基于滑模控制的機載作動器摩擦轉矩補償研究

王永賓 林 輝

西北工業大學,西安,710072

0 引言

當今,液壓傳動系統被廣泛應用于機載伺服作動領域中,然而,由于液壓傳動系統具有一些固有缺陷,使得液壓傳動系統在機載伺服作動領域的使用受到一定的限制。液壓傳動系統的固有缺陷主要表現在：①需要體積龐大的中央液壓系統和復雜的管路;②為了提供穩定的中央液壓源,液壓泵必須連續工作,導致能量效率比低;③液壓源壓力有波動;④漏油;⑤噪聲。但是,液壓傳動系統同時具備體積小、功率大、慣性小的優點。

針對上述情況,為了克服傳統液壓系統的缺點,飛控系統開始向功率電傳(power by wire,PBW)方向發展。功率電傳是指由飛機次級能源系統至作動系統各執行機構之間的功率傳輸通過電能量傳輸的方式完成。PBW液壓作動器不再需要中央液壓系統和復雜的管路,從而在可靠性、生存力、可維護性、效率、故障容錯能力、飛機整體性能上都有可觀的提高[1]。

電動靜液作動器(electro-hydrostatic actuator,EHA)作為功率電傳作動器代表之一目前受到廣泛關注。本文針對電動靜液作動器的非線性問題,建立了電動靜液伺服系統的非線性模型,通過設計非線性滑模控制器,使電動靜液位置伺服系統獲得了良好的靜/動態性能。

1 電動靜液伺服系統組成

EHA伺服系統不同于傳統的開路液壓傳動系統,它是基于閉環路液壓傳動原理的,因此,EHA伺服系統中不需要油箱和液壓伺服閥。EHA伺服系統主要由無刷直流電機(brushless DC motor,BLDCM)、雙向液壓泵、對稱液壓缸、儲能器、溢流閥和壓力傳感器、位置傳感器等元件組成。其原理如圖1所示。

圖1 EHA系統結構原理圖

無刷直流電機與雙向液壓泵直接連接,通過改變電機轉速和方向拖動液壓泵,在液壓泵進油口和出油口分別產生不同壓力;液壓泵與對稱液壓缸通過剛性短管連接,因為液壓缸左右兩容腔存在壓力差,會在活塞上產生對外部負載的作用力,使負載根據電機轉向和轉速運動。儲能器的作用是作為緊急動力源以補充泄漏的液壓油,在使系統保持恒壓的同時,還可在系統管路內產生急劇壓力變化時吸收液壓沖擊。溢流閥通過閥口的溢流限定最大工作壓力,防止系統過載。壓力和位置等傳感器為控制器實時提供系統工作狀態信號以實現控制功能[2]。

2 電動靜液伺服系統建模

本文運用模塊法將系統分為液壓泵、對稱液壓缸、儲能器及子回路、摩擦環節和無刷直流電機五個模塊,并分別建立模型,然后將各模塊連接構成完整的系統以作為仿真控制對象。

2.1 液壓泵模塊

該模塊用來計算液壓泵入口和出口的液壓油流量,模型中考慮了泄漏和油液壓縮性因素對流量損失造成的影響。液壓泵出口a處的流量與壓力的方程為

入口b處的流量與壓力方程為

式中,pa、pb分別為液壓泵出口和入口的壓力;Qa、Qb分別為液壓泵出口和入口的流量;D為液壓泵排量;ω為旋轉角速度;Lip、Lep分別為液壓泵內漏系數和外漏系數;pcase為儲能器出口壓力;Vo為液壓缸初始容積;A為液壓缸活塞的面積;x為液壓缸活塞位移量;β為液壓油彈性模量。

圖2 液壓泵模型

由式(1)、式(2)得到的模型如圖2所示。

2.2 對稱液壓缸模塊

為保證液壓缸和液壓泵之間的流量平衡,在EHA系統中采用對稱液壓缸。液壓缸入口1處的流量與壓力關系為

液壓缸出口2處的流量與壓力關系為

式中,p1、p2分別為液壓缸入口壓力和出口壓力;Q1、Q2分別為液壓缸入口流量和出口流量;Lia、Lea分別為液壓缸內漏系數和外漏系數。

系統中,作動器水平連接一負載,負載和作動器輸出力的關系為

式中,M為負載及連接機構折算到活塞桿上的總質量;Ff(x?)為摩擦力矩;Fe為活塞負載干擾量分別為位移一階、二階導數,代表速度和加速度。

由式(3)、式(4)得到的模型如圖3所示。根據式(5)可得活塞模型如圖4所示。

圖3 對稱液壓缸模型

圖4 活塞模型

2.3 儲能器及子回路模塊

儲能器的主要作用是防止氣穴及吸收沖擊壓力,補充泄漏的液壓油,維持最低緊急壓力。其回路由儲能器和單向閥構成。儲能器的工作原理[3]可表示為

儲能器凈流入量為

式中,pinit為儲能器初始壓力;pcheck為單向閥開通壓力閾值;Qo1、Qo2分別為液壓泵a口和b口回路補油量;Bcheck為單向閥增益系數;Qcase為儲能器凈流入量;Qin為流入儲能器總流量。

假設液壓油等溫壓縮、等溫膨脹,則儲能器的壓力與流量的關系為

式中,Vinit為儲能器氣囊初始體積。

由式(6)～式(8)得到的模型如圖5所示。

圖5 儲能器模型

綜合液壓泵、對稱液壓缸和儲能器的模型,三者間的流量方程為

本文忽略了上述三者剛性連接管路所產生的管壓降,故可得到

2.4 摩擦環節模塊

在位置伺服系統中,摩擦不但造成系統穩態誤差,而且在低速時產生爬行現象、零速時產生死區、靜摩擦大于庫侖摩擦時產生極限振蕩,因此,對摩擦環節進行補充控制是非常必要的,而準確的數學模型對補償效果的重要性是不言而喻的。摩擦力(力矩)為速度的非線性函數,在摩擦接觸面由相對靜止到相對運動經歷了4個階段：接觸面彈性形變階段、邊界潤滑階段、部分液體潤滑階段及完全液體潤滑階段。Stribeck曲線模型[4-7]能夠較準確地反映各階段摩擦力(力矩)T f(α)與速度(角速度)α的非線性關系,因此,該模型使用較廣泛,具體方程為

式中,Tc為庫侖摩擦力;Ts為最大靜摩擦力;αs為速度(角速度)參考量;Kvis為黏性比例系數。

由式(12)得到的模型如圖6所示。

圖6 摩擦環節模型

2.5 無刷直流電機模塊

無刷直流電機關系方程可表示為

式中,Ua為電樞端電壓;i為電樞電流;R為電樞電阻;H為電樞電感;E為電樞反電勢;Ke為電勢系數;Te為電磁轉矩;Kt為轉矩系數;J為折算到電機軸上的轉動慣量;Tl為負載轉矩。

由式(13)得到的模型如圖7所示。

圖7 BLDCM模型

3 滑模控制

3.1 PID控制原理框圖

在建立了EHA各部分模塊后,利用MATLAB/Simulink的封裝功能,將各子模塊進行封裝;然后根據各變量間的關系構成一完整的EHA位置伺服系統如圖8所示,模型中各個參量值如表1所示。在本文中,首先采用典型PID控制器,參考信號分別為階躍和正弦的位置信號。

圖8 EHA的PID控制系統

表1 模型參數表

對階躍位置信號系統響應比較快,如圖9、圖10所示。從圖10可以看出,波形出現了振蕩。由于靜摩擦(Ts)大于庫侖摩擦(Tc)(表1),PID積分項無法消除靜差,在伺服系統運動過程中,摩擦的變化是非線性的且有負斜率特性,使系統出現了極限振蕩現象。

圖9 PID控制階躍信號響應

圖10 PID控制階躍信號響應放大

正弦位置信號響應如圖11～圖13所示,從圖13可以看出,當輸入的位置信號達到最大值、即速度為零時,響應曲線發生畸變,出現平頂,同時相位也有滯后。從圖12中也可以看出,當速度變得很小而進入死區時,誤差顯著增大出現跳變。從以上分析可以得出：典型PID控制器無法滿足系統性能要求。

圖11 PID控制正弦信號響應

圖12 PID控制正弦信號響應誤差

3.2 滑模控制分析

圖13 PID控制正弦信號響應放大

滑模控制(sliding mode control,SMC)本質上是一種非線性控制,其非線性表現為控制的不連續性。在系統動態過程中,SMC可以根據當前的狀態,依據系統要求的性能約束條件改變控制結構,使系統按照預定的滑模狀態軌跡做小幅度、高頻率的上下運動。由于滑模切換函數可以進行設計且與對象參數及擾動無關,這種理想的魯棒性對工程應用很有吸引力。

在設計滑模控制器之前,首先應推導EHA伺服系統的狀態方程。為了簡化液壓泵和作動器模型,本文作如下假設：在正常工作狀態,儲能器及其子回路流量為0,由此可得到：Qa=Q1,Qb=Q2。從液壓泵流入/流出量等于從對稱液壓缸的流入/流出量可以得到負載流量Q L的表達式為

將式(1)～式(4)代入式(14)并考慮式(11),得

將式(12)代入式(5),得

將式(16)兩邊對時間t求導得

將式(16)、式(17)代入式(15)得

根據式(13)、式(18),選擇狀態變量X=(i,ω,x,=(x1,x2,x3,x4,x5)T,可得到狀態方程

輸入量為u=U a,輸出量為y=x3。

3.3 滑模變結構控制器設計

本文應用趨近律方法設計滑模控制器,可以保證狀態可達性,還可以控制趨近運動的具體軌跡,改善趨近運動的動態性能。

設系統跟蹤給定的參考位置信號為r,則系統誤差、系統誤差變化率及誤差加速度分別為別為參考輸入的一階導數和二階導數。設計切換函數并采用等速趨近律的控制方式[8],可得：

c1、c2的值可使滑模運動具有漸進穩定性或良好的動態品質,一般有兩種方法選定：極點配置法和二次型指標最優化法。由上可得

其中,常數ε表示系統的運動點趨近切換面s=0的速率,ε越小,趨近速度越慢;ε越大,則運動點趨近切換面的速度會較大,但因此引起的抖振也較大。將狀態方程代人式(21)可得控制律u的表達式如下：

選取李亞普諾夫函數為二次型函數[9]：

其中,切換函數s(x)滿足：可微、過原點,即s(0)=0。由式(23)可知 V(t)為正定,且V(0)=0。進而,通過計算得：由式(24)可看出李亞普諾夫第二法,控制系統在李亞普諾夫意義下是漸進穩定的。

3.4 滑模控制仿真

根據式(22)設計的滑模控制律,結合圖8所給出的模型,并給定參數c1=30、c2=30、ε=10進行仿真。為便于比較,參考信號仍為幅值等于0.1m的階躍和正弦位置信號。從圖14、圖15可以看到：系統響應速度比較快,曲線振蕩被抑制,跟蹤精度很高;從圖16～圖18可以看到：響應曲線在速度過零時沒有出現死區,相位滯后得到了改善。比較圖12和圖17的誤差曲線可以看到,在速度過零時無論是誤差變化幅值還是誤差變化率都顯著地減小了。

圖14 SMC控制階躍信號響應

圖15 SMC控制階躍信號響應放大

圖16 SMC控制正弦信號響應

圖17 SMC控制正弦信號響應誤差

圖18 SMC控制正弦信號響應放大

以上仿真實驗結果表明：在位置伺服系統中,滑模控制較PID控制具有更好的軌跡跟蹤特性;在面對非線性摩擦、極限振蕩等非線性對象時,滑模控制表現出更優秀的靜/動態性能。

4 結束語

本文以非線性EHA模型為控制對象,分別設計了典型的PID控制器和滑模控制器。通過仿真實驗,對兩種控制效果進行了對比。實驗結果表明,滑模控制對因非線性摩擦引起的死區現象具有較好的補償效果,對極限振蕩現象具有較好的抑制作用,較PID控制具有更好的靜態性能和動態性能;同時,仿真結果驗證了Stribeck曲線摩擦模型及參數的合理性。

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