教給學生解題后的反思

?重慶市新海實驗中學 林玉燕

經過多年的數學教學，我認為把應該解題的真實思考過程講給學生，教給學生解題后的反思很重要，因為有些數學題，當我們對所證（解）出的結果進行反思時，一種順理成章、豁然開朗的證（解）法就呼之欲出了.下面以講解一道中考題為例.

例：將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E， 交BC于F，AB邊折疊后與BC邊交于點G（如圖1所示）.

（1）如果 M 為 DC 邊的中點，求證：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

（2） 如果M為CD邊上的任意一點，設AB=2a，問△CMG的周長是否與點M的位置有關？若有關，請把△CMG的周長用含DM的長x的代數式表示；若無關，請說明理由.

圖1

第（1）問由勾股定理建立一元二次方程不難解決，在處理第（2）問時，由于點M是CD邊上的任意一點，所以猜測△CMG的周長應該與DM的長度相關，于是有了以下的常規解法.

解：（1）略；

（2）∵MD=x，∴ CM=2a-x.

設 DE=y，則在 Rt△DEM 中，由 y2+x2=（2a-y）2可得4a2-x2=4ay.

（特注：L△CMG表示△CMG的周長，其余類同.）

故△CMG的周長為4a，與點M在CD邊上的位置無關.

解題后的反思：引導學生觀察思考，鑒于△CMG的周長為4a，恰好等于CD+CB的長.又∵CM、CG分別是CD、CB的一部分，所以推斷必有MG=MD+GB，為此，構造全等三角形的第二種證法油然而生.

圖2

另解：連結AM、AG，作 AH⊥MG于H，如圖2所示.

由題意可知：∠AMG=∠MAB=∠AMD.

故△CMG的周長為4a，與點M在CD邊上的位置無關.

有學生感嘆道：“早知如此（指第二種解法）又何必當初（指第一種解法）.”馬上就出現了反駁的聲音：“沒有當初，何來如此!”我就勢總結道：“解題后的反思可以幫助我們更好地認識題目的本質.”

又例如我在數學競賽輔導時講解的一道試題：

如圖3所示，已知3個邊長相等的正方形相鄰并排.求：∠EBF+∠EBG.

圖3

我按照數學變換的思想給出了如下的解題過程.

圖4

解：如圖4所示，將已知3個邊長相等的相鄰的正方形以BE為軸進行翻折，連結BT、FT，則有∠EBG=∠EBT.

∴∠EBF+∠EBG=∠EBF+∠EBT=∠FBT.

設 AB=a，于是有：BT2=a2+（2a）2=5a2；

顯然有：BT2+ET2=BF2；BT=FT.

∴△BTF是等腰直角三角形.

∴∠FBT=45°.

故∠EBF+∠EBG=45°.

解題后的反思：有學生恍然大悟：“正好等于45°.”我乘機賣關子：“應該是真好，又是45°，此時此刻，面對這樣的結果，你有何感想呢？”在一陣激烈的討論之后，終于有學生提出了想法：由于∠EBF+∠EBG=45°，連結BH（如圖5所示）后，必有∠ARB=45°，又∠EBG=∠HBG、∠HBG+∠HGB=∠EBG+∠HBG=45°，故只需證出∠HBG=∠EBF=∠HFB即可，這可由△HBG≌△HFB解決.于是第二種解法浮現于眼前：

圖5

另解：如圖5所示，連結BH.

教育心理學認為：“思維是從提出問題開始的.”因此，當一個問題得到解決并為學生充分理解后，學生獲得的信息沒有什么不確定性，這稱為飽和信息.此時，教師應抓住學生的思維轉折點，將原問題進行檢驗、拓寬或引申，從熟悉的問題中延伸出新問題，從而激活學生的思維、培養良好的數學素養.