從題目隱含信息中尋求解法的優(yōu)化、簡化及準確化

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

我們在解決有些數(shù)學問題時，會碰到這樣一種情況：一個問題如果按照常規(guī)思路很難去解決，即使能解決，也要大費一番周折，非常繁瑣.而這時我們?nèi)绻芨鶕?jù)問題的結(jié)構(gòu)特征及其已知條件中的數(shù)量關(guān)系，挖掘潛在的已知和未知間的信息，通過巧妙的構(gòu)造，就可以把問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的問題，從而使解答巧妙、簡捷、準確.以下是筆者的一些粗淺的體會.

一、挖掘隱含信息，使解法得以優(yōu)化

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

分析如果利用三角公式進行化簡和求值運算，需要降冪公式和和差化積公式，仔細觀察所給角的特征，我們發(fā)現(xiàn)隱含信息：38°,82°與60°正好構(gòu)成一個三角形的三個內(nèi)角，因此考慮構(gòu)造三角形利用正余弦定理求解.

解構(gòu)造△ABC,使得A=38°,B=82°,C=60°,設(shè)△ABC外接圓直徑為2R,則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

由正弦定理：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

例2已知直線l:(2+m)x+(2m-1)y-3m-1=0，和圓C：x2+y2-x-y-2=0,試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.

分析本題的常規(guī)思路有兩種：一利用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系;二是聯(lián)立方程組，消元后利用根的判別式判斷方程解的情況進而得到直線域圓的位置關(guān)系.但是兩種方法都面臨復雜的運算與化簡.這時如果換個角度審題，我們就會發(fā)現(xiàn)題目中隱含的重要信息，那就是直線過定點，只要判斷定點與圓的位置關(guān)系就可以順利解決本題.

解直線l:(2+m)x+(2m-1)y-3m-1=0的方程可化為

2x-y-1+m(x+2y-3)=0.

所以點A在圓C內(nèi).

所以過點A的直線l一定與圓C相交.

二、挖掘隱含信息， 使解法得以簡化

常規(guī)解法分類討論

(2)當1≤m

(3)當m<1

綜上,存在m=-2,n=0，使得f(x)的定義域和值域分別是[m,n]和[2m,2n].

解得m=-2,n=0.

例4 集合A={x|x2+2x-3>0}，B={x|x2-2ax-1≤0,a>0)，若A∩B中有且只有一個整數(shù)，求a的取值范圍.

分析如果我們設(shè)f(x)=x2-2ax-1,題目中包含兩個隱含信息：一是對稱軸x=a(a>0)，二是f(0)=-1<0.由對稱性可知x1<0

解A={x|x<-3或x>1}，由題意B≠?，f(0)=-1<0可知函數(shù)f(x)=x2-2ax-1有兩個零點，不妨設(shè)為x1,x2(x1

因為拋物線f(x)=x2-2ax-1的對稱軸為x=a(a>0)， 由對稱性可知x1<0

若x1<-3,則x2>3，則A∩B={x|x1≤x<-3或1

因此若要A∩B中有且只有一個整數(shù)，需2≤x2<3，此時A∩B={2}(如圖1),所以f(2)≤0且f(3)>0(如圖2).

三、挖掘隱含信息，使解題方法準確化

例5 已知3x2+2y2=6x，試求x2+y2的最大值.

正解由3x2+2y2=6x得

錯因只考慮了B是銳角，忽視了隱含信息：A和C也是銳角，導致B的范圍不精確.

四、挖掘隱含信息，使解題思路清晰化

分析這是一個二元目標函數(shù)的最值問題，從代數(shù)角度很難找到解題思路.這時我們仔細觀察目標函數(shù)的特征，就會發(fā)現(xiàn)隱含的解題信息：二元目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩條特殊曲線上的兩個動點間的距離，解題思路由此清晰.

問題轉(zhuǎn)化為：求橢圓D上一動點Q到圓C上一動點P的距離的最大值

顯然當PQ過圓C的圓心C時才可能取得最大值，即PQmax=PCmax+1

由此問題進一步轉(zhuǎn)換為求定點C(0,4)與橢圓上動點Q的最大距離問題

分析求根式函數(shù)的值域是一個難點，特別是雙根式函數(shù)，實際上如果我們養(yǎng)成解決函數(shù)問題先明確定義域的好習慣的話，就會發(fā)現(xiàn)隱藏的解題信息，利用三角代換，就可以把根式函數(shù)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問題處理.

例9 (浙江2015文 )若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是____.

分析習題咋一看很難，目標函數(shù)是一個二元雙絕對值函數(shù)，如何才能去絕對值呢？怎么分類討論呢？有點無從下手的感覺，實際上如果我們根據(jù)題干中隱含的信息作出可行域，就會發(fā)現(xiàn)原來問題比想象的簡單的多.

解析作出x2+y2≤1對應的區(qū)域，同時作出直線2x+y-4=0和直線x+3y-6=0(如右圖).由圖形結(jié)合線性規(guī)劃的知識可知：

x2+y2≤1對應的區(qū)域內(nèi)的任意一點(x,y)都滿足線性約束條件：2x+y-4<0且x+3y-6<0，

所以有：z=|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-(3x+4y).

問題轉(zhuǎn)化為：若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1，求目標函數(shù)z=10-(3x+4y)的最大值.

因為x2+y2≤1,

所以可設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ(r≤1).

所以z=10-(3x+4y)的最大值為15,故|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值為15.

從上述問題的解決過程中我們發(fā)現(xiàn)：解題時，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知的相關(guān)量進行定量分析，充分挖掘題目中的隱含信息，從中尋求解題思路的優(yōu)化、簡化、準確化乃至解題方向，避免無謂的分類討論或繁瑣的運算化簡，提高思維的變通性，使問題得以順利解決.