微位移機(jī)構(gòu)中變截面柔性鉸鏈等效剛度的求解方法研究

劉慶玲 翁海珊 邱麗芳

1.北京科技大學(xué),北京,100083 2.廊坊師范學(xué)院,廊坊,065000

0 引言

柔性機(jī)構(gòu)利用柔性鉸鏈的彈性變形實(shí)現(xiàn)運(yùn)動的傳遞,具有無摩擦、無間隙、運(yùn)動靈敏度高的特點(diǎn),在微機(jī)電、航空航天、機(jī)器人等眾多領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。對柔性機(jī)構(gòu)變形特性的分析,目前大多采用以下方法：基于鉸鏈柔度的計算方法[2],但分析過程復(fù)雜且計算量大;偽剛體模型法,偽剛體模型中柔性鉸鏈等效剛度k的確定是一個關(guān)鍵問題[3]。柔性機(jī)構(gòu)中廣泛應(yīng)用的直梁形形[4]、導(dǎo)角形[5]、橢圓形等各種變截面柔性鉸鏈以其各自的優(yōu)勢在柔性機(jī)構(gòu)中也獲得了廣泛的應(yīng)用[6]。由于鉸鏈厚度的變化,采用最小厚度或平均厚度近似計算[7]其等效剛度,無疑會導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生。因此,合理確定變截面柔性鉸鏈的等效剛度k是十分必要的。本文對此作了分析,給出了兩種求解方法,并將其應(yīng)用于微位移放大機(jī)構(gòu)的分析中。

1 變截面柔性鉸鏈等效剛度的確定

任意變截面柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)示意圖及符號意義如圖1所示。鉸鏈的最小厚度、兩端的厚度即鉸鏈的最大厚度分別用t、h表示。

圖1 帶有變截面柔性鉸鏈的柔性構(gòu)件結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 修正系數(shù)法

由于柔性鉸鏈的厚度連續(xù)變化,本文提出了等效厚度的概念,記為h,以此來計算變截面柔性鉸鏈的等效剛度。為此,作如下定義：

(2)定義變截面柔性鉸鏈的等效厚度h,且約定h=μh,其中h 為變截面柔性鉸鏈的平均厚度;μ為修正系數(shù),取決于柔性鉸鏈本身的結(jié)構(gòu)特性。

以圓弧型變截面柔性鉸鏈為例,材料選用鈹青銅,彈性模量E=126GPa,其最小厚度t分別取0.4mm、0.5mm、0.6mm 、0.8mm;改變鉸鏈的最大厚度 h,使其滿足h/t=2,3,…,12;鉸鏈長l=8mm;桿件參數(shù)：H=10mm,L=60mm;柔性構(gòu)件寬度b=20mm。采用如下方法獲得一系列相應(yīng)的修正系數(shù)μ。

(1)采用有限元分析法分析柔性構(gòu)件的變形,其有限元模型如圖2所示。在柔性構(gòu)件末端施加不同載荷,得到柔性構(gòu)件末端角變形的大小,借助偽剛體模型法的相關(guān)理論,反推求得一個對應(yīng)的鉸鏈厚度值h。

圖2 柔性構(gòu)件的有限元模型(t=0.5mm,h=5mm)

(2)計算變截面柔性鉸鏈的平均厚度h：

通過h與h 之比,得出修正系數(shù) μ值,經(jīng)過多組實(shí)例的計算,取其平均值,得到修正系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值,列于表1。

表1 修正系數(shù)μ的經(jīng)驗(yàn)值

對于表1中的數(shù)據(jù),以αh為自變量,對其進(jìn)行曲線擬合,結(jié)果如下：

利用上述方法,得到一系列修正系數(shù)μ,對變截面柔性鉸鏈的平均厚度h 進(jìn)行修正,得到變截面柔性鉸鏈的等效厚度h,以此計算鉸鏈的等效剛度k,即

1.2 變截面法

對于圖1所示的任意變截面柔性鉸鏈,充分考慮其截面的變化,依據(jù)材料力學(xué)中梁的基本變形方程,采用積分的方法求得等效剛度。取距固定端距離為x的任意截面A,設(shè)該處鉸鏈的厚度為h(x),對該截面A進(jìn)行受力分析,可得截面處的力矩為

根據(jù)材料力學(xué)中梁的基本變形方程：

考慮小變形,將式(4)代入式(5),可求得柔性鉸鏈的角變形θ為

由偽剛體理論,有

將式(7)代入式(8),可得

考慮小變形,cosθ≈1,可得

利用上述方法,確定了變截面柔性鉸鏈的厚度表達(dá)式h(x),即可由式(9)求得不同類型、不同結(jié)構(gòu)尺寸的變截面柔性鉸鏈的等效剛度k。

1.3 兩種方法的對比

帶有圓弧型柔性鉸鏈的柔性構(gòu)件,給定幾何參數(shù)如下：l=8mm,h=3mm,H=10mm,L=60mm,寬度b=20mm,鉸鏈最小厚度t分別取0.4mm 、0.5mm、0.6mm,設(shè)變截面柔性鉸鏈對應(yīng)的等效剛度k分別為k 1、k2、k3,采用兩種方法進(jìn)行求解。

(1)修正系數(shù)法。給出的3個變截面柔性鉸鏈,其特征厚度比分別為：αh1=7.5;αh2=6,αh3=5,由表1結(jié)合式(3)求得的各修正系數(shù)μ分別為0.5422、0.6048、0.6607。用式(2)求得平均厚度,對其進(jìn)行修正。由式(4)求得的k值分別為：k1=7.0289,k2=12.3564,k3=19.7756。

(2)變截面法。將各變截面柔性鉸鏈的參數(shù)分別代入式(9),得到k1=6.981,k2=12.0344,k3=19.2791。

由計算結(jié)果可以看出,兩種方法的結(jié)果基本一致。但是比較而言,修正系數(shù)法中的μ值隨變截面柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)、尺寸的變化而變化,需要通過大量算例反推而求得,該方法繁瑣且耗時,不具有通用性,且計算精度不高;而變截面法直接利用鉸鏈的幾何特征,計算過程簡單,精度高,具有一定的通用性。

2 變截面法在微位移機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用

柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)如圖3所示,8個圓弧形柔性鉸鏈大小相同,對稱設(shè)計,下端固定。在機(jī)構(gòu)兩側(cè) A、B處對稱施加水平方向的載荷,通過兩側(cè)收縮(或擴(kuò)張)產(chǎn)生輸入位移,利用柔性鉸鏈的彎曲變形,獲得與輸入方向垂直的輸出位移,以及機(jī)構(gòu)的放大比。該機(jī)構(gòu)材料為單晶硅,彈性模量為 169GPa,整個機(jī)構(gòu)的寬度為75μm,該機(jī)構(gòu)雙向?qū)ΨQ,相關(guān)幾何尺寸如圖3所示。下面分析該機(jī)構(gòu)在不同載荷作用下的輸入、輸出位移及其放大比。

圖3 柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)示意圖

2.1 變截面法理論計算

將圖3中相關(guān)幾何尺寸代入式(9),求得的各柔性鉸鏈等效剛度均為4.1033×10-5,在此基礎(chǔ)上,依據(jù)偽剛體理論,對該柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析,求得該機(jī)構(gòu)在水平載荷作用下的輸入位移、輸出位移及其放大比。求解結(jié)果如表2所示。

表2 柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)理論計算與有限元分析的結(jié)果對比及相對誤差

2.2 有限元法仿真分析

在ANSYS環(huán)境下,選取Solid45單元類型,建立相同結(jié)構(gòu)尺寸的柔性微位移放大機(jī)構(gòu)的有限元模型,如圖4所示。對機(jī)構(gòu)底部施加約束,在其兩側(cè)的中部對稱施加水平載荷,分析機(jī)構(gòu)在不同載荷作用下的輸入、輸出位移,進(jìn)而求得放大比。有限元的分析結(jié)果列于表2。

圖4 柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)的有限元模型

2.3 結(jié)果對比分析

由表2數(shù)據(jù)可明顯看出,采用變截面法計算柔性鉸鏈的等效剛度,進(jìn)而求得微位移機(jī)構(gòu)的輸入、輸出位移以及放大比,所得結(jié)果與有限元法的分析結(jié)果基本一致,其輸入位移、輸出位移的相對誤差均在2%左右。引起誤差的主要原因有：機(jī)構(gòu)在進(jìn)行簡化過程中會產(chǎn)生一定誤差,桿并非理想剛性桿,存在一定變形;在計算機(jī)仿真時,由于角變形很小,利用弦長代替弧長計算,也是造成誤差的一個原因。

3 結(jié)論

針對變截面柔性鉸鏈等效剛度k值的計算進(jìn)行了研究,給出了兩種求解方法：修正系數(shù)法與變截面法。比較而言,變截面法具有通用性,而且計算簡便。采用變截面方法計算了柔性鉸鏈八桿微位移放大機(jī)構(gòu)中圓弧型柔性鉸鏈的等效剛度k,在此基礎(chǔ)上,依據(jù)偽剛體理論分析了該微位移機(jī)構(gòu)的變形,將求解結(jié)果與有限元法的分析結(jié)果相對比,二者具有較好的一致性,驗(yàn)證了k值計算的正確性。

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