3.4教學
　　首先要培養學生的數學能力。數學基本能力是數學教師必備的素質，高等數學因其高度的抽象性和嚴謹的邏輯性，而成為培養學生基本能力的極好教材，所以在高等數學教學中必須對學生數學基本能力加以培養。
　　4.結語
　　在高等數學中融入一些初等數學的知識和新方法，能夠產生對陌生知識的親切感，有利于接受新知識和方法，能夠激發學生學習的積極性，以達到解決高等數學入門難的目的。在不加重學生負擔的前提下，適當地介紹一些課外數學知識，使得能夠接觸某些數學理論，搞清一些公式、題目、結論的來源，這對于開拓思路，駕馭知識培養能力，是十分有益的。這樣，在工作崗位上，不至于使高等數學里所學的知識與初等數學的知識脫節，有助于我們將所學的高等數學知識在中學里加以發揮和施