變胞機構的構態變換矩陣與運動副方位變胞

李樹軍 戴建生

1.東北大學,沈陽,110004 2.倫敦大學國王學院,London,WC2R 2LS

0 引言

變胞機構[1]自1998年首次提出后,就引起了國內外機構學研究者的關注及研究興趣。Dai等[2]探討了變胞機構的構態變換問題。Carroll等[3]提出了微變胞機構的概念,并應用變胞原理對空間機構加工機理進行了改革,首次提出了微機構加工的新方法。Liu等[4]研究了變胞機構的變胞方式,提出了利用桿件連接關系的變化和運動副的特性變化來實現變胞。戴建生等[5]對變胞機構的構態變換、變胞原理和變胞機構綜合問題也進行了深入的研究,使得變胞機構的基礎理論不斷得到豐富和發展。

變胞機構的本源是變拓撲,變胞機構的構態變換主要通過結構拓撲矩陣來完成。通常變胞機構的變拓撲結構采用鄰接矩陣及關聯矩陣表示,并可進行矩陣運算[6-7]。文獻[8-9]在此基礎上將運動副符號引入鄰接矩陣并加以改變,以適應運動副變化的需要,但矩陣中也沒有運動副方位信息。李樹軍等[10]提出了一種運動鏈的拓撲特性矩陣,用來描述運動鏈的環路布局關系,用于運動鏈同構體的辨識;文獻[11]中給出了一種空間運動鏈的描述和同構體辨識方法,取得了較好的辨識效果。但在文獻[10-11]的對運動鏈的描述中沒有運動副的方位特征,也缺少環路間鏈接關系方面的信息。文獻[12]提出尺度型的概念,對機器人機構的運動軸線方位的5種特殊配置類型：平行、重合、垂直、共點、共面及其組合進行了描述,這一理念為描述機構拓撲結構提供了有價值的參考。在此基礎上,文獻[13]提出了一種基于環路布局的運動鏈的拓撲描述,此種拓撲結構雖有運動副方位特征信息,但對于研究以運動副或構件變化為主的變胞機構的構態變換尚欠便捷性。

目前所研究的變胞機構多是基于變胞機構具有可變自由度和可變構件數目的新型機構。然而,機構構態的變化還與運動副軸線方位的配置有關,即不改變運動鏈的自由度和拓撲元素(構件、運動副)數目,僅通過變換運動副的軸線方位配置,也可實現機構的運動空間由平面至空間(平面機構變換為空間機構)或反之的轉換,稱之為運動副方位變胞,對此目前還沒有系統的研究。本文首先構建了一種結構拓撲信息更為豐富的構態變換矩陣,用于變胞機構的構態演化描述,然后應用該矩陣對運動副方位變胞原理和方法進行研究,進一步豐富變胞機構的設計與綜合理論。

1 變胞機構的結構拓撲描述

針對變胞機構構態變換的特點,特別是針對運動副軸線方位變胞,本文首先構造出一種描述運動鏈連接狀況、運動副類型和運動副方位特征的構態變換矩陣,用于變胞機構的構態變換。

1.1 變胞機構的構態變換矩陣

變胞機構的結構拓撲特征信息可用構態變換矩陣A來描述：

式中,Li為順序號為i的構件;Jij為連接構件i、j的運動副。

設定：

式(1)中的aij,當j=i+1時,為2副構件Li上2個運動副軸線的相對方位;當L n為2副構件時,ain為Ln上2個運動副軸線的相對方位;其余元素為描述多副構件上連接構件Li和L j的邊上的2個運動副軸線的相對方位;設p值即為同一構件兩運動副回轉軸線或移動平面的法線的相對方位,其約定如表1所示。

表1 同一構件兩運動副回轉軸線或移動平面的法線相對方位約定

1.2 構態變換矩陣的性質

根據變胞機構的構態變換矩陣的定義(式1),可知此矩陣具有下述特性：①Li所在的對角線各元素描述了順序連接的n個構件,矩陣的行數等于構件數;②矩陣中上三角元素Jij描述了連接構件i、j的運動副的類型和連接關系;③矩陣中的下三角元素aij描述了構件各邊所在的2個運動副的軸線方位,ai,i+1和ain為2副構件上2個運動副的軸線方位,其他為多副構件對應邊上的2個運動副的軸線方位;④aij為構件的固有信息,為不變量,變化aij可導致運動鏈拓撲結構的轉化;⑤既可描述平面多環運動鏈,也可描述空間多環運動鏈,并可計算運動鏈的自由度和構造機構的運動簡圖。

2 構態變換矩陣的構造舉例

2.1 平面單環機構的構態變換矩陣構造

(1)二自由度4RP平面五桿機構(圖1)。根據式(1)～式(3),可構造出其構態變換矩陣為

圖1 4RP五桿機構運動簡圖

(2)具有消極自由度的平面四桿機構(圖2)。根據式(1)～式(3),可構造出其構態變換矩陣為

圖2 平面RSSR四桿機構的運動簡圖

根據表1,a14=1表示構件4上的2個運動副A、D軸線平行,故該機構退化為平面四桿機構。

2.2 平面多環機構的構態變換矩陣構造

(1)平面3-RRR并聯機構(圖3)。根據式(1)～式(3),可構造出其構態變換矩陣為

圖3 平面3-RRR并聯機構

(2)具有消極自由度的平面3-RRS機構。如果將圖3機構的動平臺4的3個R副變化為3個S副,就構成了一種具有消極自由度的平面3-RRS機構。仿上可得其構態變換矩陣：對應的具有消極自由度的平面3-RRS并聯機構如圖4所示。

圖4 具有消極自由度的平面3-RRS并聯機構

3 運動副方位變胞

3.1 運動副方位變胞的基本概念

在圖2所示的機構中,R副A和D軸線平行,構成了自由度為1的帶有消極自由度的平面四桿機構。若改變該機構 A和D 軸線的方位,由平行到交錯,則構成了圖5所示自由度為1(帶有局部自由度)的空間四桿機構。

可見,由圖2機構到圖5機構,構件數沒變,運動副類型和數目沒變,機構的自由度數也沒變。但改變運動副D的軸線方位,便使機構由平面機構轉化為空間機構。這種僅變換運動副軸線方位而使運動鏈運動空間改變,從而實現變胞的方式,稱為運動副方位變胞。

圖5 空間RSSR四桿機構的運動簡圖

3.2 運動副方位變胞特點

運動副方位變胞具有下述特點：

(1)屬于拓撲結構變胞,變胞的結果導致運動鏈運動空間的改變。如由平面運動鏈變化為空間運動鏈,或反之。

(2)變胞前后運動鏈的實際自由度不變,運動鏈的拓撲元素(構件數和運動副數)不變,但變胞過程會導致運動鏈中某些運動副的消極自由度與實際自由度間的轉換。

3.3 運動副方位變胞條件

根據運動副方位變胞原理和特點,運動副方位變胞應具備如下基本條件：

(1)變胞前的運動鏈具有消極自由度,或變胞后的運動鏈產生消極自由度。

(2)方位變換運動副所在構件或分支在方位變化方向上具有自由度(變胞前為消極自由度,或變胞后產生消極自由度)。

3.4 運動副方位變換的實現

運動副方位變換可由Yan等[10]提出的具有變運動形式的運動副結構實現,或通過直接驅動運動副改變其軸線方位實現。

4 應用構態變換矩陣進行運動副方位變胞的方法

4.1 變胞方法和步驟

根據運動鏈構態變換矩陣(式(1)～式(3))各元素的意義及其性質,應用構態變換矩陣進行運動副方位變胞的基本方法和步驟如下：

(1)應用式(1)構造平面運動鏈的構態變換矩陣APlanar。

(2)構造與APlanar對應的具有消極自由度的平面機構的構態變換矩陣APlanar_passiveDOF。由APlanar向APlanar_passiveDOF轉化時,應使變化前后的構件數不變,自由度數不變,運動副的個數不變,僅改變部分運動副的類型Jij和相應構件的軸線方位aij。由于變化的結果是機構的運動空間在平面與空間之間轉換,因此 APlanar_passiveDOF的運動副的類型可根據下式計算：

式中,DOFP、DOFS分別為平面機構和空間機構的自由度;Pf為約束數為f的運動副的個數。

應該說明的是：式(6)等號兩側運動副提供的約束數應分別按平面和空間運動副計算。同時,為了方便起見,式(6)中沒有涉及運動鏈中的虛約束等影響,僅為簡化的運動鏈結構公式。如果在實際使用時有此類影響,還需按實際情況計算。由式(6)可知,對應給定的平面運動鏈APlanar的運動副的類型可能具有多種組合,可能代表對應的多個運動鏈。另外,根據對aij的定義,增加的多自由度運動副應選在變胞分支上。與改變后的J ij相關聯的構件的軸線方位aij根據新的J ij由式(3)確定。

(3)構造變胞運動鏈的構態變換矩陣Am,即對APlanar_passiveDOF的 aij進行方位變換。由APlanar_passiveDOF向Am轉化時,變化前后的構件數不變,自由度數不變,運動副的個數和類型不變,僅改變部分運動副的軸線方位aij。aij軸線方位的變化根據下述規則和步驟：①變換APlanar_passiveDOF中無消極自由度的運動副的軸線方位aij。由于步驟(2)使運動鏈增加的消極自由度是為了使運動鏈變胞時構件或分支在方位變化方向上具有自由度,因此不變換具有消極自由度的運動副的軸線。即選擇由APlanar向APlanar_passiveDOF轉化時軸線方位沒有變化的aij進行方位變換。②選運動副的自由度較少的構件變換其軸線方位,并先選擇機架、多副構件按順序進行。自由度少即約束多的運動副的軸線的變化,牽連其構件或分支的結構變化,并導致整個運動鏈拓撲機構的變化,而且其結構簡單,易于實施。而自由度多的運動副容易產生局部自由度,起不到變胞的效果,而且其結構復雜,實現困難。對于多環運動鏈,多副構件與各分支相互關聯大,易實現運動鏈的整體變胞。③驗證變胞前后運動鏈的自由度,使其自由度數不變。按上述①和②變換aij時,可能有多種組合,對應多種變胞方案,其中可能包括導致運動鏈失去自由度不符合運動副方位變胞原理的方案,需將其排除掉。④由Am構造變胞機構的運動簡圖。根據運動副方位變胞原理和構態變換矩陣各元素的意義,通常選運動副方位變化的構件為機架,構造對應機構的運動簡圖。

4.2 運動副方位變胞舉例

4.2.1 單環運動鏈變胞

(1)根據式(1)～式(3),平面4R運動鏈的構態變換矩陣為

其自由度

(2)構造與AP_RRRR對應的具有消極自由度的平面機構的構態變換矩陣AP_RSSR_PassiveDOF。根據式(6),若選相鄰兩個球面副替代對應的轉動副,則

其中有一個局部自由度,實際自由度為1?？蓸嬙斐鰧木哂邢麡O自由度的平面機構的構態變換矩陣：a14=1表明構件4上的2個轉動副軸線平行,其中2個球副具有消極自由度。

(3)由AP_RSSR_PassiveDOF構造變胞運動鏈的構態變換矩陣AS_RSSR。變換構件4上一轉動副的方位為任意方向,即使a14=4,則所求構態變換矩陣為

其自由度

其中包含一個局部自由度,實際自由度為1。AS_RSSR即為帶有局部自由度的空間四桿機構的構態變換矩陣。由AS_RSSR可構造出對應的機構簡圖如圖5所示。

如果變換構件1和構件4上運動副各軸方位使其共點,得帶有消極自由度的球面RSSR運動鏈的構態變換矩陣：

如果ASpherical_RSSR中2個球面副變換為轉動副,得其構態變換矩陣：

即球面RSSR運動鏈退化為球面4R運動鏈。

4.2.2 多環運動鏈變胞

圖3所示為平面3-RRR并聯機構的變胞,其主要步驟如下：

(1)構造平面3-RRS運動鏈的構態變換矩陣AP_3-RRR如式(4)所示。

(2)構造具有消極自由度的平面3-RRS機構的構態變換矩陣AP_3-RRS_PassiveDOF如式(5)所示。

(3)由AP_3-RRS_PassiveDOF構造變胞運動鏈的構態變換矩陣AS_3-RRS(即對應空間運動鏈的構態變換矩陣)。根據4.1節的變胞步驟(3),變換AP_3-RRS_PassiveDOF代表構件1各邊2運動副軸線方位a26、a28、a68平行關系的1為任意相交關系的4,便構成空間3-RRS的構態變換矩陣AS_3-RRS：

由AS_3-RRS可知,n=8,P 3=3,P5=6。其自由度為：DOFS=6×7-3×3-5×6=3,驗證了其自由度數與平面3-RRR機構相同,即構成空間3-RRS并聯運動鏈。將AS_3-RRS按式(1)連接方式,如按文獻[9]設計的轉動副結構形式(圖6a),或直接驅動運動副模塊改變其軸線方位(圖6b),若選構件1為機架,可構造其運動簡圖如圖7所示。

圖6 用于方位變胞的兩種轉動副結構形式

圖7 空間3-RRS并聯機構簡圖

5 結束語

本文構造了一種描述變胞機構構態演化的構態變換矩陣,提供了運動鏈連接狀況、運動副類型和運動副方位特征信息。該構態變換矩陣不僅可用于運動副方位變胞問題的研究,也可用于其他類型變胞問題和一般的運動鏈綜合問題研究,具有普遍的理論和實用意義。

給出了一種基于構態變換矩陣的運動副方位變胞的方法和步驟,通過運動副方位變胞,可實現機構運動空間在平面與空間之間的轉換,進一步豐富了變胞機構的變胞方法。

另外,根據式(1),只要運動鏈的構件編號和起點確定,運動鏈的拓撲關系就確定了,因此,該矩陣也可推廣用于運動鏈或機構的同構體的判別。

[1] Dai JS,Jones J R.Mobility in Metamorphic Mechanisms of Foldable/Erectable Kinds[J].Journal of Mechanical Design,1999,121(3)：375-382.

[2] Dai J S,Rees J J.Configuration Transformations in Metamorphic Mechanisms of Foldable/Erectable Kinds[C]//In Proc.of 10th World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms.Oulu,1999：542-547.

[3] Carroll D W,Magleby S P,Howell L H.Simplified Manufacturing Through a Metamorhic Process for Compliant Orthoplanar Mechanisms[C]//ASME 2005 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Orlando,2005：389-399.

[4] Liu C H,Yang T L.Essenceand Characteristics of Metamorphic Mechanisms and Their Metamorphic Ways[C]//In Proc.11th World Congress in Mechanism and Machine Science.Tianjing,2004：1285-1288.

[5] 戴建生,丁希侖,鄒慧君.變胞原理和變胞機構類型[J].機械工程學報,2005,41(6)：7-12.

[6] 戴建生,丁希侖,王德倫.一空間變胞機構的拓撲結構變換和對應的矩陣演算[J].機械工程學報,2005,41(8)：30-35.

[7] Dai JS,Rees JJ.Matrix Representation of Topological Changes in Metamorphic Mechanisms[J].Transactions of the ASME：Journal of Mechanical Design,2005,127(4)：610-619.

[8] 王德倫,戴建生.變胞機構及其綜合的理論基礎[J].機械工程學報,2007,43(8)：32-42.

[9] Yan H S,Kuo C H.Topological Representations and Characteristics of Variable Kinematic Joints[J].Transactions of the ASME Journal of Mechanical Design,2006,128(2)：384-391.

[10] 李樹軍,宋貴秋,杜立群,等.用拓撲特性矩陣辨識運動鏈的同構體及機架變換研究[J].機械工程學報,2002,38(1)：149-153.

[11] Li S J.Computer-aided Structure Synthesis of Spatial Kinematic Chains[J].Mech.Mach.Theory,1990,25(6)：645-653.

[12] 楊廷力.機器人機構拓撲結構學[M].北京：機械工業出版社,2004.

[13] 李樹軍,戴建生,王德倫.含環路布局和運動副方位特征的運動鏈拓撲結構描述[J].機械工程學報,2009,45(6)：34-40.