具有中介狀態結構地震易損性分析

李 明 鮑雷華 陳紅敏

地震易損性分析就是估計建筑結構在某強度地震作用下,發生給定破壞等級的概率。根據我國三級抗震設防原則“小震不壞、中震可修、大震不倒”,將結構的破壞等級分為安全、中介、失效三級。其中安全狀態對應結構完好和輕微破壞,中介狀態對應結構的中等破壞,失效狀態對應結構嚴重破壞和倒塌。這里的易損性分析就是計算不同烈度地震作用下,結構處于安全、中介、失效的概率,通過計算不同烈度下結構的可靠性向量,得到可靠性矩陣,即為單體結構易損性矩陣。在單體結構易損性矩陣基礎之上,通過概率方法,計算得到群體建筑易損性矩陣,矩陣中的數據表示某強度地震作用下,發生給定破壞等級建筑所占抽樣建筑的比例。

1 單體建筑易損性分析

根據震害的嚴重程度,將結構在地震作用下可能發生的破壞等級劃分為三級,每級破壞分別對應結構的安全狀態、中介狀態和失效狀態。文獻[1]將建筑的破壞程度劃分為五級,基本完好(B1)、輕微破壞(B2)、中等破壞(B3)、嚴重破壞(B4)、倒塌(B5)。用Dj表示第j級破壞等級,則:

三級破壞等級D1,D2和D3分別對應安全、中介、失效三級工作狀態,這樣地震易損性分析就是計算結構在某強度地震作用(烈度 i)下,處于安全、中介和失效狀態的概率:

其中,Pij為強度為I的地震作用下,設防烈度為Id結構發生第j級破壞的條件概率。

通過式(2),可以計算某一烈度作用下,結構處于安全、中介和失效的概率PR,PM,PF得到結構的可靠性向量[PR,PM,PF]。不同地震烈度可以計算得到不同的可靠性向量,以可靠性向量為行,可以得到可靠性矩陣 Pi×j:

矩陣Pi×j中的各元素表示在某烈度i地震作用下,結構發生第j級破壞的概率,即此矩陣就是三級破壞等級對應的易損性矩陣。矩陣的行代表某烈度i地震作用下結構的可靠性向量,顯然Pi1+Pi2+Pi3=1。

2 建筑群體易損性分析

建筑結構群體易損性分析就是確定一個城鎮、地區或者企業范圍內,按照某種分類標準的同類建筑在某強度地震作用下發生某種破壞程度的概率。通過群體易損性分析可以反映不同城鎮、地區建筑物的抗震性能和不同種類建筑的抗震性能。文獻[2]提出了一種根據計算平均震害指數來快速評估城鎮地區群體震害方法;高小旺等分別對城市和企業,以及內框架和底框建筑進行震害預測研究,并提出了基于概率的預測方法[3-5]。尹之潛以概率理論為基礎,提出了地震災害預測的動態分析模型,得到了計算動態震害矩陣和動態損失矩陣的方法,為震害的動態分析打下了理論基礎[6,7]。陳健云等將模糊數學中的熵權法和相似理論引入到建筑群體易損性評估中,提出了一種適用于震后快速評估的分析方法,并用于分析砌體結構[8]。

通過分析預測單元中抽樣得到的單體結構,我們可以得到各個單體結構的可靠性向量。在計算群體易損性矩陣的時候,把每棟建筑的破壞看成是一個隨機過程Ai,在某地震烈度作用下,建筑破壞這個隨機過程具有三個基本事件Ai1,Ai2,Ai3,其中Ai1發生的概率為結構處于安全的概率、Ai2發生的概率為中介概率、Ai3發生的概率為失效概率。對于抽樣得到的N棟建筑在地震作用下的破壞,就相當于進行N次獨立試驗,每次試驗的基本事件為Ai1,Ai2,Ai3,根據各個事件發生的概率,就可以求得 N次事件中發生n次Ai1(或者 Ai2,Ai3)事件的概率,即得到 N棟建筑中有n個建筑處于安全(或中介、失效)的概率 PR(n/N)(或PM(n/N),PF(n/N)),即為有 n棟建筑發生D1(D2和D3)級破壞的概率,這樣我們就可以得到 N棟建筑中發生D1(D2和D3)級破壞的概率期望ER(n/N),EM(n/N)和EF(n/N)。根據離散分布函數期望的定義:

為了簡化計算,將可靠性向量蛻化為二維模型[安全,非安全]和[非失效,失效],然后計算得到 PR(n/N)和 PF(n/N),進而根據式(4),式(5)算出對應 D1,D3級破壞建筑數的期望,然后通過式(6)得到 EM(n/N)。然后根據式(7)計算 i級地震烈度下,發生第 j級破壞的概率。

其中,Rij為所有抽樣建筑在發生i級地震烈度作用時,發生j級破壞建筑占抽樣建筑總數的百分比;Eij(n/N)為某烈度 i地震作用下,發生 j級破壞建筑數的期望值,按式(4),式(5)和式(6)計算。根據式(7),可以得到群體建筑的易損性矩陣:

矩陣中的每個元素為在某烈度地震作用下,發生某級破壞建筑的數量與抽樣建筑總數的比值。

3 計算實例

考慮地震烈度為7度,抽樣建筑數量為5棟,其中每棟建筑在烈度7度條件下的可靠性向量分別為[0.85,0.11,0.04],[0.63,0.29,0.08],[0.83,0.10,0.07],[0.79,0.15,0.06],[0.75,0.20,0.05]。將可靠性向量蛻化為二維模型[安全,非安全],相應的概率為[0.85,0.15],[0.63,0.37],[0.83,0.17],[0.79,0.21],[0.75,0.25];[非失效,失效]相應的概率為[0.96,0.04],[0.92,0.08],[0.93,0.07],[0.94,0.06],[0.95,0.05]。根據MATLAB編程計算可以得到 PR(n/N)(n=1～5)和PF(n/N)(n=1～5),求得 ER(n/N)和 EF(n/N),然后根據式(6),可以得到 EM(n/N)(n=1～5)。具體計算結果見表1。

表1 有 n棟建筑發生1級,3級破壞的概率

根據表1可以得到,ER(n/N)=3.85,EF(n/N)=0.3,根據式(6),有:

同理,根據其他烈度條件下的可靠性向量,可以計算出相應其他烈度條件下的條件概率Rij,進而可以得到某種類建筑群體易損性矩陣 Mi×j。

4 結語

在可靠性向量理論基礎之上,提出了可靠性矩陣,通過計算某城市或者區域抽樣單體結構在不同烈度地震作用下的可靠性向量,得到結構的可靠性矩陣,即易損性矩陣。在單體結構易損性評估的基礎之上,結合概率理論,形成了同類型建筑群體易損性評估方法,通過這個方法可以得到群體建筑易損性矩陣。這個方法是建立在可靠性向量理論和概率理論基礎之上,計算簡單方便,適用于各類結構抗震性能的快速評估,為單體建筑的抗震性能評價、抗震加固以及城市、地區的綜合抗震能力評估等提供決策數據。

[1] 建設部抗震辦公室.GB J11-89建筑抗震設計規范統一培訓教材[M].北京:地震出版社,1992.

[2] 陳有庫.城鎮地區群體震害預測:快速法[D].哈爾濱:中國地震局工程力學研究所碩士學位論文,1990.

[3] 李 荷,高小旺.城市和企業地震影響災害預測及減災對策[M].北京:中國鐵道出版社,1997.

[4] 陳德彬,高小旺.內框架建筑震害預測方法[A].第三屆全國地震工程會議論文集[C].1990:1821-1826.

[5] 高小旺,鐘益村.底層全框架磚房抗震能力評定和震害預測方法[A].第三屆全國地震工程會議論文集[C].1990:1815-1820.

[6] 尹之潛.地震災害及損失預測方法[M].北京:地震出版社,1996.

[7] 尹之潛.地震災害損失預測的動態分析模型[J].自然災害學報,1994,3(2):72-79.

[8] 陳健云,畢可為.一種適于震后快速評估的群體易損性分析方法[J].震災防御技術,2009,4(2):174-181.