不確定性機器人的魯棒跟蹤控制

摘 要:提出一種基于新模型的機器人計算力矩魯棒跟蹤控制。首先利用反饋控制技術,把多關節機器人動力學模型轉化成一個線性狀態方程。然后基于此線性狀態方程,應用李雅普諾夫函數設計思想,針對不確定性有界的要求,設計連續魯棒補償控制器來抑制不確定性對機器人控制系統的影響。根據所選控制器中個別參數的不同,分別使機器人系統滿足全局指數穩定(GES),全局漸近穩定(GAS)和全局一致終值有界(GUUB)。

關鍵詞:機器人;魯棒控制;指數穩定;漸近穩定;終值有界

中圖分類號:TP242文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)19-116-03

Robust Tracking Control for Uncertain Robot

ZHOU Jinglei

(Heze University,Heze,274000,China)

Abstract:A new kind of computed torque robust tracking control for robots based on a new model is proposed.First,the robotic dynamical model is transformed into a linear state equation via feedback control technique.Then,based on the linear state equation together with the Lyapunov stability theory,the robust compensated controller corresponding to the bounded uncertainty is designed to attenuate the effect of unexpected uncertainty to robotic control systems.With the different parameter selected in the controller,the robotic systems can achieve Globally Exponentially Stable (GES),Globally Asymptotically Stable (GAS) and Globally Uniformly Ultimately Bounded (GUUB).

Keywords:robot;robust control;exponentially stable;asymptotically stable;ultimately bounded

0 引 言

過去一二十年里,對于不確定性機器人控制系統得到了廣泛的研究,產生了多種控制方法,有基于計算力矩控制[1-3],有基于自適應控制策略[4,5],也有基于神經網絡控制方法[6,7]等。自適應控制和神經網絡控制屬于智能控制范疇,就目前而言,設計這方面的控制器還有一定的難度和復雜度,而基于計算力矩控制器,其理論簡單,設計方便,這就是為什么在大多數應用場合還會選擇這方面控制器的原因,這也使研究機器人的計算力矩控制器有著重要的意義。文獻[1,2]給出了一種不確定性機器人的魯棒跟蹤控制策略,通過改變控制器個別參數的取值范圍,可以達到三種穩定性結果:GES,GAS和GUUB。不過文獻[1,2]所設計的控制器有需要改進的地方:上述文獻對于機器人動力學模型轉化的結果是一個復雜的模型,那么針對復雜模型所設計的控制器也將是復雜的;上述文獻所設計的控制器都是一分段控制器,這樣在不斷切換過程中將會產生一定的抖振現象。基于此,本文應用反饋控制理論將機器人動力學模型轉化為一個簡單的模型,然后設計出一連續控制器。理論和仿真證明,當改變控制器的個別參數,本文設計的控制器也能夠得到上述三種穩定性結果。

1 數學準備

引理1 設A,B為向量或矩陣,若有:

‖A‖≤a,‖B‖≤b

那么必有:

‖AB‖≤ab,A,B為合適維數的矩陣;‖ATB‖≤ab;A,B為相同維數的列向量。

引理2(指數穩定性定理) 考慮如下非線性動態系統:

=f(x,t),x(t0)=x0, x∈Rn(1)

如果存在連續可微的正定函數V(x,t)及正常數λi(i=1,2,3),ε和α(α>λ3/λ2),使對于(x,t)∈Rn×R,有:

λ1‖x‖2≤V(x,t)≤λ2‖x‖2,

(x,t)≤-λ3‖x‖2+εe-αt

則系統狀態x(t)是按指數收斂的,并且有:

‖x(t)‖≤V(x0)λ1+ελ1(α-2β)1/2e-βt

式中:指數收斂率為β=λ3/(2λ2)。

引理3(漸近穩定性引理) 對于系統式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+φ(t),φ(t)>0

且有limt→∞ φ(t)=0,則系統狀態x(t)是全局漸近收斂的。

引理4(終值有界性引理) 對于系統式(1),如果有:

(x,t)≤-λ3‖x‖2+ε

則系統狀態x(t)是終值有界的,并且有:

‖x(t)‖≤λ2λ1‖x(0)‖e -λt+λ0(1-e -λt )1/2

式中:λ0=ε/(λ1λ),λ=λ3/λ2。

2 機器人系統描述

基于拉格朗日方程的n關節機器人動力學模型可由下面二階非線性向量微分方程來描述:

M(q)+C(q,)+G(q)=τ+f(2)

式中:q,,∈Rn為關節的位移、速度及加速度;τ∈Rn為廣義關節力矩向量;M(q)∈Rn×n為機器人的慣性矩陣;C(q,)∈Rn×n為離心力、哥氏力的非線性耦合矩陣;G(q)∈Rn為重力項;f∈Rn為外部不確定性干擾。該機器人模型具有如下性質(有界性)[8]:M(q)為對稱正定矩陣,且對于所有的q都是有界的,即存在正數λm≤λM滿足如下不等式:

λm≤‖M(q)‖≤λM

對于外界不確定性干擾需要滿足假設,即假設外界不確定性干擾f有界。

3 控制器設計

令h(q,)=C(q,)+G(q),則式(2)變為:

M(q)+h(q,)=τ+f(3)

定義機器人跟蹤誤差e=q-qd(qd為機器人的期望運動軌跡,為二階可導)。把誤差代入式(3)可得:

M(q)(+d)+h(q,)=τ+f(4)

選擇如下魯棒控制律:

τ=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)+M(q)u(5)

式中:Kv,Kp為選定的正定增益陣,分別可理解為微分和比例增益。為簡便起見,往往都可設其為對角陣。不難發現,上述所選擇的控制律可以被看成是由兩部分組成的,不妨稱第一部分為前饋控制,它只與自身的結構有關;第二部分為反饋控制,它包含外界控制輸入量。把這兩部分分別記為:

τff=M(q)(d-Kv-Kpe)+h(q,)

τfb=M(q)u

當不存在外界不確定性干擾時,該機器人系統稱為標稱系統,在這種情況下,只用前饋控制就能保證系統的穩定性。本文將要考慮不確定干擾,這種情況下僅用前饋作用就不能保證穩定性,因此需要反饋控制來抵消不確定性干擾的影響,以增強系統的魯棒性,那么下面的目的就是設計控制輸入u,使得機器人系統滿足一定的穩定性目的。

由式(3)～式(5)得到系統誤差動態方程:

M(q)(+Kv+Kpe)=M(q)u+f

進一步可將其轉化成如下狀態方程:

=Ax+Bu+BM-1(q)f

x=e,A=0 I-Kp-Kv,B=0I

如果再令d=M-1(q)f,則得到更簡單的線性狀態方程:

=Ax+Bu+Bd(6)

由于A是穩定陣[9],根據李雅普諾夫函數穩定性理論可知,對于任意給定的正定矩陣Q存在正定矩陣解P滿足下面的李雅普諾夫方程:

ATP+PA=-Q(7)

根據M(q)的有界性和對外界干擾f所做的假設,則能夠找到一個正常數ρ滿足不等式(8):

‖d‖=‖M-1(q)f‖≤ρ(8)

由上面的描述,能夠建立下面的結論。

定理1 對機器人動力學模型所轉化成的模型式(6),采用如下連續魯棒控制律:

u=-BTPxρ2‖xTPB‖ρ+Ψ(t),Ψ(t)>0,衪>0(9)

當Ψ(t)分別滿足引理2中Ψ(t)=εe-αt,引理3中limt→∞Ψ(t)=0和引理4中的Ψ(t)=ε或者limt→∞Ψ(t)=ε時,系統可以分別達到三種不同的穩定:GES,GAS和GUUB,顯然滿足GES也必滿足GAS。式中P為李雅普諾夫方程(7)的正定解。

證明:

對于系統(6)構造如下李雅普諾夫函數:

V(t,x)=12xTPx

顯然有:

λmin(P)‖x‖2≤‖V(t,x)‖≤λmax(P)‖x‖2

λmin(P)和λmax(P)分別是矩陣P的最小和最大特征值。

沿由系統(6)和(9)組成閉環系統的解軌跡,對李雅普諾夫函數V(t,x)進行微分得:

(t,x)=12()TPx+xT12P

= 12xT(ATP+PA)x+xTPB(u+d)

把式(7)和式(9)代入上式,并進行簡單的通分化簡即可得到:

(t,x)≤-12xTQx+‖xTPB‖ρ‖xTPB‖ρ+Ψ(t)Ψ(t)

進一步化簡得:

(t,x)≤-12λmin(Q)‖x‖2+Ψ(t)

式中:λmin(Q)為矩陣Q的最小特征值。

當Ψ(t)分別滿足上述引理2～引理4中的不同條件時,那么就會使系統滿足不同的穩定,結論得證。

4 舉例仿真

以兩關節機器人機械手為例[10],說明所設計控制器的有效性。這里取期望軌跡為:

qd1=0.5sin t+0.1sin 3t-0.2sin 4t

qd2=0.1sin 2t+0.2sin 3t-0.1sin 4t

誤差初始值為:

e(0)=-1.0-0.5T,(0)=0.5-0.5T

再令Kp=diag(4,4),Kv=diag(2,2),Q=I4,ρ=2,λ1=10,λ2=6,λ3=3,α=5,φ(t)=1/(10t+1),f=[0.5sin t0.5sin t]T。仿真結果如圖1所示。

圖1 軌跡的誤差仿真曲線

圖1中每個圖都是仿真關節1的誤差曲線,從圖中不難看出它們都取得了很不錯的結果。具體說來,第一個控制器(保證系統指數收斂)是最好的,使得系統狀態收斂速度既快又精確,第三個的收斂速度和精確度就稍遜一點,不過能夠通過選擇收斂速度更快的函數φ(t)和更小的常數ε,使得GAS和GUUB更快,更精確。這里,選取圖1(a)中ε=6,圖1(c)中ε=0.005。

5 結 語

首先利用反饋控制技術把基于拉格朗日方程的機器人動力學模型轉化成一個線性模型,然后利用現代控制理論中李雅普諾夫函數思想設計出一個連續的魯棒控制器,通過改變控制器中個別參數能夠使機器人系統分別達到了三種穩定性要求,即GES,GAS和GUUB。理論和仿真均說明該文中的方法和控制器都是有效的,這種方法還能夠用于其他方面的控制器設計中。

參考文獻

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