明渠水力設計中的能耗極值假說

黃才安，趙曉冬，周濟人

（1.揚州大學水利科學及工程學院，揚州225009；2.南京水利科學研究院河流海岸研究所，南京210024）

明渠水力設計中的能耗極值假說

黃才安1，趙曉冬2，周濟人1

（1.揚州大學水利科學及工程學院，揚州225009；2.南京水利科學研究院河流海岸研究所，南京210024）

最小能耗率理論和最大能耗率理論是水力學及河流動力學研究中容易混淆的兩種假說。文章從明渠的最優水力斷面設計、臨界渠道設計、沖積河流河相關系3個方面出發，在理論上證明了能耗極值假說的存在，說明能耗極值假說取最小值和最大值與約束條件、已知條件之間的關系，并將計算結果與現有成果進行了比較。

能量耗散；極值假說；水力學；明渠水流

近年來，不同的極值理論和假設被用來解決流體力學、水力學及河流動力學問題。這些理論和假設常常將一個系統在一定約束條件下的某一個或幾個變量，進行極小化或極大化處理。采用極小化方法還是極大化方法，往往在學術上引起混淆，以致于人們對極值假說的有效性產生了懷疑。這些懷疑在很大程度上源于2點：一是對系統本身缺乏嚴格的定義；二是對優化過程中目標函數和約束條件及已知條件之間的關系缺乏認識。因此有必要進一步研究，澄清其中易混淆的概念。

能耗率極值原理可以敘述為：流體或摻有固體的多相流體，當處在一個獨立系統內，在給定的初始和邊界條件下流動時，任何時刻的某因變物理量總是這樣的分布，使得系統整體的能量耗散率隨時為一個極值。將這一原理在不同條件下，用數學形式表達出來，就構成了數學上的極值問題。能耗率極值原理有2種，一是以楊志達、張海燕［1-3］為代表的最小能耗率原理；二是以黃萬里［4-5］為代表的最大能耗率原理。

最小能耗率原理將動態平衡與靜態平衡相類比，認為對于一個在動力平衡狀態下的封閉耗散系統而言，其能量耗散率總是達到最小值，此最小值取決于系統的約束條件。但系統不是處于動力平衡狀態時，其能量耗散率就不是最小值，系統將進行自我調節，使得其能量耗散率達到最小，并重新達到平衡。對一般的均勻流輸水系統，其最小能耗率原理的數學表達式為

式中：ρ為水的密度；g為重力加速度；Q為流量；J為水力坡度。最小能耗率原理曾被廣泛用來研究沖積河流的泥沙運動與河床演變問題。

與最小能耗率原理相對應的是最大能耗率原理。這一原理認為，凡在運動中消散的機械能皆轉化為熱能，儲存在物體里，能量之消散在一定時刻一定溫度都使產熵增加，從而使能耗率達到最大。

從實際應用來講，究竟是取最小值還是最大值，并不影響數學上的求解，因為數學上取得最小或最大值的必要條件都是一樣的，對最終結果沒有影響。但從理論上來講，最小值和最大值是2個完全不同的概念，引起混淆將不利于極值假說的發展與運用。

文獻［6］以明渠水力學常見問題為例，探討了最小能耗率原理、最大能耗率原理與優化系統中目標函數、約束條件之間的關系。并對定床明渠水流情況下能耗率極值原理進行了分析，當式（1）流量Q已知，能耗率取極小值；而當式（2）能坡J已知時，能耗率取極大值。本文從一般明渠（含定床與動床水流）的水流方程出發，以矩形斷面河槽為例，說明約束條件的不同，對能耗率極值取向的影響，并給出嚴格的數學證明。

1 明渠能耗極值假說的理論分析

明渠水流的水流連續性方程為

式中：Q為明渠流量；A為過水斷面面積；V為斷面平均流速。

明渠阻力方程可由Manning公式表示

式中：n為明渠糙率；R為水力半徑；J為水力坡度。

結合式（3）和式（4），可得明渠水流方程

1）提防管理范圍內，嚴禁種植根系發達的植物，臨大堤較近的范圍種植高大喬木，應有隔根措施，防止發達根系破壞大堤的整體性。

對于矩形明渠，設其寬度為b，水深為h，則其寬深比為β=b/h，代入式（5）可得

式（6）為明渠水流的基本方程，也是研究能耗率極值原理的一個目標函數。由于明渠中的流量模數因此式（6）所表示的目標函數的物理意義就是流量模數。由于水深h根據約束條件的不同，目標函數可能取極大或極小值。根據不同的明渠水流特征，水深的約束條件可能與流量Q、能坡J、寬深比β、輸沙率Qs等因素有關，一般可表示為

下面分定床明渠、臨界渠道、動床渠道等3種情況，分別討論約束條件與目標函數極值之間的關系。

1.1 定床明渠水力最優斷面

明渠水力最優斷面的設計是定床水力學中的一個基本問題。對于矩形明渠，其斷面面積A與水深h的關系可表述為

式（8）為明渠水力最優斷面的設計中的約束條件，代入式（6）得

顯然，目標函數X的極值為

即當寬深比βm=2時，X取極值。又

即當寬深比βm=2時，X取極大值。而目標函數X中含3個物理量，即流量Q、能坡J和斷面面積A。在明渠糙率n一定時，可以得到以下3點結論：（1）若流量Q和斷面面積A已知，則能坡J取極小值；（2）若能坡J和斷面面積A已知，則流量Q取極大值；（3）若流量Q和能坡J已知，則斷面面積A取極小值。

根據上述分析，3種明渠水力最佳斷面定義所得到的結果一致，對于矩形明渠，其寬深比為2，與水力學中的結論完全一致［7］。

1.2 臨界渠道

臨界渠道（即不沖不淤渠道）設計，此時渠道邊界切應力處處等于泥沙起動切應力。為簡單起見，假定泥沙起動切應力在邊界上是相同的。對矩形明渠而言，其臨界渠道的約束條件為

式中:τc為泥沙起動切應力。式（12）可改寫為

代入式（6）得

顯然，目標函數Y的極值為

即當寬深比βm=2時，Y取極值。又

即當寬深比βm=2時，Y取極小值。由于泥沙起動切應力為已知，則目標函數Y僅是流量Q和能坡J的函數。在明渠糙率n及泥沙起動切應力τc一定，當流量Q為已知時，能坡J取極小值；而當能坡J為已知時，流量Q也為極小值。

說明在臨界渠道中無論在何種情況下，能耗率都取極小值。這是與定床明渠水流不同之處。同時得到的臨界渠道寬深比仍為2，與明渠水力最佳斷面一致。

1.3 動床渠道河相關系

動床穩定渠道即沖淤平衡渠道，有泥沙運動。此時的約束條件是輸沙方程，現有很多學者根據不同的物理概念或純經驗，提出了眾多輸沙方程，僅選擇一個有代表性的輸沙方程進行分析。這里以Engelund-Hansen公式［8-9］為例，該公式的精度相對較高。

式中：gs為以重量計的單寬床沙質輸沙率；ρs為泥沙的密度；d為泥沙中值粒徑；f和τ分別為阻力系數和床面切應力，其定義分別為

將式（18）和式（19）代入式（17），可得單寬輸沙率gs

將明渠流速公式（4）代入式（20），得到

將單寬輸沙率gs乘以明渠寬度b，即為斷面輸沙率Qs，并考慮寬深比，則

即

其中

將式（23）代入式（6）中，得到目標函數

顯然，目標函數Z的極值為

即當寬深比β=46/7時，Z取極值。又

即當寬深比βm=46/7時，Z取極小值。而目標函數Z中包含3個物理量，即流量Q、能坡J和輸沙率Qs。在明渠糙率n及泥沙粒徑d一定時，可以得到以下3點結論：（1）若流量Q和輸沙率Qs已知，則能坡J取極小值；

（2）若流量Q和能坡J已知，則輸沙率Qs取極小值；（3）若能坡J和輸沙率Qs已知，則流量Q取極大值。

結論（1）就是楊志達、張海燕等提出的最小能耗率［1-3］，結論（2）是White等提出的最大輸沙率［10］。而結論（3）是最小能耗率的又一種提法。說明在動床穩定渠道（即河相關系）設計中，能耗率取極小值。而其中得到的寬深比βm=46/7，是根據Engelund-Hansen輸沙公式得到的，不同的輸沙公式得到的寬深比不同，因此這一寬深比在具體動床穩定渠道設計中僅供參考。上述3個結論在不同的輸沙公式時一般均成立。

當采用含有泥沙起動切應力項的輸沙公式時，能同時得到臨界渠道和動床穩定渠道中的結論。由于其分析過程中的數學推導較為復雜，這里不作介紹。

2 結語

最小能耗率理論和最大能耗率理論是水力學及河流動力學研究中容易混淆的2種假說。本文從明渠水流運動的基本方程出發，對明渠設計中的能耗率極值假說作了進一步研究。從定床最優水力斷面設計、臨界渠道設計、沖積河流河相關系3個方面，指出能耗率極值假說是取最小值還是最大值與明渠水流的約束條件和已知條件有關，并給出了數學證明。

上述分析僅針對矩形明渠，其結論對其他斷面形式的明渠同樣適用。

［1］YANG C T，SONG C S.Theory of Minimum Rate of Energy Dissipation［J］.Journal of the Hydraulics Division，1979，105（7）:769-784.

［2］SONG C S，YANG C T.Minimum Stream Power:Theory［J］.Journal of the Hydraulics Division，1980，106（9）:1477-1487.

［3］CHANG H H.Fluvial Processes in River Engineering［M］.New York:Wiley-Interscience，1988.

［4］黃萬里.水動力學—熱動力學的極值定律［J］.應用數學和力學，1983，4（4）:469-476. HUANG W L.The Extremity Laws of Hydro-Thermodynamics［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1983，4（4）:469-476.

［5］黃萬里.連續介質動力學最大能量消散定律［J］.清華大學學報，1981，21（1）:87-96. HUANG W L.The Law of Maximum Rate of Energy Dissipation on Continuum Dynamics［J］.Journal of Qinghua University，1981，21（1）:87-96.

［6］黃才安，奚斌.水流能耗率極值原理及其水力學實例［J］.長江科學院院報，2002，19（5）:7-9. HUANG C A，XI B.Study on Extreme Theories of Energy Consumption and Its Hydraulic Examples［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2002，19（5）:7-9.

［7］吳持恭.水力學［M］.北京:高等教育出版社，1982.

［8］Engelund F，Hansen E.A Monograph on Sediment Transport in Alluvial Streams［M］.Copenhagen:Teknish Forlag，1967:1-62.

［9］黃才安.水流泥沙運動基本規律［M］.北京:海洋出版社，2004.

［10］White W R，Bettess R，Paris E.Analytical Approach to River Regime［J］.Journal of the Hydraulics Division，1982，108（10）:1179-1193.

Extremal hypotheses of energy dissipation used in open channel design

HUANG Cai-an1，ZHAO Xiao-dong2，ZHOU Ji-ren1
（1.College of Hydraulic Science and Engineering，Yangzhou University，Yangzhou 225009，China；2.Department of River and Ocean Engineering，Nanjing Hydraulic Research Institute，Nanjing 210024，China）

In hydraulics and river dynamics studying，there are two confused hypotheses:minimum energy dissipation rate theory and maximum energy dissipation rate theory.From hydraulic efficient cross-section，threshold channel design and hydraulic geometry of alluvial channel in open-channel flow，the existence of extremal value of energy dissipation rate was proved in this paper.Two extremal hypotheses depend on the constraint and given conditions were also proposed.The results were compared with the relating hydraulic theories.

energy dissipation；extremal hypotheses；hydraulics；open-channel flow

TV 133

A

1005-8443（2010）05-0330-05

國家自然科學基金（50779060）

黃才安（1966-），男，江蘇省江都人，教授，博士，主要從事水力學及河流動力學方面的研究。

Biography：HUANG Cai-an（1966-），male，professor.