區間不確定多目標優化算法在薄板沖壓成形中的應用研究

李方義 李光耀 李洪周 崔付剛

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

板料沖壓成形是現代產品制造業中一種十分重要的金屬板成形技術,廣泛應用于航空、航天、汽車、船舶等諸多領域。傳統多目標優化方法廣泛應用在板料沖壓成形設計中,劉偉[1]建立了板料成形工藝與模具多目標優化設計模型,以改善板料的破裂、起皺、塑性變形量不足、厚向變形不均勻以及形狀不良等缺陷為目標,實現車身覆蓋件的沖壓工藝多目標優化。劉桂萍等[2]提出一種高效的薄板沖壓成形變壓邊力多目標優化方法,該方法以減少沖壓件的成形缺陷為優化目標,以變壓邊力曲線的特征參數為優化變量。孫光永等[3]在模具的參數化模型基礎上,將試驗設計、代表實際沖壓過程精度較高的近似模型以及多目標粒子群優化算法相結合,獲得了一組最小化起皺和拉裂缺陷的非劣解,從而提高了板料的成形性能。上述基于沖壓成形的優化設計,優化模型中材料屬性及各加工參數都有一具體的值。

然而,在實際的覆蓋件沖壓成形過程中,一些參數往往無法給定精確的數值。摩擦潤滑狀態、模具幾何尺寸、材料特性等,都具有一定的波動,都存在不確定性。一些學者研究了沖壓成形的不確定多目標優化設計。Shivpuri等[4]基于空間離散多種摩擦分布于沖壓模具上,研究了減少起皺和減薄的穩健性多目標優化設計。Zhang等[5]研究了針對起皺和拉裂缺陷的鋁板成形概率設計。以上方法都是基于概率設計的多目標優化設計,實際中確定精確的概率密度函數較為困難。

區間數優化是一類較新的不確定優化方法,它利用區間描述變量的不確定性,較為容易定義不確定參數的范圍。Jiang等[6]研究了U形件變壓邊力的區間不確定優化問題,將摩擦因數處理為區間不確定參數,但其研究的只是單目標優化問題,且為簡單的2維U形件。而實際復雜沖壓成形問題常常涉及多目標優化問題,因而,區間不確定多目標優化算法在沖壓成形中的應用研究顯得很有必要。

本文基于非線性區間數規劃方法,對沖壓成形的不確定多目標優化問題進行了研究。

1 問題描述

在本文中,工程實例研究的對象是某部件高強度鋼沖壓優化過程,該部件的幾何模型如圖1所示。

圖1 某沖壓零部件

1.1 設計變量的選取

決定板料成形質量的因素包括材料類因素、工藝類因素、模具類因素[1]等。但實際的生產中,設備對板料成形質量的影響通常是固定的,當沖壓材料和模具的工作型面確定后,成形件的質量主要取決于工藝參數的選擇,因此對板料成形工藝參數進行優化設計對提高產品的質量具有重要意義。工藝參數以壓邊力和拉深筋阻力的設置最為重要,同時也最難以合理確定。本文選擇壓邊力和拉延筋阻力作為設計變量。

1.2 目標函數的選取

在薄板成形優化研究中,為提高成形質量,有效合理構造出能準確量化板料成形質量好壞的目標函數是優化成敗的關鍵。沖壓成形中可能出現各種成形缺陷,其中最常見的是破裂、起皺、厚度不均、成形不足以及回彈[7]等。目標函數反映了在給定設計變量下的板料成形性,因此,可以通過優化設計變量達到使目標函數值最優的目的,即使板料的成形性達到最好。

本研究主要考慮與板料成形相關的破裂和起皺缺陷,因此在某一部件沖壓成形優化過程中采用的目標函數是最小化起皺和厚度不均。

1.2.1 起皺

本文用于判斷起皺的標準是基于Kim[8]提出的起皺極限曲線FLD(圖2),該曲線與純剪切應變狀態的曲線類似,其表達式為

根據式(1)定義安全起皺極限曲線如下：

式中,θ為起皺安全裕度。

基于圖2的成形極限圖,定義起皺函數為

圖2 FLD成形極限示意圖

1.2.2 厚度不均

均勻的厚向變形對成形質量的提高十分有利[1],而對于復雜形狀的沖壓件,不同部位的厚向變形表現出極度的不均勻性。定義

式中,t0、ti分別為初始板料厚度和最終板料厚度。

th值越大則發生厚向不均勻的趨勢越大。

沖壓成形中,材料常數、摩擦因數等參數具有不確定性。文獻[5]表明摩擦因數對沖壓成形有重大影響,故本文選擇摩擦因數作為不確定參數,可建立如下沖壓成形的不確定多目標優化問題：

式中,FDB為拉延筋阻力;FBH為壓邊力;μ為摩擦因數,用區間描述。

式中對于任一個設計矢量x,μ的取值為一區間,而不是一個實數,故用傳統的優化方法無法求解此問題,下文將使用非線性區間數規劃來求解以上問題。

2 非線性區間數值規劃

在區間規劃中,區間數序關系表示一個區間優于另外一個區間,以用于區間數的排序。對于區間數A和B,文獻[9-12]定義A≤mw B的區間關系中,給出一個處理最小化問題的區間數序關系定義：

式(6)中,m表示區間中點,w表示區間半徑。用區間序關系“≤mw”比較式(1)中的目標函數,我們希望目標函數具有最小的中點值和半徑,故式(1)可轉化為如下的確定多目標優化問題：

對于任一設計矢量x,目標函數的上下界由下式獲得：

式(8)中,目標函數中點值類似于優化不確定性目標函數的平均值,目標函數半徑值類似于優化目標函數的偏差。通過目標函數半徑值的優化,可降低目標函數對不確定性因素的敏感性,從而保證設計的魯棒性。

利用線性加權法,多目標中的每個函數可轉化成如下優化問題：

式(10)中,β為權重系數,如果對每次迭代步的x都用優化過程來求取目標函數的上下邊界,那么勢必會造成優化的嵌套。由于每次嵌套優化都大量調用該模型,優化過程會變得很耗時,而且不可接受。

3 基于近似模型的薄板沖壓成形不確定多目標優化

優化設計過程需要反復地執行有限元分析,對于具有多變量、多目標以及非線性等特點的沖壓過程,有限元分析耗費的時間較長,特別是對于大型復雜形狀的沖壓件的模擬,所需時間更長,這將會大大降低優化效率,根本無法滿足復雜沖壓件成形優化設計的需要。因此,在優化時采用近似模型替代費時的有限元模型,可大大提高優化效率。本文采用Kriging方法來構建近似模型。

3.1 Kriging近似模型

Kriging模型源自統計理論,包含了線性回歸部分和隨機部分,形式如下[13]：

?y(x)是待擬合的響應函數,其中,f(x)是確定性部分,是對設計空間的全局近似,Z(x)為一隨機函數,一般服從正態分布 N(0,σ2),樣本空間的變量同分布但不獨立,兩樣本x p、x q的協方差如下式所示：

式中,R為相關矩陣。

試驗設計的主要作用是為了減少試驗次數、提高試驗精度,使研究人員從試驗結果中獲得無偏的處理效應及試驗誤差的估計,從而來對各個試驗進行正確而有效的比較。本文選用拉丁方[14]作為試驗設計方法。該方法可以在抽取較少樣本的情況下,獲得較高的計算精度,具有效率高、自由度高等特點。

3.2 優化設計

基于Kriging近似模型,薄板沖壓成形不確定多目標優化問題可轉化為如下近似優化問題：

式中,th(x,μ)、wr(x,μ)為通過Kriging近似模型組建目標函數的近似模型;?fd1、?fd2分別為目標函數1和2的近似評價函數。

圖3 求解流程圖

該算法的求解流程如圖3所示。首先采用有限元方法建立沖壓仿真模型,主要包括：建立板料和模具的單元幾何模型、采用有限元建立沖壓分析模型、設定模具與板料的定位與間隙、設定模具的運動曲線和作用曲線、給定材料性能等參數。然后確定設計變量、不確定量、目標函數等,根據設計變量和不確定量范圍,采用拉丁方在設計空間和不確定域采樣,建立目標函數和約束函數的Kriging近似模型。沖壓成形的設計變量通過NSGA-Ⅱ[15-16]遺傳算法產生,針對迭代步中的x,在不確定域內利用序列二次規劃算法計算該近似目標函數的上下界。從而可求得目標函數的中點值和半徑值。在式(13)的基礎上,計算近似評價目標函數值,并作為適應度值傳給NSGA-Ⅱ。如此循環直到達到最大收斂代數為止,從而取得Pareto解集。

4 數值算例及其討論

4.1 數值算例

圖1的沖壓成形優化問題可描述為

式(14)中,拉延筋的位置如圖4所示,μ1為板料與凸模的摩擦因數,μ2為板料與壓邊圈的摩擦因數。

圖4 等效拉延筋的位置布置

有限元模型如圖5所示,該模型凸模的單元數為3216個,凹模的單元數為3881個,壓邊圈單元數為665個,板料采用沿板厚方向有7個積分點的Belytschko-Tsay殼單元,共分為7632個單元。應用Barlat-Lian屈服準則來描述板料的各向異性。彈性模量 E=207GPa,泊松比 ν=0.3,初始板厚t0=1.5mm,厚向各向異性系數r=1.02,硬化指數為 0.1435,強化系數為1369,沖頭行程為110.8mm。模擬計算采用有限元分析軟件LS-DYNA。

4.2 結果及其討論

優化參數設定如下：設定種群大小為50,交叉概率為0.9,終止代數為200,β=0.5。拉丁方采樣次數為50次,Kriging近似模型確定部分采用常數項。

圖5 有限元模型

由圖6可以看出,所得的Pareto最優解分布均勻,厚度不均勻評價函數 fd1在5.48～7.64范圍內,起皺評價函數 f d2在1.47～1.87之間。

圖6 基于Kriging近似模型取獲得的Pareto最優解集

表1列出了從Pareto最優解集中均勻選擇的9個解。工程人員可根據經驗或對成形質量的不同要求從該Pareto最優解集中選擇不同的解作為最優解。

表1 部分Pareto最優解

表2為選擇表1中第5個Pareto解集點近似解與真實解的對比情況,從中可以看出取得的解精度較高。圖7所示為采用其中的第5個解時沖壓件的成形極限圖。圖8為產品成形后的形狀。

表2 第5個Pareto解與真實解的對比

圖7 采用第5個解時沖壓件的成形極限圖

圖8 成形后零件照片

5 結論

本文提出了薄板沖壓成形區間不確定多目標優化方法。該方法以減少起皺、厚度不均等成形缺陷為目標,將摩擦因數作為不確定參數,采用區間描述,并通過區間序關系來處理目標函數。用Kriging近似模型代替有限元模型以提高優化效率,采用混合的多目標遺傳算法作為優化求解器獲得Pareto解集,因而可以使設計結果在多目標之間任意權衡,保證了覆蓋件的整體成形性最優。最后給出了某零件沖壓成形模型優化實例,優化結果表明了該方法不僅能快速且有效地解決優化控制問題,同時還能為工程人員提供多種方案,以滿足不同的產品要求。

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