基于遺傳蟻群融合算法的超彈性材料參數識別

陳少偉 成艾國 胡朝輝 何智成

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

0 引言

隨著汽車工業的發展,橡膠在各行業的應用越來越多,如車門密封膠條、門窗密封膠條、懸架橡膠襯套等。這類材料構件具有強烈的非線性行為,受力變形狀況復雜,其力學行為對汽車子系統的力學特性乃至整車性能有極大的影響。橡膠材料在拉伸、剪切和壓縮載荷作用下的力學響應是彈性、黏性、Mullins效應共同作用的結果。在加載速率低于10mm/min的條件下,多次重復測試得到的材料曲線表征了材料的超彈性力學行為[1]。為了獲取超彈性力學特性的參數,通常采用對材料進行單向和雙向拉伸、壓縮等試驗獲取數據。但由于缺乏試驗條件,國內多數汽車零配件的供應商并不能夠提供足以描述材料力學行為的試驗數據,通常情況下僅能提供產品成品在相應試驗條件下的相關數據(如密封膠條的壓縮載荷-行程曲線)。此外,由于 Mullins效應的影響,超彈性材料在不同受力水平下的材料參數也不一致。

近年來,不少學者使用有限元仿真、優化算法結合試驗的方法估算材料的性能參數,如文獻[2]提出了根據沖壓試驗的力-位移曲線,基于移動最小二乘響應面優化算法反求板料的材料性能參數的方法。文獻[3]則采用遺傳算法(generic algorithm,GA)反求薄壁鋼管的材料參數。文獻[4]采用GA與Levenberg–Marquardt算法研究了黏塑性材料的參數辨識問題。

橡膠的力學性能表現為超彈性的力學特性,很難基于先驗知識利用局部梯度搜索算法識別材料性能參數。本文將DOE(design of experiments)方法與遺傳蟻群融合算法(generic algorithm-ant colony algorithm,GA-ACA)結合起來,引進改進的優化策略,在保持遺傳蟻群融合算法原有優點的同時,進一步提高解空間搜索的全局性。

1 超彈性本構模型

超彈性材料在變形過程中表現出幾何非線性特性和材料非線性特性,通常可以假定其為不可壓縮、各向同性的彈性體。對于超彈性材料,可以以連續介質力學為基礎,基于應變勢能描述其力學性能,采用應變能對應變不變量的導數來表達該材料的應力-應變關系。超彈性材料的本構方程的一般形式為

式中,U為應變能函數;I1、I2為應變不變量;J為雅可比行列式;B為左柯西-格林應變張量;F為變形梯度。

根據虛功原理,由式(1)可以得到

將I 1、I2、J代入上述虛功方程中進一步推導可得

式中,σ為柯西應力張量;I為單位張量。

可選用的應變能函數有多種形式：多項式模型、Ogden 模型、Arruda-Boyce 模型 、Vander-Waals模型等。在本文的正問題計算中,采用的是多項式模型和Ogden模型。

多項式模型的一般形式為

式中,f(I1-3,I2-3)為二階泰勒級數;Jel為彈性體積比;Di為與溫度相關的材料參數。

當取N=1時,上述多項式形式可展開為

式中,C10、C01為與材料相關的參數。

Ogden模型的一般形式為

式中,αi、μi為與溫度相關的材料參數;λ1、λ2、λ3為主伸長比。

2 問題描述

參數識別是對問題的反分析,其實質是利用優化方法控制、調整對正問題敏感的幾個參數,最終得到使得模型仿真結果與試驗數據在最小二乘的意義下達到最小。可以定義如下目標函數：

式中,Ns為測量步數;Np為測量點數;sim(i,j)為仿真計算數據;exp(i,j)為實驗測量數據。

對于橡膠等超彈性材料而言,需先選定應用的超彈性本構模型,控制其中的材料參數變量,進行反問題分析。以Ogden模型為例：由式(8)、式(10)可推導得出,Ogden應變能模型中初始剪切模量由μi決定;此外,Di決定了材料的初始體積模量;αi為另一與溫度相關的決定材料性能的參數。因此,將這三類參數作為設計變量就能構造對該應變能模型進行參數識別的反問題。各參數的取值范圍應以其物理意義為基礎界定其取值范圍,通常給予較大的取值空間以利于算法尋優。

3 遺傳蟻群融合算法

遺傳算法[5]是模擬生物進化過程的優化算法,優點是能在全局范圍內搜素,無需任何初始信息,從而不易如梯度算法般選中局部優解,但由于算法的信息反饋機制的缺陷,容易在某個解空間內做冗余迭代,從而影響了求取精確解的效率。蟻群算法[6]是基于群智能理論的仿生優化算法,該算法使用概率搜索,無需梯度信息,適合在不提供全局集中控制的條件下尋求分布式問題的全局最優解,但其計算效率依賴于初始的啟發信息,求解速度相對較慢,參數設置不當時容易陷入局部解空間。將遺傳算法與蟻群算法融合,能夠將前者的全局快速搜索特性與后者的正反饋機制、并行特性有機結合,從而提高新算法的性能。在本文所采用的算法中,在遺傳算法和蟻群算法融合的基礎上,在計算的每一個循環過程中反復引入DOE采樣方法(拉丁超立方),簡化了全局搜索空間的同時也提高了搜索的全局性,同時根據算法實際運算過程的反饋,采用了更合理的變異及交叉操作方法。

融合算法的基本思路是通過程序初始化得到一組解,計算目標函數,并以此為依據初始化蟻群的信息素,之后讓蟻群完成一次轉移,應用遺傳算法的交叉操作和變異操作產生蟻群的新的旅行路徑,繼而更新信息素,如此往復直至程序退出條件被滿足。

遺傳蟻群融合算法流程如下：

(1)定義變量區間。借鑒文獻[7]的方法,根據各參數的物理意義可分別定義其取值范圍：xi l≤xi≤x i u,并對該區間進行N等分,區間內的每一個節點代表 xi的一個取值可能。在蟻群算法中可以視此處的m個節點為m個“城市”,在每個區間中放置1只“螞蟻”,“螞蟻”只能在該區間的m個城市中移動并留下信息素,而不能跨界移入其他區間。因此,j個參數對應j個區間及j只“螞蟻”。如圖1所示,圖中以黑色填充的位置表示“螞蟻”選中該“城市”,j只“螞蟻”選中的j個“城市”對應著一組可能解。

圖1 變量取值區間離散化

(2)程序終止判斷。定義“城市”間間隔為

式中,hj為第j個區間內間隔。

當各取值區間內“城市”最大間隔小于一給定值ε時,程序終止,輸出最佳解。

(3)啟發信息初始化。應用拉丁超立方采樣方法進行試驗設計,產生nDOE組參數變量的組合,將根據計算求得的目標函數值在各區間內的相應“城市”間隔留下的額外信息素值作為啟發信息。設置所有“城市”間隔初始信息素值 τm。

定義τDOE為根據DOE獲取的額外信息素值,因此DOE過程選中的“城市”間隔的初始信息素為

τDOE通過計算目標函數、對染色體進行排序確定。

(4)“螞蟻”完成轉移。各區間的每只“螞蟻”按照概率轉移至各自區間內的某一“城市”i,記錄i至當前解集,完成一次轉移。程序中設定“螞蟻”完成k次轉移。

此處根據蟻群算法,定義：

式中,pij為在j區間內選中第i個城市的概率;τij為城市i與城市j間間隔的信息素濃度值。

在程序中采用偽隨機比例規則移動“螞蟻”,由當前節點移動至下一節點i滿足以下規則：

式中,Nj代表第j區間內“城市”序號的集合;q為均勻分布于[0,1]區間內的隨機變量;q0為程序初始設定的參數;J為根據概率分布計算出來的隨機數。

(6)變異操作。根據變異概率,進行變異操作,如果變異是有利的,則接受新解。采用如下變異策略：隨機選取某只“螞蟻”,交換其左右兩側“螞蟻”所在的城市編號。如選中 x1i,則交換x2i與

(7)更新信息素。記錄當前最佳解,并根據更新方程更新信息素(僅更新當前最佳解),則

(8)迭代判斷。程序迭代次數小于預定迭代次數且無退化行為時回到(4)進行下一次內循環迭代,直至大于預定的迭代次數時,程序根據當前計算結果縮小每個取值區間的范圍,重新初始化,并進行下一輪外循環迭代。

取值區間的縮小方式：取出每個子區間中信息素濃度最大(即當前最好解)的行號(m1,m2,…,mN),定義縮小位數Δ,則第j個區間縮小后的取值范圍(xj1|new,x jn|new)由下式定義：

其中,Δ用以縮小間隔,作為程序初始值輸入。

程序流程圖如圖2所示。

圖2 遺傳蟻群融合算法流程圖

4 超彈性材料參數識別算例

現以某車型前門密封膠條為例：取膠條的一段截面(圖3),建立二維仿真模型,其中的網格單元采用平面應變單元。在有限元軟件中,固定密封膠條骨架位置(約束6個自由度),使用剛體單元模擬車門法向壓縮密封膠條。車門密封膠條在車門壓覆過程中應有壓縮與扭轉兩種狀態,但在大多數區域,如窗框這樣重要的位置,法向壓縮部分占主要成分,而且,在密封膠條的圖紙上,密封膠條的性能也是以法向CLD曲線(壓縮載荷-行程曲線)衡量。因此,對于車門密封膠條,此處僅選取法向壓縮工況是足夠的。圖4為該密封膠條截面的有限元網格。

圖3 某車型前門密封膠條實物

圖4 模型有限元網格

對仿真模型中的發泡橡膠采用Ogden模型,對密實橡膠采用多項式模型。為簡便起見,材料模型采用一階形式,因此對兩種橡膠材料參數進行識別共需要控制5個參數。根據文獻[8]所提供的公式,橡膠硬度H A與彈性模量E有如下關系：

橡膠應變較小時,又有

根據式(19)、式(20)及密實橡膠硬度H A的取值范圍(65～75HC)(肖氏硬度),經正問題的仿真計算,便可以估計多項式模型中C10、C01的大致取值區間。對于Ogden模型的參數,由于手頭缺少數據的支持,無法估算,便采用變換Ogden模型的一個及多個參數,固定其余參數,用DOE方法分析Ogden本構參數對該膠條模型CLD曲線的影響變化趨勢,最后根據分析結果確定大致的取值空間。各參數的取值范圍如表1所示。

表1 供識別的材料參數

遺傳蟻群融合算法的控制參數[9]包括：常數Q,螞蟻數量j,偽隨機選擇初始參數q0,衰減系數ρ,交叉區域寬度C width,區間間隔數N,循環次數NC,DOE變量組合nDOE,交叉概率P c、變異概率Pm,全局初始信息素 τm,啟發信息最大值τDOE|max,啟發信息最小值τDOE|min,程序終止判斷值ε,區間縮小間隔Δ。各參數的初始定義值如表2所示。

表2 初始參數定義值

采用遺傳蟻群融合算法得到的目標函數收斂曲線如圖5所示。為了對比算法的性能,本文還同時對遺傳算法做了相同工作,其收斂曲線如圖6所示。具體參數識別結果見表3。

圖5 遺傳蟻群融合算法收斂曲線

圖6 遺傳算法收斂曲線

經過參數識別計算得到的材料參數曲線與目標車門密封膠條CLD曲線對比如圖7所示。使用兩種優化算法反分析所得的曲線在開始階段與目標曲線均有一定的差異,但隨著壓縮的進一步進行,在后半段與目標曲線十分接近。其中遺傳蟻群融合算法的目標函數收斂值為0.9421,優于遺傳算法的目標函數收斂值1.3131。

圖7 材料參數識別曲線與目標曲線對比圖

比較上述兩種算法可知,遺傳蟻群融合算法收斂速度很快,僅僅6個大循環迭代步便獲得較理想的結果,但由于遺傳蟻群算法每次縮小變量取值區間時進行DOE計算需要耗費一定的計算機時,在總體計算時間上遺傳蟻群算法耗時略多于遺傳算法。

5 結束語

本文提出了一種利用遺傳蟻群融合算法結合有限元技術對超彈性材料進行參數識別的新方法。通過比較實驗與仿真的超彈性材料力學曲線判斷反分析得到的參數與實際參數的接近程度。

由算例可知,新的遺傳蟻群融合算法可以較好地結合遺傳算法和蟻群算法各自的優點。所獲取的材料力學曲線與目標曲線較吻合,表明反問題分析獲取的材料參數能夠較好地描述超彈性材料的力學性能。這種新的參數識別方法在工程實際應用中具有一定的實用性。

[1] Miller K.Testing Elastomers for Hyperelastic Material Models in Finite Element Analysis[EB/OL].http：//www.axelproducts.com/downloads/TestingFor Hyperelastic.pdf

[2] 高暉,鄭剛,李光耀.基于響應面方法的材料參數反求[J].機械工程學報,2008,44(8)：102-105.

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[4] Qu J,Jin Q L,Xu B Y.Parameter Identification for Improved Viscoplastic Model Considering Dynamic Recrystallization[J].International Journal of Plasticity,2005,21：1267-1302.

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