鐵路實際線形測量與計算方法的研究

彭劍秋 劉成龍 彭 攀 劉 林

(西南交通大學土木工程學院, 四川成都 610031)

1 概述

鐵路建設不僅指新線建設同時還包括既有線的改建,而既有線的改建就涉及到鐵路實際線形的測量,目前通常采用軌檢尺結合全站儀的方法得到鐵路的相對線形。而鐵路實際線形的測量應該包括鐵路絕對線形和相對線形的測量,只有這樣才能全面評價鐵路線路的實際狀態和平順性。鐵路線路實際線形的測量與計算,一直是鐵路建設和管理的重要問題,也是鐵路線路測量技術中倍受關注的問題之一。為了得到既有鐵路的實際線形,需要建立全線統一的測量控制網,再在統一的測量控制網中測量線路離散點的坐標。有了鐵路線路直線段、圓曲線段和緩和曲線段的離散點坐標,就可以采用最小二乘原理,擬合出鐵路線路直線段、圓曲線段和緩和曲線段的實際線形,從而實現整條線路實際線形的測量和擬合計算。下面介紹按照上述思路進行鐵路線路實際線形測量和計算的原理。

2 軌道線形測量控制網的建立

軌道線形測量控制網是鐵路軌道線形測量的基礎,它關系到軌道實際線形測量的方法和精度。目前軌道線形測量控制網普遍采用分級布網的原則布設,一般情況下應分三級布設,分別為CPⅠ、CPⅡ和CPⅢ網。CPⅠ是軌道線形測量的首級平面控制網,點對間距一般為4 000 m左右,測量精度為GPS C級網；CPⅡ是軌道線形測量的二級平面控制網,點間距一般為1 000 m左右,測量精度為GPS D級網或四等附合導線,CPⅡ應附合到CPⅠ上；CPⅢ是軌道線形測量的三級平面控制網,對有砟鐵路而言點間距宜在150～200 m之間,測量精度為五等附合導線,CPⅢ應附合到CPⅡ上。CPⅢ控制點宜埋設在路肩上,以方便軌道的線形測量，軌道線形測量控制網宜在軌道線形測量前建網。有砟鐵路線形測量三級平面控制網布設如圖1所示。

圖1 有砟鐵路線形測量三級平面控制網示意(單位：m)

3 軌道點坐標的測量及其精度

為了反映既有軌道的實際線形,必須采集既有軌道上特定點的坐標。由于鐵路軌道的軌距定義為左右兩軌道頂面內側下方16 mm處的距離,因此既有軌道特定點的坐標,應該是軌道頂面內側下方16 mm處的坐標。為了測量軌道頂面內側下方16 mm處的坐標,必須設計制作專用的軌道坐標測量棱鏡支架,如圖2所示。將專用的軌道坐標測量棱鏡支架卡在軌道頂面,則圓棱鏡與軌道內側接觸的地方,剛好是軌道頂面內側下方16 mm處。由于圓棱鏡的半徑值是固定的已知值,因此只要測量出軌道上多個圓棱鏡中心的坐標,就可以反映所測軌道的線形。

圖2 軌道坐標測量棱鏡支架示意(單位：mm)

軌道點坐標的測量,可以依據軌道線形測量控制網,即在CPⅢ控制點上架設全站儀,用極坐標法測量出軌道上各點的平面坐標。下面分析極坐標法得到的軌道點坐標的測量精度。

由極坐標測量公式可知,軌道上任意一點的坐標xi、yi可以表示為

(1)

式中：XCPⅢ、YCPⅢ為測站點的坐標；S為測站點到棱鏡點的水平距離；A為設站點到后視點的坐標方位角；α為測站上測量得到的后視與前視方向間的夾角。

由式(1)微分并整理得

(2)

式中,ρ=206 265″。由誤差傳播定律可知,軌道點xi、yi，坐標的中誤差mxi、myi可以表示為

(3)

若不顧及CPⅢ控制點的點位誤差、后視方位角的中誤差、儀器對中和整平誤差,式(3)可以表示為

(4)

則實測軌道點的點位中誤差為

(5)

結合式(4)、式(5),當A+α=45°或135°時,sin2(A+α)=cos2(A+α),此時mxi=myi。

若以測角標稱精度為2″、測距標稱精度為2 mm+2×10-6D的普通全站儀測量軌道點坐標,同時考慮到CPⅢ控制點的點間距最大為200 m,把上述有關數據帶入式(4)、式(5),可計算出軌道點點位中誤差最大為±3.09 mm。

通過上面分析和精度估算可知,在CPⅢ控制點上設站,采用全站儀極坐標法測量鐵路軌道坐標實際上是可行的,而且測量精度較高,為鐵路的實際線形計算打下了良好的基礎。

4 軌道實際線形的計算原理

任意一條鐵路都是由直線、圓曲線、緩和曲線三種線元構成的,三種線元都可以視為不完整緩和曲線的特例。軌道實際線形的計算,就是采用上面介紹的方法,在線路坐標系下采集軌道某一線元上若干離散點的坐標,然后通過采集到的若干測量點坐標,擬合出該線元的線形,以及整條線路的線形。

下面將逐一介紹直線、圓曲線和緩和曲線三種線元線形擬合計算的數學模型。

4.1 直線線形擬合計算的數學模型

鐵路線路中最簡單的線元為直線,直線的線形擬合可按以下方法進行。由直線線元上采集得到的軌道點坐標以及數學公式可知,直線線元上某一點的誤差方程可寫為

yi=kxi+b+vi(i=1,2,…,n)

(6)

或

vi=yi-(kxi+b) (i=1,2,…,n)

(7)

由于直線線元上各點的觀測方程是按誤差方程的形式開列的,因此應采用間接平差的方法求出直線線元的擬合系數。由直線線元上采集的各點坐標及其誤差方程,可組成間接平差誤差方程的矩陣形式為

(8)

按最小二乘法原理[3],可得法方程為

(9)

式中,N=BTB,其秩為R(N)=R(B)=t,亦即N非奇異,存在凱利逆N-1,所以法方程的解唯一為

(10)

那么,待求直線線元參數的最優解為

(11)

4.2 圓曲線線形擬合計算的數學模型

鐵路線路需要轉變方向時,最主要的曲線線元是圓曲線,下面介紹圓曲線線形的擬合方法。由數學公式可知,圓曲線上任一點圓的標準方程為

(x-XO)2+(y-YO)2=R2

(12)

其中,(XO,YO)為圓心O的坐標；R為圓曲線的設計半徑。

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圓曲線上第i個測量點p(xi,yi)i∈(1,2,…n)到圓心的距離為

(13)

則Ri與R的差值為di=Ri-R,也即

[(xi-Xo)2+(yi-Yo)2]-R2=

(Ri+R)(Ri-R)=(Ri+R)di≈2Rdi

(14)

將上式整理后得

(15)

令上式中

上式中R0為圓曲線半徑R的近似值,則式(15)為

di=axi+byi+c-li

(16)

由圓曲線線元上測量的各點坐標及其上式,可組成圓曲線線形擬合計算誤差方程的矩陣形式(見式(8))。

根據最小二乘法原理和式(8),可求解出a、b、c；因而,可進一步求解出半徑R與圓心O的坐標(XO,YO)

(17)

4.3 緩和曲線線形擬合計算的數學模型

鐵路線路在直線和圓曲線之間,一般要加設緩和曲線。我國鐵路緩和曲線采用的參數方程為[1]

(18)

其中：xi、yi為緩和曲線上任意點i在以直緩點為坐標原點、以直緩點的切線方向為x軸和與x軸相垂直且方向指向曲線內側為y軸的局部坐標系中的坐標,li為該點到直緩點的緩和曲線長,l0為緩和曲線的全長。

根據參考文獻[1]以及有關數學知識,緩和曲線上任一點i在局部坐標系下的坐標yi,也可以表示為

(19)

其中,Xi、Yi為緩和曲線上第i點在線路坐標系下的坐標,k、b為線路坐標系下過直緩點切線的斜率與切距。由式(19)可知,在獲得緩和曲線上任一點的線路坐標和過直緩點切線的斜率以及切距的情況下,就可以知道該點在局部坐標系中的坐標yi。

根據式(18)中的第二式,緩和曲線上任一點i以及該點的下一點(i+1)的y坐標[1],還可以表示為

(20)

為開列誤差方程以及運用最小二乘擬合出緩和曲線的最佳線形,可將式(20)中的兩式整理為

(21)

(22)

將緩和曲線上采集的各點坐標及其曲線長近似值代入上式,就可組成緩和曲線線形擬合誤差方程的矩陣形式(見式(8))。

按最小二乘法原理,可得緩和曲線長的最優解為

按照上述方法測量和計算出鐵路線路直線、圓曲線和緩和曲線三個線元的線形,就可以得到整條線路的實際線形。

5 應用實例

基于上述鐵路實際線形的測量和計算原理,采用visual C#2003計算機語言編制了鐵路線路線形擬合計算程序。該程序在讀取線路上測量點的坐標數據后,能夠計算出鐵路線路實際線形的要素,包括圓曲線的半徑、緩和曲線長度、切線長、曲線長、外矢距、切曲差以及五大樁的坐標等。

為驗證本文所提出的鐵路實際線形計算方法的正確性,選取某段鐵路的設計線形并繪制在AUTOCAD上,然后提取該設計線形上的直線、緩和曲線和圓曲線上的離散點坐標,輸入到本文研制的鐵路線路擬合計算程序中,計算該段線路的圓曲線的半徑、緩和曲線長度、切線長、曲線長、外矢距、切曲差以及五大樁的坐標等線形參數,發現擬合計算的線形參數與設計的線形參數完全相等,由此證明本文提出的線形擬合計算模型在理論上是正確和嚴密的,所研制程序的計算結果也是正確的。

6 結論

(1)本文提出了一種鐵路軌道實際線形控制測量及其離散點坐標測量的思路和方法,理論分析表明該方法在目前具有較強的操作性,測量精度能夠滿足軌道線形測量和分析的要求,可以在鐵路軌道實際線形測量中推廣應用。

(2)利用在軌道上直接測量得到的離散點坐標,分別提出了軌道直線、圓曲線以及緩和曲線線形擬合計算的數學模型。理論分析和實驗計算結果表明,這些數學模型能夠擬合出鐵路常見直線和曲線的線形,可用于既有鐵路實際線形測量和新建鐵路竣工線形測量的線形擬合計算。

[1]王兆祥.鐵道工程測量[M].北京：中國鐵道出版社,2003：228-233.

[2]吳耀庭.鐵路曲線及其養護[M].北京：中國鐵道出版社,2001：47-48

[3]武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢：武漢大學出版社,2003：102-104

[4]張正祿.工程測量學[M].武漢：武漢大學出版社,2005：163-169

[5]彭壯志,虞欣.一種多圓目標的聯合檢測方法[J].測繪科技情報,2007(4)：3-7

[6]鐵建設[2006]189號 客運專線無砟軌道鐵路工程測量暫行規定[S]