一種變步長最小均方算法

王才能，裴承鳴，劉東來，王懷文

(西北工業大學動力與能源學院，西安710072)

1 引言

自適應濾波在沒有先驗知識的情況下具有跟蹤輸入統計量隨時間變化的能力，是信號與信息處理的一個重要手段。在系統辨識、自適應控制、通信、聲納和雷達等技術領域均已得到成功運用。1960年，Widrow和Hoff提出了計算簡單、穩定性好、易于實現的最小均方算法(LMS)，隨即就成為應用最為廣泛的自適應濾波算法。LMS算法基于最速下降原理，將隨機梯度用瞬時梯度代替，沿著權值梯度的負方向達到最優權值，實現均方誤差最小。自適應濾波器的原理見圖1，計算公式為:

其中，d(n)是期望信號，X(n)是輸入信號矢量，W(n)是濾波器的權值矢量，e(n)是誤差，μ是收斂步長參數。

最小均方算法雖然有著顯著的優點，但在收斂速度和穩態誤差的兼顧方面卻存在難以調和的問題。收斂步長的增加可以改善收斂速度，但穩態誤差也隨之增大。若為減小穩態誤差而減小收斂步長，則收斂速度會降低。為解決這一矛盾，人們提出了很多改進形式，變步長最小均方算法便是其中具有代表性的一類。文獻［1］提出了使變步長參數μ正比于誤差e(n)，但性能并不理想。文獻［2］給出了一種稱為S函數的變步長LMS算法(SVSLMS)，其步長調整原則是:在初始收斂階段或未知系統參數發生變化時，步長比較大，以便保持較快的收斂速度和對時變系統的跟蹤速度;在算法趨于收斂后，無論輸入噪聲如何變化，都應采用較小的步長以獲得更小的穩態誤差。但在誤差接近零時，這種算法的步長變化劇烈，可能導致穩態誤差增大。為此，文獻［3］對SVSLMS做了進一步的改進。文獻［4－6］則分別基于箕舌線、雙曲正切函數和反正切函數提出了相應的變步長LMS算法，在一定程度上緩解了收斂速度和穩態誤差之間的矛盾。

圖1 自適應濾波器的原理

2 變步長最小均方算法

現有的一些變步長LMS算法(文獻［2－6］所提算法)在處理補償與誤差的關系方面采用了非線性函數，而這些函數的共同特點包括:偶函數、有界(自變量趨于無窮時，函數值為常數;自變量為零時，函數值為零)、是增函數(自變量非負時)。

在對已有算法研究和分析的基礎上，下面提出一種新的變步長算法，具體原理如下:

其中，f(z)=a{1n(2)－1n(1+exp(－bz))}是一個有界非線性函數，其隨參數a和b的變化特性分別見圖 2、圖 3。當 Z→∞ 時，f(z)→a1n2≈0.6391a，這樣保證了步長在一定范圍內變化，不會導致結果發散。當a，b不變時，步長隨著誤差的增加而增加，符合文獻［2］提出的變步長原則。輸入信號反映了當前的信息，把它引入到變步長中可提高算法的跟蹤性能。

為滿足最小均方算法的穩定條件:1＜μ＜1/λmax，要求 1 ＜ μ(n)＜1/λmax，則有 1/1n2 ＜ a ＜λmax×1n2，。當 a增大，步長會增大，收斂速度加快，穩態誤差減小。a的具體值需要在實驗中確定。參數b用來調整變步長函數的形狀以此來控制步長變化的速度。

(a=2，從下到上 b=0.01，b=0.1，b=0.5，b=1)

(b=0.3，從下到上 a=0.05，a=0.1，a=0.5，a=1)

3 計算機仿真實驗

考慮AR過程u(n)，其差分方程為:

其中，a1= －0.1，a2=0.8。v(n)是均值為零，方差為0.27的加性白噪聲。

采用二階線性自適應預測器來估計AR參數a1，a2。采樣點數為500個，為了提高統計置信度共進行100次獨立實驗。

圖4是分別采用上面的新算法(a=0.15，b=0.7)與固定步長(μ=0.025)LMS算法得到的 AR參數變化曲線。可以看出，新算法的收斂速度快，穩態誤差小。

圖5是分別采用上面的新算法(a=0.15，b=0.7)與文獻［3］提出的變步長LMS算法(α=1，β=0.05)得到的AR參數變化曲線。可以看出，新算法在收斂速和穩態誤差等性能方面均優于文獻［3］算法。

4 結束語

在研究多種變步長LMS算法的基礎上，通過引入非線性函數提出了一種新的變步長LMS算法。分析了參數的選取方法，并借助計算機仿真和對比試驗驗證了新算法的主要性能。為對于收斂速度和穩態誤差均要求較高的自適應建模和跟蹤控制提供了一種新的計算方法。

［1］Yasukawa H，Shimada S，Furukrawa I，et al.Acoustic echo canceller with high speech quality［C］//IEEE ICASSP，1987:2125－2128.

［2］覃景繁，歐陽景正.一種新的變步長LMS自適應濾波算法［J］.據采集與處理，1997，12(3):171 －174.

［3］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS自適應濾波算法及分析［J］.電子學報，2001，29(8):1094 －1097.

［4］鄧江波，侯新國，吳正國.箕舌線的變步長LMS自適應算法［J］.采集與處理，2004，19(3):282 －285.

［5］鄭莎莎.智能天線變步長最小均方算法的研究與仿真［D］.長春:吉林大學，2007.

［6］朱斌，馬艷.一種新的變步長LMS算法分析［J］.計算機仿真，2008，25(9):93 －95，154.