球殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)震下的倒塌破壞模式分析

高 淵

空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)是近30年來我國發(fā)展最快、應(yīng)用最廣的空間結(jié)構(gòu)類型之一,這類結(jié)構(gòu)體系整體剛度好,技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)越,可提供豐富的建筑造型,因而受到眾多建設(shè)者和設(shè)計(jì)者的歡迎,在大跨度公共建筑設(shè)施中被廣泛應(yīng)用。如北京奧運(yùn)會(huì)著名的“鳥巢”“水立方”,老山自行車館,國家大劇場等均為空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。這些標(biāo)志性建筑在國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活中占有重要的地位,一旦失效將帶來災(zāi)難性的損失。本文擬用大質(zhì)量法模擬多點(diǎn)地震激勵(lì)作用,對(duì)球殼結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震下的倒塌破壞模式進(jìn)行分析歸納,為研究控制(優(yōu)化)結(jié)構(gòu)倒塌破壞過程做鋪墊。研究內(nèi)容包括:同時(shí)考慮物理非線性和幾何非線性的大跨空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)計(jì)算;完善最大熵法可靠度理論精度控制方法;基于改進(jìn)的最大熵法可靠度理論,對(duì)球殼結(jié)構(gòu)在地震作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行確定性分析,并最終對(duì)其倒塌破壞模式進(jìn)行分類歸納。

1 最大熵法可靠度理論工程應(yīng)用中的改進(jìn)

1.1 最大熵法可靠度基本理論

熵的起源可以追溯到19世紀(jì)。1948年Shannon[1]在信息論中提出了作為事物不確定性測度的熵的概念,其表達(dá)式為:

其中,Pi為事件處于狀態(tài)i時(shí)的概率;k為玻耳茲曼常數(shù)。

熵定義實(shí)際上是一個(gè)隨機(jī)變量的不確定性,可表述為:

其中,p(Ai)為隨機(jī)變量處于可能狀態(tài) Ai時(shí)的概率。

當(dāng)x為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí),熵可由下式定義:

其中,f(x)為隨機(jī)變量分布的概率密度函數(shù)。

最大信息熵原理[2]:在所有滿足給定約束條件的許多概率密度函數(shù)中,信息熵最大的概率密度就是最佳(即偏差最小)的概率密度函數(shù)。

設(shè)x為一連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)為 f(x),則其滿足以下條件:

其中,mi為x統(tǒng)計(jì)樣本的第i階原點(diǎn)矩,可由統(tǒng)計(jì)樣本計(jì)算確定。

為了使隨機(jī)變量的熵E(x)在滿足式(4),式(5)的條件下取得最大值,特構(gòu)造如下拉格朗日方程[3]:

其中,(λ0+1),λ1,λ2,…,λN均為拉格朗日乘子。

由?F(x)/?f(x)=0,并引入式(3)～ 式(5),得:

由此可以得出最大熵理論表示的隨機(jī)變量為 x的概率密度函數(shù):

而待定系數(shù) λ0,λ1,λ2,…,λN可由式(4),式(5)組成的聯(lián)立方程組求解。

1.2 最大熵法可靠度理論精度控制改進(jìn)

措施1:將式(7)轉(zhuǎn)換成如下形式:

其中,μ為xi的均值。后文算例表明,采用式(8)可以大大提高計(jì)算速度,同時(shí)可以有效解決計(jì)算收斂困難的問題,但不會(huì)對(duì)函數(shù)的圖形造成改變。

措施2:由式(4),式(5)組成的聯(lián)立方程組迭代求解待定系數(shù)λ0,λ1,λ2,…,λN時(shí),采用變步長復(fù)化 Cotes公式求積分,有效保證了求解過程中的精度要求。

1.3 算例分析

設(shè)由本文改進(jìn)的最大熵法可靠度理論求得的概率密度函數(shù)為f(x),再與標(biāo)準(zhǔn)F分布概率密度函數(shù)g(x)進(jìn)行對(duì)比。

由Matlab按F分布生成1 600個(gè)樣本,采用改進(jìn)的最大熵法可靠度理論(式(8))算得:λ0,λ1,…,λ4分別為 -0.188 12,-1.218 00,-2.142 11,1.998 98,-0.618 25。圖 1為 g(x)與f(x)的形狀對(duì)比,可以看到,g(x)與 f(x)的函數(shù)圖形并不完全一致,這是由于最大熵法理論上存在一定的局限性,約束條件不能完全精確反應(yīng)問題本身而造成的。經(jīng)過計(jì)算,g(x)與 f(x)的誤差小于5%,從工程應(yīng)用的角度看符合要求。

文獻(xiàn)[5]將式(8)轉(zhuǎn)換成:

其中,μ,σ分別為xi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

同樣的樣本,用文獻(xiàn)[5]中提出的方法,即式(9)相應(yīng)求得 λ0,λ1,…,λ4分別為-0.881 54,-0.628 71,-0.537 62,0.262 60,-0.041 45,繪出其概率密度函數(shù)曲線 f′(x)與 g(x)的對(duì)比曲線如圖 2所示。從圖2中可以看出,文獻(xiàn)[5]的 f′(x)嚴(yán)重偏離了標(biāo)準(zhǔn)概率密度函數(shù)g(x)。究其原因,文獻(xiàn)[5]中對(duì)樣本進(jìn)行(xi-μ)/σ處理后,相當(dāng)于對(duì)樣本標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化了,雖然收到了提高收斂速度的效果,但卻改變了原概率密度函數(shù)的分布圖形,故其方法僅適用于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的情況。而本文中采取的方法,對(duì)自變量進(jìn)行加減處理后再相應(yīng)地進(jìn)行左右平移,不會(huì)改變?cè)瘮?shù)的分布圖形,故適用范圍更廣。

2 多點(diǎn)輸入地震波模擬

多點(diǎn)輸入地震波的模擬,首先通過自回歸方法(AR法)模擬得到隨機(jī)場時(shí)程信號(hào),然后將此隨機(jī)信號(hào)分解得到傅里葉幅值譜和相位譜兩部分,根據(jù)目標(biāo)功率譜調(diào)整幅值譜而保持相位譜不變,重新生成隨機(jī)場信號(hào),不斷迭代計(jì)算直至滿足擬合精度要求。

本文地震波自譜模型采用由日本學(xué)者Kanai和 Tajimi提出的過濾白噪聲模型[6],其譜密度表達(dá)式如下:

其中,wg為地基土的卓越圓頻率;ζg為地基土的阻尼比;S0為譜強(qiáng)度因子,反應(yīng)地震動(dòng)的強(qiáng)弱程度。

相干模型本文選擇Harichandran和Vanmarke提出的水平地震動(dòng)相干模型。該模型是以SMART-1臺(tái)陣的觀測記錄為基礎(chǔ)提出的相干模型,它將密集臺(tái)陣記錄視為平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)零均值隨機(jī)過程,其遲滯相干函數(shù)模型[7]表達(dá)式為:

考慮因行波效應(yīng)而引起相角變化,則可寫出均勻、各向同性的地震動(dòng)場相干函數(shù)模型:

其中,DL為k點(diǎn)和l點(diǎn)在波傳播方向上的投影距離;Vapp為地震波傳播的視波速。

3 球殼結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析

結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)隨著加速度峰值的提高而增大,當(dāng)加速度值達(dá)到一定程度后,結(jié)構(gòu)進(jìn)入非穩(wěn)定狀態(tài),發(fā)生倒塌破壞,定義此時(shí)的加速度峰值為極限加速度峰值。本文考慮地震動(dòng)的隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)造成的變異性:1)給定一地震加速度峰值,在相同場地條件下,模擬45組結(jié)構(gòu)各支承點(diǎn)加速度輸入時(shí)程;2)采用大質(zhì)量法,對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行多點(diǎn)輸入時(shí)程分析響應(yīng)計(jì)算,并考慮結(jié)構(gòu)體系的物理非線性和幾何非線性;3)采用前文所述改進(jìn)的最大熵法獲得結(jié)構(gòu)在該級(jí)地震加速度峰值下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù),由此得到該級(jí)地震加速度峰值下“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)”;4)逐級(jí)提高地震動(dòng)加速度峰值,重復(fù)步驟1)～3),直至結(jié)構(gòu)發(fā)生倒塌破壞,并記錄下此時(shí)的極限加速度峰值;5)繪制“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—地震動(dòng)加速度峰值”曲線,根據(jù)曲線特征即獲得了某一結(jié)構(gòu)在該場地條件下的倒塌破壞模式;6)根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》變換場地條件,變換結(jié)構(gòu)跨度、矢跨比等宏觀幾何參數(shù),考查大跨度空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的倒塌破壞過程,最終對(duì)倒塌破壞模式進(jìn)行分類歸納。

通過變更場地條件、結(jié)構(gòu)跨度、矢跨比等,采用大質(zhì)量法對(duì)70 m跨單層球殼(K6型)模型和100m跨雙層球殼模型進(jìn)行了多點(diǎn)輸入下的地震時(shí)程響應(yīng)分析(見圖3),通過控制地震波的加速度峰值,逐級(jí)加載直至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞,考察模型在水平地震作用下的水平最大結(jié)構(gòu)可能響應(yīng)。

所有球殼模型支座均為三向固定鉸支座,分布在球殼最外環(huán)的節(jié)點(diǎn)處(規(guī)律布置,雙層球殼分布在上弦層最外環(huán)節(jié)點(diǎn)處)。結(jié)構(gòu)上作用有垂直向下的均布靜荷載(重力荷載代表值)q=恒荷載+0.5×活荷載,以集中質(zhì)量的形式作用于節(jié)點(diǎn)上;單層球殼桿件采用三節(jié)點(diǎn)的Beam188梁單元,雙層球殼桿件采用 Link8單元;材料采用Q235鋼管。

針對(duì)各個(gè)不同指標(biāo)(跨度、矢跨比、場地條件等),繪制“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—地震動(dòng)加速度峰值”曲線,根據(jù)曲線特征獲取結(jié)構(gòu)在該場地條件下的倒塌破壞模式,并對(duì)不同指標(biāo)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析,最終對(duì)大跨空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的倒塌破壞模式歸納分析。

1)70 m跨單層球殼,堅(jiān)硬場地(Ⅱ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖 4。2)70 m跨單層球殼,軟弱場地(Ⅲ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖5。3)100 m跨雙層球殼,堅(jiān)硬場地(Ⅱ類場地,水平地震作用下水平位移),見圖6。

經(jīng)過對(duì)比分析,從以上“最大可能結(jié)構(gòu)響應(yīng)—加速度峰值”曲線圖中可以得出:1)對(duì)同一結(jié)構(gòu)而言,軟弱場地上的極限加速度峰值均低于堅(jiān)硬場地上的極限加速度峰值。說明,就地面建筑物總的破壞現(xiàn)象而言,在軟弱場地上的建筑物比堅(jiān)硬場地上的建筑物破壞要容易。2)在堅(jiān)硬場地條件下,雙層球殼相對(duì)于單層球殼而言,無論其極限加速度峰值還是多點(diǎn)地震激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點(diǎn)位移值均遠(yuǎn)高于單層球殼的。究其原因?yàn)殡p層球殼的整體性優(yōu)于單層球殼,且桿件受力更為均勻。3)球殼結(jié)構(gòu)在多點(diǎn)輸入地震作用下,破壞模式仍可沿用一致輸入下結(jié)構(gòu)的倒塌破壞模式分類,即強(qiáng)度破壞和動(dòng)力失穩(wěn)。

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