隨機激勵下非線性振動系統(tǒng)特性的定性分析

孔憲仁，廖 俊，楊正賢，徐大富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150086）

0 引言

結(jié)構(gòu)在隨機振動試驗時，有時會超出線彈性范圍，此時線性模型已經(jīng)不能滿足需要，為正確地研究結(jié)構(gòu)特性，需要建立非線性模型。非線性動力學(xué)系統(tǒng)的辨識通常有3個步驟：一是識別非線性的存在；二是判別非線性的性質(zhì)；三是建立系統(tǒng)的非線性模型進行參數(shù)識別。目前判別非線性的存在已經(jīng)比較成熟，主要有幅值域、頻域、時域方法[1]。

定性研究包括系統(tǒng)非線性的定位、非線性類型、非線性方程幾種，本文集中研究非線性類型這部分。Feldmen 研究了時域中應(yīng)用Hilbert變換判別隨機激勵下系統(tǒng)非線性類型的方法[2]；Stasze 應(yīng)用小波變換、Franco 應(yīng)用Gabor 變換研究了系統(tǒng)非線性定性方法[3]；K.Worden[4]等研究了正弦激勵下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵量級變化而發(fā)生的變形，根據(jù)系統(tǒng)分別存在非線性阻尼和非線性剛度時變形的規(guī)律不同而由此判斷系統(tǒng)中非線性的類別，并給出了非線性定性分析的準(zhǔn)則。本文參考文獻[4]的準(zhǔn)則，旨在給出隨機激勵下，通過系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵量級的變化進行定性分析的方法，并將系統(tǒng)擴展到多自由度上。

本文對幾種帶有非線性因素的系統(tǒng)模型進行了近似求解，并分別畫出了它們的等效頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖，得到隨機激勵下系統(tǒng)頻響函數(shù)隨外激勵量級的變化規(guī)律，從而給出了適用于隨機激勵的，通過等效頻響函數(shù)隨激勵量級變化的趨勢來判別系統(tǒng)非線性特性的方法。

1 解李雅普諾夫方程求隨機響應(yīng)方差

對于線性時不變系統(tǒng)可以寫成方程[2]

式中：sx為狀態(tài)向量；w為輸入向量；z為輸出向量；A、B、C為響應(yīng)維數(shù)的常量矩陣；下標(biāo)s、w、z表示矩陣維數(shù)。

假設(shè)輸入為白噪聲，則輸入的功率譜矩陣為對稱正定的常量矩陣Wuu。狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣表示為

其中Xss為協(xié)方差矩陣。

容易證明式(2)滿足李雅普諾夫方程

其中W為激勵w的功率譜矩陣乘以2π得到的矩陣。

對ssA進行特征值分解，則得

式中：ssE為特征向量構(gòu)成的矩陣；ssΛ為特征值構(gòu)成的對角線矩陣。

經(jīng)過矩陣推導(dǎo)求得李雅普諾夫方程的解的矩陣形式為

式中：1矩陣為合適維數(shù)的矩陣元素全為1的矩陣；符號“./”表示矩陣之間對應(yīng)元素的相乘運算。

得到輸出z的均方根（RMS）值為

這樣僅通過式(5)和式(6)矩陣運算即可以求得所有響應(yīng)點均方根值（或方差）。

對于一般線性結(jié)構(gòu)的動力方程

可令

式中：Mnn、Cnn、Knn分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；I為n乘以n維的單位矩陣；Onn為元素為零的n乘以n維矩陣。

將式(8)代入式(5)、(6)即可很方便地得到隨機激勵作用下響應(yīng)的方差。采用適當(dāng)Czs矩陣可以獲得響應(yīng)的位移、應(yīng)力的方差值以及von mises屈服應(yīng)力等。令Czs=［InnOnn］，可以得到響應(yīng)位移的方差值。

上述過程也可以使用模態(tài)疊加方法進行縮減，再采用適當(dāng)?shù)腃zs將方差值從模態(tài)坐標(biāo)返回到原坐標(biāo)下。

將式(7)通過模態(tài)變換到模態(tài)坐標(biāo)下[3]，則得

其中Mmm、Zmm、Ωmm、Φnm分別為模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼比、固有頻率和模態(tài)的矩陣。經(jīng)過推導(dǎo)可以得到模態(tài)坐標(biāo)下的李雅普諾夫方程及其解法。

可令

當(dāng)Czs=［ΦnmOnm］，通過式(4)、(5)、(6)即可解出各自由度位移響應(yīng)的方差值。

2 等效線性化方法[1,5]

從非線性隨機振動工程分析的角度來看，如果非線性程度不是太強，不考慮分叉、跳躍等本質(zhì)非線性現(xiàn)象，則等效線性化法已經(jīng)取得了較大的進展，是相對有效且簡單可行的方法，是工程實際中最具有應(yīng)用潛質(zhì)的預(yù)測非線性系統(tǒng)隨機響應(yīng)的近似方法[6]。其基本思想為用有精確解的線性系統(tǒng)代替給定的非線性系統(tǒng)，并使兩方程之差在某種統(tǒng)計意義上最小。文獻[7]比較了以能量差為基礎(chǔ)以及以方程差為基礎(chǔ)的等效線性化方法計算的隨機振動響應(yīng)，認為以能量差為等效準(zhǔn)則的方法效果要好。

考慮具有隨機激勵的單自由度非線性系統(tǒng)，其動力學(xué)方程為

其中： (,)gxx˙為非線性項，m、c、k分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度。建立等效的線性化方程

其中ce、ke為等效的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)。以能量差最小為準(zhǔn)則可求得ce、ke分別為

以方程差為基礎(chǔ)的等效阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)可通過下式獲得[7]：

先設(shè)定ce、ke的一個初始值，求解式(11)得到x的某統(tǒng)計值，代入式(13)或(14)求得新的等效系數(shù)。經(jīng)過反復(fù)迭代后得到所求的值。一般將式(11)的等效系數(shù)的結(jié)果化成E(x?xT)的形式或其中的元素來表示，這正是式(2)得到的解，用它來參與迭代，效率和精度將得到很大的提高。只需通過式(8)或者式(10)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表示的運動方程，其協(xié)方差矩陣即可求得，并參與到等效線性化的迭代計算中，從而獲得穩(wěn)定的等效線性化的系數(shù)。本文采用能量差為準(zhǔn)則的等效線性化方法對系統(tǒng)進行處理。

3 幾種情況下的非線性特性研究

根據(jù)線性等效原理，等效頻響函數(shù)為

將幾種情況下的近似解分別代入式(15)即可得到存在于不同非線性特性系統(tǒng)的等效頻響函數(shù)。

3.1 單自由度情況

令m=1、c=5、k=100，功率譜S0分別為1、4、8、12，ε=1時為硬彈簧，ε=-1時為軟彈簧；則不同量級隨機激勵下的硬彈簧和軟彈簧的等效頻響函數(shù)圖與奈奎斯特圖如圖1～圖4所示。

由圖1～圖4可以看出，當(dāng)存在非線性剛度時，系統(tǒng)頻響函數(shù)隨著激勵量級增大而發(fā)生改變。當(dāng)K3＞0時，圖1中系統(tǒng)固有頻率隨激勵量級增加而增加，發(fā)生向上移頻現(xiàn)象；圖2中奈奎斯特圖向內(nèi)收縮，系統(tǒng)呈現(xiàn)典型的單自由度硬彈簧性質(zhì)[8]。由圖3、圖4可知，當(dāng)K3＜0時，圖3中系統(tǒng)固有頻率隨外加激勵量級增加而降低，發(fā)生向下移頻現(xiàn)象；圖4中奈奎斯特圖向外膨脹，呈現(xiàn)軟彈簧性質(zhì)。在隨機激勵試驗中，可應(yīng)用不同量級的頻響函數(shù)曲線與外激勵的變化規(guī)律定性地分析系統(tǒng)中存在的非線性類型，從而指導(dǎo)系統(tǒng)建模。

圖1 不同量級隨機激勵下硬彈簧等效線性化頻響函數(shù)圖(k3＞0)Fig.1 Linearized FRF of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＞0)

圖2 不同量級隨機激勵下硬彈簧等效奈奎斯特圖(k3＞0)Fig.2 Nyquist plot of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＞0)

圖3 不同量級隨機激勵下軟彈簧等效線性化頻響函數(shù)圖(k3＜0)Fig.3 Linearized FRF of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＜0)

圖4 不同量級隨機激勵下軟彈簧等效奈奎斯特圖(k3＜0)Fig.4 Nyquist plot of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＜0)

3.2 二自由度情況

圖5為一個二自由度的系統(tǒng)，兩個質(zhì)量塊之間存在非線性彈簧。

圖5 二自由度系統(tǒng)模型Fig.5 A 2 DOF model

3.2.1 非線性硬彈簧在兩質(zhì)量塊之間非線性硬彈簧的動力學(xué)方程為

式中：

其中m=1，k=3 000，k3=2×108，c=20。激勵功率譜S1=S2，分別為1、1.5、2、2.5。該系統(tǒng)經(jīng)過變量替換可變換成一個線性單自由度系統(tǒng)和一個帶非線性硬剛度單自由度系統(tǒng)的疊加[4]，這在系統(tǒng)頻響函數(shù)中得到體現(xiàn)，見圖6、圖7。

圖6 不同量級二自由度H11等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.6 Linearized FRF of H11 for a 2 DOF system under different levels of random excitation

圖7 不同量級二自由度頻響函數(shù)H11等效奈奎斯特圖(k3＞0)Fig.7 Nyquist plot of H11for the 2 DOF system under different levels of random excitation (k3＞0)

圖6顯示，隨著激勵量級的增加，頻響函數(shù)在第一等效共振頻率處未發(fā)生頻率漂移，在第二等效共振頻率處頻率向上漂移；圖7顯示，隨著隨機激勵量級增大，奈奎斯特圖的小圓出現(xiàn)明顯向內(nèi)收縮。這說明在第二階模態(tài)上存在硬彈簧的非線性特征。這也證明了該方法對于非線性特性分析的正確性。對于其他3個頻響函數(shù)也有類似特征，限于篇幅不予詳述。

3.2.2 非線性硬彈簧與地面相連

將圖 5中非線性的彈簧與連接地面和質(zhì)量塊的彈簧進行互換，其運動方程形式見式(16)。此時的系統(tǒng)兩個自由度的運動方程都包含了非線性。限于篇幅只取了4個頻響函數(shù)中的H11和H12進行分析計算，其他情況也可采用類似方法進行分析。式(16)中各常量的定義分別為

其中m=1，k=3 000，k3=2×108，c=20。激勵功率譜S1=S2，分別為 1、2、4、8。

分析計算結(jié)果見圖8～圖11，其中：圖8、圖9分別為頻響函數(shù)H11的幅值圖和奈奎斯特圖；圖10、圖11分別為頻響函數(shù)H12的幅值圖和奈奎斯特圖。

圖8 不同量級二自由度H11等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.8 Linearized FRF of H11 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖 9 不同量級二自由度頻響函數(shù)H11等效奈奎斯特圖Fig.9 Nyquist plot of H11 for 2 DOFs system under different levels of random excitation

圖10 不同量級二自由度H12等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.10 Linearized FRF of H12 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖11 不同量級二自由度頻響函數(shù)H12等效奈奎斯特圖Fig.11 Nyquist plot of H12 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖8和圖10顯示，在兩個自由度上，隨著激勵量級的增大，都有固有頻率向上移動，這與硬彈簧的特性相同；隨著激勵量級的增大，圖9中的小圓是向外擴張的，圖11中的兩個圓都有向外擴張的現(xiàn)象，這是單自由度情況下軟彈簧的特點。可見，多自由度因為存在模態(tài)之間的能量傳遞，使得其非線性特性有了自身的特點，不能簡單用單自由度的方法來分析。

4 結(jié)論

本文采用隨機激勵源，應(yīng)用求解李雅普諾夫方程與等效線性化法對非線性特性進行了定性的研究。分別對單自由度與二自由度振動系統(tǒng)在隨機激勵下的非線性特性進行了分析，并給出了等效頻響函數(shù)及奈奎斯特圖隨激勵量級變化的規(guī)律，根據(jù)變化規(guī)律的不同給出隨機激勵下系統(tǒng)非線性定性研究的方法，對非線性動力學(xué)系統(tǒng)的定性研究及建模有一定的工程應(yīng)用價值。

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