未知傳遞函數情況下主動電磁懸浮系統支承特性在線測量

蔣科堅 祝長生

浙江大學,杭州,310027

0 引言

以主動電磁軸承為代表的電磁懸浮系統,其魅力不僅在于它是一種無摩擦的支承裝置,更重要的是其動力特性可通過控制策略進行在線調節優化。前者決定了主動電磁懸浮能夠應用在高速場合;后者使得可以通過控制策略的設計,優化主動電磁懸浮在不同頻段的支承特性,調節支承剛度和阻尼,實現對振動的主動控制。

主動電磁懸浮系統的支承特性研究大多是以等效剛度和等效阻尼為基礎展開的。但是,電磁懸浮系統支承的等效剛度和阻尼不僅與結構尺寸有關,而且還受到其控制器所采用的控制策略的影響。只有在已知控制系統傳遞函數的前提下,才可能對支承的等效剛度和阻尼進行理論計算。但是,目前在電磁懸浮系統中各種新型的智能控制策略都得到了成功的應用,這些控制策略大都無法歸結出相應的傳遞函數,造成無法通過理論計算獲知系統支承的等效剛度和阻尼,從而難以深入地研究主動電磁懸浮系統的動力特性。因此,在未知系統傳遞函數的情況下,如何確定支承的等效剛度和阻尼是主動電磁懸浮系統動力學研究中必須解決的一個關鍵問題。

早在1980年,Haberman[1]就對電磁軸承的剛度作了研究,并提出了“浴盆”形復剛度曲線。此后,多數研究者均以此為基礎分析主動電磁軸承系統的動力特性。Humphris等[2]以主動電磁軸承系統的傳遞函數推導出了電磁軸承的等效剛度和阻尼的計算公式。在國內,汪希平[3]、曹潔[4]較早地對主動電磁軸承的等效剛度和阻尼特性進行了理論分析。趙雷等[5]分析了控制環節各參數對主動電磁軸承的剛度特性的影響。胡業發等[6]基于電磁力分析了電磁軸承的剛度和阻尼特性。吳華春等[7]就濾波、滯后、衰減等因素對電磁軸承剛度的影響進行了分析。楊作興等[8]提出了對主動電磁軸承復剛度的測試方法,但沒有涉及在電磁軸承轉子動力學研究中使用更多的等效剛度和阻尼的測試。目前文獻對等效剛度和阻尼的分析研究大多是在已知傳遞函數的前提下進行的。

本文首先分析了主動電磁懸浮系統支承的等效剛度和阻尼的理論計算方法,然后提出一種不依賴系統傳遞函數的等效剛度和阻尼的在線測試方法,并進行了實驗,取得了與理論分析十分相近的結果。

1 等效剛度和等效阻尼的理論表達式

主動電磁懸浮系統不管是采用什么樣的控制策略,最終表現出來的支承特性可以用支承的剛度和阻尼來表示。對于一個單自由度的質量-彈簧-阻尼系統,系統的運動方程為

式中,F為物體所受到的外激勵力;m為質量;k、c分別為系統的剛度和阻尼系數。

將式(1)進行拉普拉斯變換,可得其頻率特性方程為

同樣考慮一個單自由度的主動電磁懸浮系統,如果不考慮其他外阻尼的影響,在線性條件下其運動方程為

式中,fAMB為主動電磁懸浮系統產生的電磁力;kx、ki分別為系統的位移剛度和電流剛度系數;i為控制電流。

如果將控制電流與懸浮位移之間的關系表示為傳遞函數的形式,即 I(s)=G(s)X(s)。G(s)為主動電磁懸浮控制系統整體的傳遞函數,一般是位移傳感器、輸入AD、控制器算法、輸出DA、功率放大器等各個控制環節傳遞函數的總和。將此式代入式(3)并經拉普拉斯變換,其頻率特性方程形式為

比較式(2)、式(4),容易得出電磁懸浮系統相對于質量-彈簧-阻尼系統的等效剛度K e和等效阻尼C e的表達式：

式中,Re(G(jω))、Im(G(jω))分別為控制系統傳遞函數G(s)的實部和虛部。

顯然,如果已知控制系統傳遞函數G(s)的表達式,那么就能夠容易地對主動電磁懸浮系統的等效剛度K e和阻尼C e進行理論計算。但事實上由于許多控制系統無法歸結出一個傳遞函數表達式,因此就難以對其等效剛度和阻尼特性進行理論分析。為此,本文提出一種不依賴系統傳遞函數的等效剛度和阻尼的在線測定方法。

2 等效剛度和等效阻尼在線測量

圖1所示為無外阻尼的單自由度主動電磁懸浮控制結構圖。F(t)為外激勵力,X(t)為轉子相應的位移響應。為討論方便,設參考信號R=0。根據模型等效原則,圖1可簡化為圖2所示的等效結構。

圖2 電磁懸浮控制結構簡化

由式(4)、式(5)可知,求解電磁懸浮系統的等效剛度和阻尼值,實質上就是求解圖2中k i G(s)-k x部分的傳遞函數特性。系統的等效剛度就等于kiG(s)-kx的實部,其虛部除以ω就是等效阻尼。很自然,最直觀的想法是通過測試G(s)的傳遞函數特性,從而換算得到系統的等效剛度和阻尼。雖然這樣的想法在理論和仿真中是可行的,但由于需要控制系統脫離電磁懸浮系統單獨進行測試,實際測試難度較大。

從圖2可知,外激勵力與位移響應之比具有剛度的量綱,被稱為復剛度或動剛度,用K v表示為

復剛度K v通常用復數形式或幅值相角形式表示,描述在不同頻率下,外激勵力與位移響應在復平面上的幅值關系和相位關系。|K v|隨頻率變化的關系就是前面講到的“浴盆”曲線。由式(6)可知,復剛度實質上是從外力到位移響應閉環頻率特性的倒數。閉環頻率特性可以通過實驗直接測得,文獻[3,8]就是基于這樣的原理提出實驗測量復剛度的方法。與復剛度含義不同,等效剛度和等效阻尼是將電磁懸浮支承等效成傳統的質量-彈簧-阻尼系統后所對應的剛度的阻尼值。復剛度和等效剛度及阻尼都是描述系統剛度特性的量,只是描述的角度不同,因此應用領域也不同。在電磁軸承轉子動力學研究中通常用等效剛度和等效阻尼描述軸承的支承特性。

在控制系統的分析中,常見情況是知道系統的開環頻率特性,來求解系統閉環后的頻率特性。本文的思路正好相反,試圖通過先對 F(s)和X(s)進行閉環頻域測試,然后反向推算其中k i G(s)-k x部分的開環特性,得到系統的等效剛度和等效阻尼。

首先,分析F(s)到X(s)閉環頻率特性和等效剛度阻尼的關系,整理式(4)和式(6)得

根據式(7),可求得kiG(s)-kx的開環頻域特性。由于從外力到位移響應閉環頻率特性的倒數就是復剛度。因此,復剛度的實部中加上 mω2即為kiG(s)-kx的實部,就是主動電磁懸浮系統在ω頻率下的等效剛度值;復剛度的虛部除以 ω就是等效阻尼。在不同ω的外激振下,可以得到一組閉環頻率特性值,進而計算出一系列不同頻率下的等效剛度和阻尼值。

理論上講,當線性系統輸入正弦激振信號時,其輸出也為正弦。但在實際系統中,由于被測系統的非線性和隨機干擾,其輸出信號不可避免地混雜有其他頻率的雜波干擾。如何從輸出信號中提取相應的輸入響應是測量等效剛度和阻尼的關鍵。設在輸入信號U r(t)=U sinω0t的作用下,系統的輸出信號Uc(t)為

式中,A0為被檢信號中直流分量;A sin(ω0t+θ0)為基波分量;u(t)為噪聲分量;Ansin(nω0t+θn)為各階高次諧波分量。

式(8)中,只有基波成分是激振響應成分。為了從這些混雜信號中提取我們所需要的頻率成分,采用了信號解調的原理。首先在輸出信號U c(t)上分別乘以一個與Ur(t)頻率相同的單位幅值的正弦和余弦信號sinω0 t、cosω0t,然后在基波整倍數周期內積分并求平均值：

由于正弦函數的正交性和相關性原理,故當N值取較大時,式(9)可以寫為

把式(10)中的X表示為ω的函數形式：

同樣地

這樣,就可以從被測信號中提取出基波分量。在實際應用中,為了增強抗干擾性能,一般取N ＞5。

為了測試電磁懸浮系統的等效剛度和阻尼,必須對系統施加一定的外激振力。施加激振一般有兩種途徑。其一,采用專門的激振設備,此方法可以完全把被測系統作為“黑箱”處理,即在無需知道被測系統任何參數的情況下測得系統的剛度和阻尼,該方法甚至適用于電磁懸浮系統以外的剛度和阻尼測試對象。但對于電磁懸浮系統,必須采用非接觸式的激振力,否則激振器會對主動電磁懸浮系統動力特性產生明顯影響。因此,可以利用電磁懸浮系統本身的特點,通過在勵磁線圈中疊加正弦電流,從而產生正弦激振力。此方法簡單,不附加額外設備,對被測對象的附加影響小,但需要知道電磁線圈的電流系數k i才能完成電流到激振力的換算。

3 PID控制的等效剛度和阻尼的理論計算

為了對比實驗結果與理論計算結果,選擇標準的PID控制器作為算例,分析控制參數對電磁懸浮支承特性的影響。控制器傳遞函數為K p+K i/s+K d s,其中 K p、K i、K d 分別為控制器中的PID參數。設功率放大器倍數為Kw,位移傳感器轉換倍率為K c,系統的整體滯后時間常數為T,則整個控制系統的傳遞函數G(s)可表示為

根據式(5),PID控制系統的等效剛度和阻尼表達式為

將本文的實驗數據代入式(14)、式(15),K w=1A/V,K c=7083V/m,k i=100 N/A,k x=0.2MN/m,T=0.4ms,頻率為 1～ 1000Hz。PID控制器K p、K i、K d參數對主動電磁懸浮等效剛度和阻尼影響的計算結果如圖3～圖8所示。

從圖3可知,在100Hz以下的頻率較低區域,主動電磁懸浮等效剛度隨比例參數Kp值改變的變化較大,而隨頻率的變化基本不變。對照式(14),由于系統慣性滯后時間T非常小(10-4數量級),在低頻區K i T項和K d Tω2項都很小,1+ω2T2項可近似等于1。因此在頻率較低時,Kp項成為等效剛度的主要決定因素。隨著頻率逐漸增大,K d Tω2項的作用漸漸增大,使等效剛度隨頻率ω逐漸增大。K p值在PID控制中對等效阻尼的影響如圖4所示,對照式(15),由于系統慣性滯后時間T非常小,使得K p變化對等效阻尼在整個頻率區域的影響都很小。在100Hz以下的低頻區域,等效阻尼基本保持恒值。隨著頻率逐漸增大,分母項1+ω2T2隨之增大,導致等效阻尼在高頻區域逐漸減小。

圖3 K p值在PID控制中對等效剛度的影響

圖4 K p值在PID控制中對等效阻尼的影響

從圖5可知,在100Hz以下的低頻區域,微分參數K d對等效剛度無明顯影響。在高頻區域,由于K d Tω2項的作用,K d對等效剛度影響逐漸增大。如圖6中的Kd對等效阻尼有明顯的影響,在整個頻率范圍內,等效阻尼都起決定作用。在頻率較高時,由于分母項1+ω2T2的影響,K d對等效阻尼的影響稍稍減弱。

從圖7所示可知,積分參數K i對等效剛度幾乎無影響。圖8顯示,K i會使得等效阻尼在低頻區域大幅減小。Ki=0時,低頻區的等效阻尼基本保持恒值。K i越大,等效阻尼在低頻區的減小幅度也越大。

圖5 K d值在PID控制中對等效剛度的影響

圖6 K d值在PID控制中對等效阻尼的影響

圖7 K i值在PID控制中對等效剛度的影響

圖8 K i值在PID控制中對等效阻尼的影響

4 剛度阻尼的在線識別實驗

4.1 實驗裝置

實驗在圖9a所示的杠桿式單自由度主動電磁懸浮實驗臺上進行。杠桿的一端與鉸鏈相連,另一端由主動電磁懸浮支承。由于鉸鏈支承和杠桿的剛度遠遠大于電磁懸浮系統所提供的剛度,所以可以將杠桿機構等效成圖9b所示的質量-彈簧-阻尼系統,系統的等效質量為M=(l/a)2m。實驗采用標準的離散PID控制,采樣頻率為10k Hz,測試頻率范圍為1～1000Hz。

圖9 杠桿式單自由度主動電磁懸浮系統實驗臺

4.2 PID參數對剛度和阻尼影響的實驗

圖10 ～圖15所示是在激勵力的振幅為18.75N,Kp分別選取 0.8、1.0、1.2,Ki分別選取0、0.0005、0.0010 、0.0050、0.0100,K d 分別選取20、40、60的條件下,在線識別出的主動電磁懸浮系統的等效剛度和等效阻尼隨頻率的變化曲線。

把圖10～圖15分別與圖3～圖8對應比較,可以得到如下結論：

(1)對于等效剛度,實驗結果與理論結果在低頻區和中頻區頗為一致,數值非常接近。但頻率超過500Hz后,實驗數據與理論計算值的誤差逐漸增大,在圖12中導致微分參數K d在高頻區域對等效剛度的影響不明顯。

圖10 K p值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖11 K p值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

圖12 K d值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖13 K d值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

圖14 K i值在PID控制中對等效剛度實際影響測試

圖15 K i值在PID控制中對等效阻尼實際影響測試

(2)對于等效阻尼,同樣在低頻區和中頻區實驗識別結果與理論結果有很好的一致性。隨著頻率升高,兩種結果的等效阻尼都在100Hz后開始逐漸減小。但實驗識別出的等效阻尼值減小比理論計算值下降得更快,并且在300Hz左右又觸底反彈,形成一個V形谷底。谷底反彈后,在600Hz后又與理論計算值基本一致。為了分析形成谷底的原因,我們計算了實驗懸浮結構的固有頻率。懸浮杠桿結構的固有頻率ω0=264.6Hz,這個值與實驗測得的谷底頻率基本一致。實驗中出現V形谷底的原因,是由于在固有頻率點引起了系統的共振,加劇了振動的幅度,導致等效剛度K e和等效阻尼C e的識別值減小。從圖10～圖15中可以觀察到,無論是等效剛度還是等效阻尼,在固有頻率點都出現了V形拐點,并且隨著PID參數的不同,形成的谷底深度也不同。

4.3 激勵振幅對測試效果的影響

如果是一個理想的線性系統,激振力的大小不會對等效剛度及阻尼的識別結果產生影響。但是,實際系統往往具有非線性,對于本實驗而言,振幅選擇過小,同頻的位移振動難以檢出,識別出的剛度和阻尼的誤差較大。振幅選擇過大,會影響到主動電磁懸浮的電流線性化和位移線性化條件,同樣會造成誤差。為了測試不同大小的激振力對等效剛度和阻尼識別效果的影響,實驗分別在6.25N、12.50N、18.75N、25.00N、31.25N、37.50N 6種激勵力振幅下進行了相關的測試。

在不同激勵力下,1～1000Hz頻率范圍的等效剛度和阻尼變化測試結果如圖16、圖17所示。在中低頻區域,激振力大小對等效剛度和阻尼的識別結果基本沒有影響。值得注意的是,在系統的固有頻率點,激振力越大,形成的V形谷底越深。

圖16 不同激勵力對等效剛度影響的測試結果

圖17 不同激勵力對等效阻尼影響的測試結果

根據實驗經驗,當主動電磁懸浮控制系統能很好平緩低頻的小幅激勵時,會使得同頻位移信號難以檢出,導致識別結果不穩定。因此對于激振幅度的選擇,在測量10Hz以下的低頻剛度阻尼時,需要增大激振力幅度,使振動響應達到可測的水平。對于10Hz以上的頻率,激振力幅度的可選范圍無具體限制,只要能穩定地保持懸浮狀態且振動尚可,均能正常測得系統的等效剛度和阻尼值。

5 結論

本文提出的主動電磁懸浮系統支承特性測試方案,能夠在線地實時檢測主動電磁懸浮系統在不同頻率下的等效剛度和等效阻尼,并能更真實地反映等效剛度和阻尼的實際變化情況。雖然,為了與理論計算比較,實驗中仍采用傳統的PID控制算法,但是很顯然該測試方法與電磁懸浮的控制策略無關。

實驗結果表明,本文提出的主動電磁懸浮系統的支承剛度和阻尼的測試方案是可行的,測試結果無論從數值和變化趨勢都與理論分析結果相一致,能夠方便地在未知控制系統傳遞函數情況下對主動電磁懸浮系統的支承等效剛度和阻尼進行測定,其結果可以作為主動電磁懸浮系統動力學特性研究的依據,具有較強的實用意義。

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