高斯脈沖調制Chirp信號分數階Fourier變換的解析表示

范 瑜,陳 蘭

摘 要:分數階Fourier變換是Fourier變換的一種廣義形式,揭示了信號從時域到頻域變化過程中所呈現的特征,運用FrFT分析Chirp信號具有極佳的能量積聚效果。介紹分數階Fourier變換的基本定義,給出高斯脈沖Chirp信號的FrFT以及最優化高斯脈沖Chirp信號分析角度,對于該類信號的低噪聲檢測與參數估計具有良好的應用前景。

關鍵詞:Fourier變換;分數階Fourier變換;Chirp信號;高斯脈沖調制Chirp信號

中圖分類號:TN911文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)17-069-04

Fractional Fourier Transform of Gauss Pulse Modulated Chirp Signal and

Its Analytical Representation

FAN Yu1,CHEN Lan2

(1.Changshu Institute of Technology,Changshu,215500,China;2.Software Institute,Southeast University,Suzhou,215123,China)

Abstract:Fractional Fourier transform is a version of generalized Fourier transform,which reveals the features of signal from time and frequency simultaneously.The analysis of Chirp signal using FrFT can bring excellent energy accumulation effect.The definition of fractional Fourier transform is presented.Fractional Fourier transform of Gauss pulse Chirp signal is analyzed and the design of optimal angle is also studied in Gauss pulse modulated Chirp signal analysis,which have a good future in signal detection and parameter estimation when in low signal noise ratio situation.

Keywords:Fourier transform;fractional Fourier transform;Chirp signal;Gauss pulse modulated Chirp signal

0 引 言

Fourier變換(Fourier Transform,FT)作為最主要的信號分析工具主要用于處理頻率不隨時間變化的平穩信號,在時頻平面時間軸與頻率軸相互垂直,即Fourier變換是從時間域旋轉π/2到頻率域。但是Fourier變換通常無法表述信號的時頻域性質,不能表示某種頻率分量發生在哪個時間,而這種性質恰恰是非平穩信號最關鍵的性質,這對非平穩信號十分重要。分數階Fourier變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)是Fourier變換的一種推廣形式,揭示了信號從時間域到頻率域變化過程中所呈現的特征,即從時間域和頻率域同時表示信號旋轉π/2分數倍時的特征,從而克服了傳統Fourier變換不能反映非平穩信號的統計量隨時間變化的缺陷[1-4]。

分數階Fourier變換是一種線性變換,與經典的Fourier變換有著天然的聯系,又提供了Fourier變換所不具備的某些特點,而且它與小波變換、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的關系[3],因此近年來分數階Fourier變換受到了研究者的廣泛關注,相應的離散變換算法也相繼提出[4]。此外,有關分數階Fourier變換應用的研究也越來越多,如[5-10]等文獻就介紹了分數階Fourier變換在信號處理和通信系統方面的應用。

線性調頻(Chirp)信號是一種典型的非平穩信號,它的瞬時頻率隨時間呈線性變化,常見于雷達、聲納和移動通信等系統中。對Chirp信號的研究,是非平穩隨機信號處理理論及方法的基礎。研究證明,分數階Fourier變換就是一種很適合處理Chirp信號的變換。近年來,將分數階Fourier變換用于線性調頻信號(包括時不變、時變幅度線性調頻信號)的檢測和參數估計引起了越來越多的關注[11,12]。本文介紹了FrFT的定義、性質和簡單應用,分析了高斯脈沖Chirp信號的FrFT以及最優化分析角度的選取問題。

1 分數階Fourier變換的基礎

分析和處理平穩信號最常用和最主要的方法是Fourier變換(FT)。Fourier變換建立了信號整個時域與整個頻域的對應關系,其中:

X(ω)=1/2π∫∞-∞x(t)e-jωtdt(1)

x(t)=1/2π∫∞-∞X(ω)ejωtdt(2)

時域和頻域構成了分析一個信號的兩種表達方式,Fourier變換在整體時域上將信號分解為不同的頻率分量,但它沒有將時域和頻域組合成一個域,不能提供時間和頻率的聯合信息。譜X(ω)只是顯示任一頻率ω包含在信號x(t)內的總強度,無法表述信號的時頻域性質,不能表示某種頻率分量發生在哪個時間,而這種性質恰恰是非平穩信號中的最根本和最關鍵的性質。如果x(t)是由幾個非平穩分量組成的,那么時間上的任何變化都會改變X(ω)。此時,傳統的Fourier變換就不能滿足信號分析的要求了。

時頻分析的基本思想就是設計時間和頻率的聯合函數,用它描述信號在不同時間和頻率上的能量密度或強度,從而克服傳統Fourier變換不能反映非平穩信號的統計量隨時間變化的缺陷。分數階Fourier變換(FrFT)是借用時頻面的概念,以時間和頻率分別為橫軸和縱軸,旋轉一定的角度進行的一種線性變換。

傳統的Fourier變換X(ω)就是x(t)旋轉π/2,即x(t)由時間軸t變到頻率軸ω的表示形式。令:

α=pπ/2(3)

并且定義線性算子:

Rα=Rpπ/2(4)

記作Fp。F2相當于t軸連續兩次逆時針旋轉π/2,得到x(-t);F3相當于t軸連續三次逆時針旋轉π/2,得到指向-ω軸的函數;F4表示t軸連續四次逆時針旋轉π/2,得到原函數。因此線性算子Rα有以下數學性質:

(1) 零旋轉:

R0=x(t)(5)

(2) 與Fourier變換等價:

Rπ/2=F[x(t)](6)

(3) 旋轉相加性:

RαRβ=Rα+β(7)

(4) 2π旋轉(恒等變換):

R2π=x(t)(8)

如果角度α以π/2的非整數倍進行旋轉,則得到函數x(t)的廣義Fourier變換,記作:

{Rαx}(u)={Fpx}(u)=Xp(u)(9)

這就是x(t)的分數階Fourier變換:

Xp(u)={Fpx}(u)=∫∞-∞x(t)Kp(t,u)dt(10)

式中:變換核Kp(t,u)定義為:

Kp(t,u)=1-jcot α2πejt2+u22cot α-jutcsc α, α≠nπ

δ(t-u), α=2nπ

δ(t+u),α=(2n+1)π(11)

式中:n為整數。

從以上的定義可以看出,分數階Fourier變換是經典Fourier變換的廣義形式,它包含了信號的時間域和頻率域表示。旋轉角度為π/2時,即階數為1的分數階Fourier變換就是傳統的Fourier變換;不旋轉或旋轉的角度為2π的整數倍則為信號本身;當旋轉角度不在以上兩個位置即p為分數時,它同時從時間域和頻率域給出了信號的特征。在討論分數階Fourier變換時,由于角度以2π為模,所以只需要考慮0≤p≤2的旋轉階數。α角度的分數階Fourier反變換對應著-α角度的分數階Fourier變換,即:

x(t)=∫∞-∞Xp(u)K-p(t,u)du(12)

Fourier變換在線性系統分析、光學系統、信息處理系統等方面起著核心作用,并應用于眾多的工程技術領域。作為廣義Fourier變換,FrFT具有比Fourier變換更普遍的特性和更廣的應用場合,尤其是普通Fourier變換技術不能解決問題的場合,FrFT更顯其優越性。在FrFT研究的啟示下,許多學者推廣了分數階的概念,得到分數階卷積和分數階相關,還把分數階的概念應用到Hadamard變換、Hartley變換等,得到相應的分數階變換。而且,分數階Fourier變換已應用到圖象處理的優化圖象恢復方面。此外,將分數階Fourier變換算子的分數冪推廣至復數冪也成為目前研究的一個熱點。

在20世紀90年代中期,分數階Fourier變換被引入了信號處理領域。在信號處理中,FrFT有很多應用,其中兩個典型的應用是信號濾波和信號分離[5]。實驗已經證實分數階Fourier變換濾波的效果明顯優于Fourier變換;特別是對于線性調頻Chirp信號,分數階Fourier變換能夠獲得最佳的能量積聚效果,是分數階Fourier變換最合適的應用領域之一。

2 高斯脈沖Chirp信號的分數階Fourier變換

線性調頻Chirp信號是一種特殊的非平穩信號,它的瞬時頻率隨時間呈線性變化,廣泛地出現在通信、雷達、聲納和地震勘探等系統中。在工程實踐中,高斯調制Chirp信號有著廣泛的應用,而FrFT對于Chirp信號良好的檢測和分析效果自然讓我們想到能否將此分析用具引入到高斯調制的Chirp信號分析中。本文對此進行了深入研究,給出了相關解析結果。

高斯信號的標準形式為:

f(t)=12πδ2e-(t-t0)22δ2(13)

這是一個服從正態分布(t0,δ)的函數,它的Fourier變換和分數階Fourier變換都具有高斯信號的形式[12]。利用已有的這些性質,可以研究高斯脈沖Chirp信號的分數階Fourier變換。

令高斯脈沖Chirp信號為:

x(t)=e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)(14)

將高斯脈沖Chirp信號寫成幅度和相位的函數,得到:

x(t)=x(t)ejθ(ω)(15)

其中:

x(t)=abs(e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c))=e-(t-t0)22δ2

θ(ω)=at2+bt+c(16)

式(14)所表示的高斯脈沖Chirp信號的分數階Fourier變換為:

Xp(u)=1-jcot α2πeju22cot α∫e-(t-t0)22δ2ej(at2+bt+c)ejt22cot αe-jutcsc αdt

=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2∫e-[(12δ2-ja-jcot α2)t2-(t0δ2+jb-jucsc α)t]dt

=P∫e-(M2t2-2MNt)dt(17)

其中:

P=1-jcot α2πejceju22cot αe-t202δ2

M=12δ2-ja-jcot α2

N=t0δ2+jb-jucsc α12δ2-ja-jcot α2(18)

所以式(17)化為:

Xp(u)=P∫e-(M2t2-2MNt+N2-N2)dt

=PeN2∫e-(Mt-N)2dt(19)

令Mt-N=Q,則t=Q+NM,dt=dQM,因此得到:

Xp(u)=PeN2M∫e-Q2dQ(20)

然后取積分限為(-∞,∞),由于∫∞-∞e-Q2dQ =π,所以可得:

Xp(u)=πPeN2M(21)

再將P,M,N的值代入式(21)得:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t202δ2?

112δ2-ja-jcot α2et0δ2+jb-jucsc α22δ2-j4a-j2cot α(22)

將(t0/δ2+jb-jucsc α)22/δ2-j4a-j2cot α的分子分母同時乘以2/δ2+j4a+j2cot α,則式(22)化為:

Xp(u)=1-jcot α2ejceju22cot αe-t20 2δ2112δ2-ja-jcot α2?

et0δ2+jb-jucsc α22δ2+j4a+j2cot α4δ4+(4a + 2cot α)2(23)

若t0=0,可以得到:

Xp(u)=1-jcot α2112δ2-ja-jcot α2?

ejceju22cot αe-j(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2e-2δ2(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(24)

將Chirp信號的分數階Fourier變換寫成幅度和相位的函數,得到:

Xp(u)=Xp(u)ejρ(ω)(25)

因為ejA=1,在計算Xp(u)的幅值時可以忽略所有模為1的部分,這樣就能得到:

Xp(u)=

abs1-jcotα2112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](26)

令: σ2=sin2α[1δ2+δ2(2a+cot α)2](27)

得:

Xp(u)=abs1-jcot α2

112δ2-ja-jcot α2e-(u-bsin α)22σ2(28)

由式(24)和式(25)得:

ejρ(ω)=ejc+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(29)

因此Xp(u)的相位:

ρ(ω)=c+u22cot α-(4a+2cot α)(ucsc α-b)24δ4+(4a+2cot α)2(30)

由式(28)可得Xp(u)具有高斯函數的形式,服從正態分布(bsin α,σ2)。當方差σ2最小時,高斯脈沖Chirp信號的分數階Fourier變換Xp(u)的能量最大,因此這時的α就是最優化角度αopt。從式(27)可知,σ2最小時,有2a+cot αopt=0,即:

αopt=-arctan12a(31)

同樣,由式(3)可知,此時Xp(u)的最優化階數popt為:

popt=-2πarctan12a(32)

由式(31)和式(32)對比文獻[12]可得,Chirp信號和高斯脈沖調制Chirp信號的αopt,popt是一樣的,這說明加上高斯窗的Chirp信號(即高斯脈沖Chirp信號)的最優化參數并沒有改變。這就為高斯Chirp信號的FrFT最優化分析奠定了堅實的理論基礎,可以充分利用FrFT對于LFM信號最優的能量積聚性質,將其應用于高斯Chirp信號的分析中,在低信噪比的環境中這一點更具有實際意義。

3 結 語

分數階Fourier變換是Fourier變換的廣義形式。作為一種新的時頻分析工具,分數階Fourier變換既與經典的Fourier變換有著天然的聯系,又提供了Fourier變換所不具備的某些特點,而且它與小波變換、Wigner-Ville分布(WVD)都有密切的關系[12,13],是一種很適合處理線性調頻Chirp信號等非平穩信號的變換。

在Chirp信號的檢測和參數估計方面,分數階Fourier變換具有重要的應用價值。尤其是它所具有的線性特性,可以方便地用于多分量線性調頻信號的檢測和參數估計而不受交叉項的干擾,大量被用于恒定幅度的線性調頻信號,并取得了良好的效果。事實上,時變幅度線性調頻信號在工程實際中有著更為廣泛的應用背景,在工程實踐中,會遇到很多經過幅度調制的線性調頻信號,其中的高斯窗調制就是典型的一種。

從分析結果看,經過高斯窗調制的Chirp信號保持了原本的特性,在FrFT這個分析工具下能夠獲得優異的性能。

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