支撐結構多目標拓撲優化設計研究

方子帆 楊 磊 杜道佳 何孔德 張 屹

三峽大學水電機械設備設計與維護湖北省重點實驗室,宜昌,443002

0 引言

支撐結構是一個復雜組合結構,承受著被支撐物的所有動態載荷和靜態載荷,其結構的設計對于整個裝置的性能起著重要的作用。支撐結構在傳統設計中,沒有考慮結構在運行過程中載荷與約束的變化,并且為保證其安全性,設計的結構剛度、強度有較大富余,這樣浪費了材料,增加了整體重量。為了改進設計方法,得到更優的結構形式,在綜合考慮多工況的基礎上進行了多目標的結構優化設計,在確保支撐結構強度、剛度的前提下,使得結構輕量化,達到減少材料用量,降低制造成本的目的。

結構優化設計有設計變量、約束條件和目標函數三要素。根據設計變量的不同,可分為尺寸優化設計、形狀優化設計和拓撲優化設計三個層次,尺寸優化是選取結構元件的幾何尺寸作為設計變量;形狀優化是選取結構的幾何特征作為設計變量;而拓撲優化則是選取結構的相對密度作為設計變量。優化的層次越高,優化工作越難。Mlejnek等[1]從工程角度出發提出了結構材料密度的冪次懲罰模型,通過在0～1離散結構優化問題中引入連續設計變量,并加入中間密度懲罰項,從而將離散結構優化問題轉換為連續結構優化問題,這一方法構成了后來密度法材料插值模型的基礎。Sigmund[2]對密度法材料插值模型進行了深入研究,從理論上研究了各種不同的密度法材料插值方法,提出了一種基于正交各向同性材料密度冪指數形式的變密度法材料密度插值理論,又稱為SIMP理論。隋允康等[3]提出了一種獨立連續映射模型方法,成功解決了多工況應力與位移約束下的桁架結構拓撲優化問題,并嘗試將此方法推廣到連續體結構拓撲優化中,研究了位移和應力約束下的連續體結構拓撲優化問題。本文以支撐結構為對象,通過建立優化設計的數學模型,研究了多工況下結構材料的最優布局和結構固有頻率最大化的優化問題。

1 基于變密度法的拓撲優化數學模型

1.1 基于變密度法材料插值模型

變密度法是從均勻化方法[4]發展而來的,它定義了一個經驗公式來表達每個單元的彈性模量與密度之間假定的函數關系,將材料的相對密度作為設計變量,結構的拓撲優化問題就轉換為材料的分布問題。變密度法[5]通過引入懲罰因子,假想一種相對密度在0～1之間可變的材料,并在材料的彈性模量和單元相對密度之間建立起顯式的非線性函數關系,當設計變量在(0,1)之間時,對中間密度值進行懲罰,使中間密度值逐漸向0/1兩端聚集,將密度值趨近0的密度單元忽略,密度值趨于1的單元保留。

材料插值模型的懲罰函數定義為

式中,Ei(x)為第i個單元的密度;E0為單元滿材料時的彈性模量;x為材料的相對密度;p為懲罰因子。

1.2 拓撲優化數學模型

在一定材料用量條件下,以密度函數來尋找最大剛度的結構材料最佳分布形式,以結構應變能為目標函數,體積為約束,相對密度為變量,基于變密度法的優化數學模型為

式中,x為設計變量,即式(1)中的材料相對密度;n為設計域中有限單元個數;C(x)為目標函數,表示結構的柔順度;K為結構的總體剛度矩陣;U為結構的總體位移向量;F為結構所受的載荷向量;V為結構優化后的體積;vi為結構單元體積;p0為給定材料用量比率;V0為初始結構體積;V*為體積上限;xmin為最小相對密度。

1.3 多工況應變能拓撲優化函數

通過對式(2)的迭代,得到結構在體積約束下某單工況載荷作用下產生的最小靜態應變能,結構的靜態應變能C可以通過下式表示[6]：

可以認為應變能是結構剛度的倒數,當載荷給定后,結構的應變能越小則表示系統的剛度越大。應變能必須與靜態子工況相關。當結構工作于多工況載荷時,每一個工況將對應一個剛度的最優結構拓撲,不同的載荷工況將得到不同的結構拓撲。因此,多工況拓撲優化問題屬于多目標拓撲優化問題。用折中規劃法[7]來研究多目標優化問題,構建的多工況拓撲優化目標函數為

式中,m為工況數;wk為第k個工況的權重;Ck(x)為第k個工況的子應變能優化目標函數;Cmkin為第k個工況子應變能目標函數的最小值,即在多目標問題中,只考慮其中一個目標函數,而暫不考慮其他子目標,但仍保留所有的約束條件得到的最佳解;Cmkax由優化迭代中第0步的初值得到。

1.4 多目標下的目標函數

多目標優化問題的目標函數[8]是一個由子目標構成的向量,用剛度和頻率兩個子目標作為優化主體,以體積作為約束,得到的多目標優化目標函數：

式中,Λ(x)為設置的第一階固有頻率優化變量;Λmax為單獨對第一階固有頻率優化得到的最大值;Λmin為對優化前的原模型進行分析得出的最小值。

2 模型算法與流程

2.1 子目標權重

分析層級法采用配對比較的方法,不同時比較所有的子目標,而是將子目標兩兩比較,形成配對比較矩陣。

本文中有四個子目標(三個剛度子目標A1、A2、A3和一個頻率子目標A4)的多目標優化問題,假設這四個子目標的重要性權重分別為 α1、α2、α3、α4。先比較出各個子目標重要性權重的兩兩相互比值,然后以這些比值作為元素,建立配對比較矩陣：

其中,矩陣A的元素aij(i,j=1,2,3,4)即為子目標Ai對A j的重要性比重的比值。可以發現,此比較矩陣是一對稱矩陣,對角線元素全為1,且此矩陣中的元素不具有一致性,即 aik=αi/αk≠(αi/αj)?(αj/αk),這種不一致性更加符合實際情況,且對主觀重要性的測量有“校調”作用。

將配對比較矩陣A右乘一個由所有子目標重要性權重值組成的向量 α=(α1,α2,α3,α4)T,則有：由上式可知,所有子目標重要性比重值所組成的向量α即是矩陣A的特征向量,求出此矩陣最大特征值對應的特征向量,就是所要求的各子目標的重要性的權重。

設三個剛度子目標 A1、A2、A3和頻率子目標A4相互間兩兩比值分別為

則配對比較矩陣為

求出的矩陣最大特征值為λmax=4.14,對應的特征向量為α=(0.22,0.55,0.34,0.72)T,此特征值即為四個子目標重要性的權重值。

2.2 結構拓撲優化迭代過程

在建立的材料插值模型基礎上,基于優化準則法的結構拓撲優化求解流程如圖1所示。

圖1 基于變密度法的拓撲優化流程圖

3 實例研究

以某俯仰裝置支撐結構為對象,初始結構如圖 2所示,上板長 1300mm,寬 1000mm,厚40mm,側板厚20mm,結構材料為Q235鋼。

圖2 初始結構模型

3.1 邊界條件

俯仰裝置在一個運動周期內是一個動態的過程,受到動態載荷的作用。本文分析俯仰運動中三個典型工況,通過動力學軟件提取載荷的最大值,作為靜態載荷加載在結構上,進行靜態應變能工況優化。三個工況分別是支架水平 0°、俯仰75°、俯仰37°。三個工況的載荷和約束情況如表1、圖 3 所示。

表1 三個工況下的載荷和約束

圖3 三個工況的載荷和約束情況

3.2 有限元模型的建立及分析結果

利用HyperWorks10.0軟件的Hypermesh前處理模塊進行有限元處理,然后在OptiStruct優化模塊環境下進行優化。根據支撐結構的板結構特點,將板殼結構通過抽取中面成為面單元,然后對面單元賦予厚度屬性,這樣可以提高計算結果精度和運算速度。

表2為優化前后的結果性能指標,圖4所示為多目標評價函數的迭代歷程,圖5所示為結構拓撲優化結果。

表2 優化前后結構性能指標對比

圖4 多目標函數迭代歷程

4 結論

(1)經過拓撲優化,結構在三個工況下的靜態應變能都得到了降低,對應的剛度得到了提升,一階固有頻率得到了提升,更加遠離了共振頻率區。

圖5 拓撲優化結果

(2)采用多目標的拓撲優化方法,能從多個角度較為全面地考慮結構的工作狀態,有效降低單一工況優化造成的設計風險。

(3)結構多目標拓撲優化方法適用于板殼類結構的優化設計,具有一定的工程應用價值。

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