α穩定分布噪聲條件下TVAR模型參數估計

邱 天爽, 栗 娜, 里紅杰,2

(1.大連理工大學電子信息與電氣工程學部,遼寧大連 116024;

2.大連工業大學信息科學與工程學院,遼寧大連 116034)

0 引 言

實際中的隨機信號許多是非平穩非高斯的,長期以來囿于理論的發展,只好將其簡化為平穩高斯隨機問題,其結果當然令人不甚滿意.許多隨機信號或噪聲往往具有顯著的尖峰脈沖特性,使得其統計特性顯著偏離高斯分布,其概率密度函數的衰減過程比高斯分布要慢,從而造成了顯著的拖尾.通常用α穩定分布模型來描述這類具有顯著尖峰脈沖狀波形和較厚概率密度函數拖尾的隨機信號,α越小拖尾越厚,脈沖性越強.由于α穩定分布信號不存在有限的二階和二階以上矩,在高斯條件下基于二階矩理論的信號處理算法在α穩定分布條件下性能退化[1].因此需要根據信號噪聲的特點研究出新的信號處理方法.例如在實際應用中,對于信號中突發性的野值干擾,當采用范數為2的最小均方誤差準則時,平方的作用放大了野值的影響,從而使對系統的自回歸(AR)估計產生嚴重影響.如果選用較小的范數,則會對較大誤差有一定的抑制作用,從而使估計結果的穩健性更好.

本文主要結合非平穩信號的 TVAR模型描述以及α穩定分布條件下信號處理的最小p范數(LPN)方法,給出一種估計非平穩信號TVAR模型時變參數的最小p范數方法.

1 非平穩隨機信號的時變AR模型

時變參數模型法是近年來應用于非平穩隨機信號分析與處理的一種新方法.這種方法通常用具有時變參數的AR模型和自回歸滑動平均(ARMA)模型來表征非平穩隨機信號,將時變參數假設為一組基時間函數的線性組合.由于任何MA和ARMA模型都可以用無窮階的AR模型來表示,并且AR模型計算比較簡單,信號處理中常用AR模型來表征信號.時變參數模型法的優點在于將一個線性非平穩問題轉化為一個線性時不變問題,而且與假設在一段時間間隔上信號是平穩的參數估計方法相比,時變參數模型法可以進一步提高參數估計的精確度[2].

設零均值、N階時變參數自回歸(TVAR)模型[3 、4]為

式中:en為平穩白噪聲過程,假設時變參數{ai(n),i=1,…,N}是一組基時間函數的線性組合,

式中{gj(n),j=0,…,m}是一組基時間函數,m稱為基的程度.

由以上可以看出:N個時變參數被一組定常參數{aij}所代替,這種方法也可以稱為坐標方法.當參數被看成是以{gj(n),j=0,…,m}為基的一個時間函數時,它是由xn的軌跡坐標構成的.這樣就將一個標量過程替換成向量過程,從而把一個線性非平穩問題轉化為一個線性時不變問題.

2 TVAR模型的最小p范數估計

2.1 AR SαS 過程

通常認為AR、MA、ARMA過程的激勵en是獨立同分布(i.i.d.)的高斯過程,這種假設在許多情況下是合理的.但是,在某些場合,高斯激勵的線性模型就不再適用,比如水文數據、氣象數據以及具有很大的瞬時尖峰脈沖的數據,包括股票市場價格、電話信號和一些生物醫學信號等.這類尖峰脈沖信號的分布比高斯分布有更厚的拖尾,而且具有無限方差.這時,原有的基于二階統計量的分析方法不再適用,需要新的不受有限方差限制的參數模型方法[5].

最常用的具有無窮方差的線性模型是自回歸(AR)SαS過程,一個ARSαS過程xn可表示為

這里en是一個特征指數為α,分散系數為 γ的i.i.d.的SαS分布過程.

2.2 TVAR模型時變參數的最小p范數估計方法

對于穩定過程的線性估計問題,由于沒有有限方差,最小均方誤差(MMSE)準則不再適用,但是MMSE準則的概念可以推廣到穩定分布過程.特別地,最小分散系數(MD)準則可以用于討論穩定過程的線性理論.在MD準則下,一個SαS隨機變量在觀測線性空間的最佳估計是使估計誤差的分散系數最小.一個穩定隨機變量的分散系數具有和方差同樣的地位和作用.分散系數越大,遠離中值的穩定隨機變量的樣本越多.因此,通過分散系數的最小化,可以使估計誤差的平均幅度達到最小[6].

設一個非平穩ARSαS過程為

式中:en為特征指數為α、分散系數為γ的i.i.d.的SαS分布過程 .令

則式(4)可以寫成如下形式:

要估計TVAR模型的時變參數,目標就是使式(6)最小化:

其中s(n)是期望信號.對式(6)相對于系數矢量a的每個元素求偏導,并令其為0,得到

定義殘留矢量為r,其中第n個元素

這樣,式(7)可簡化為

由于sgn(rn)=rn/|rn|,式(8)等價于

式(9)等號兩邊同除以p,可以消去p.同時定義一個加權對角陣

用矩陣形式來表達式(9),有

這里

求解式(10)得

該式是加權最小二乘問題.然而,這里a是W的函數,而W又是a的殘留函數.因此,這個公式沒有解析解,其迭代解法如下:

這里,a(k)是TVAR模型第k步迭代的參數矢量,‖·‖(p)表示lp范數.

3 仿真實驗

為了研究上述算法的性能,對一 TVAR(2)模型的時變參數進行了估計,并對用本文中最小p范數(LPN)方法得到的估計結果與用傳統遞推最小二乘[7](RLS)法得到的估計結果進行了比較.

常用的基時間函數有很多種,本文采用傅里葉基時間函數,形式如下:

其中j=0,1,…,m,m越大,模型描述非平穩信號特性越準確,但運算量也隨之顯著增加,綜合考慮這兩點因素,本實驗中基的程度取m=2.

實驗中要討論的二階時變AR過程如圖1所示,可以用式(12)表示:

其中a1(n)=0.1+0.5sin ωk+0.7cos 2ωk,a2(n)=-0.3-0.7sin ωk-0.2cos 2ωk,當en是i.i.d.高斯時間序列時信號xn如圖1所示,當en是i.i.d.SαS時間序列時xn如圖2所示.

從圖中可以看出,圖2所示的SαS過程不同于圖1所示的高斯隨機過程,信號中存在較大的尖峰脈沖.對圖2所示信號的α參數進行估計,得到α=1.03.

圖1 二階TVAR高斯過程Fig.1 Second-order Gaussian process with TVAR model

圖2 二階 TVAR SαS過程Fig.2 Second-order SαS processw ith TVARmodel

圖3 高斯噪聲條件下LPN估計結果Fig.3 Estimation using LPN algorithm underGaussian noise conditions

圖4 高斯噪聲條件下RLS估計結果Fig.4 Estimation using RLS algorithm under Gaussian noise conditions

分別用最小p范數(LPN)方法與遞推最小二乘(RLS)法對圖1和2所示信號進行TVAR模型參數估計,在高斯條件下即對圖1所示信號估計得到的結果如圖3和4所示,在α穩定分布條件下即對圖2所示信號估計得到的結果如圖5和6所示.從圖中可以看出,在高斯條件下,兩種方法都可以得到比較準確的估計結果.在α穩定分布情況下,本文的LPN方法可以得到比較準確的TVAR模型的時變參數;而RLS方法得到的估計結果存在較大誤差,基本不能給出模型參數隨時間的變化情況.兩種方法在兩種條件下的誤差情況如表1和2所示,其中誤差均值和誤差功率計算公式如式(13)、(14).實驗結果說明,在高斯條件下適用的RLS算法在α穩定分布條件下性能退化;而LPN算法既適用于高斯條件又適用于α穩定分布條件,比RLS算法具有更廣泛的適用性.

其中εi(i=1,2,…,N)為各時刻的估計誤差.

圖5 α穩定分布噪聲條件下LPN估計結果Fig.5 Estimation using LPN algorithm under α-stable distribution noise conditions

圖6 α穩定分布噪聲條件下RLS估計結果Fig.6 Estimation using RLS algorithm under α-stab le distribution noise conditions

表1 高斯噪聲條件下LPN方法與RLS方法結果誤差比較Tab.1 Error comparison of LPN algorithm and RLS a lgorithm under Gaussian noise conditions

表2 α穩定分布噪聲條件下 LPN方法與RLS方法結果誤差比較Tab.2 Error com parison of LPN algorithm and RLS algorithm underα-stable distribution noise conditions

4 結 語

非高斯與非平穩信號處理是當前信號處理的研究熱點,實際中很多信號都具有非高斯和非平穩特性,所以將這兩個問題結合起來研究具有很重要的理論意義和實際價值.本文給出了一種用最小p范數法對非平穩信號TVAR模型時變參數進行估計的方法,這種方法既適用于高斯條件下非平穩信號TVAR模型的參數估計,又適用于非高斯α穩定分布條件下非平穩信號的參數估計,改善了傳統的RLS方法僅適用于高斯條件的情況,較RLS方法具有更好的韌性.

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