基于多小波的圖像壓縮

王秀碧

摘 要:多小波以其具有正交性、對稱性、短支撐和較大的消失矩等多個良好特性彌補了單小波的不足。在介紹多小波理論的基礎上,提出一種新的圖像壓縮方法。該方法以CL多小波為基礎,結合SPIHT圖像壓縮算法,對多小波系數進行壓縮處理。采用Matlab 6.5進行實驗,實驗結果表明,經該算法壓縮后的圖像,其質量優于一般小波變換的傳統方法。

關鍵詞:小波變換;多小波;SPIHT;圖像壓縮

中圖分類號:TP292.42文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)12-073-03

Image Compression Based on Multi-wavelet

WANG Xiubi

(Sichuan University of Science & Engineering,Zigong,643000,China)

Abstract:Multi-wavelet has many good chatacters such as orthogonality,short support,more vanishing moments,which makes up for the shortcoming of scalar wavelet.Based on introducing multi-wavelet,a new image compression method is proposed,which based on CL multi-wavelet,adopting the SPIHT,carrying on compression on the coefficient of multiwavelet.Simulated by Matlab 6.5,experimental results indicate that the quality of image is better than traditional method.

Keywords:wavelet transform;multi-wavelet;SPIHT;image compression

0 引 言

小波分析是近年來發展起來的新算法。Matlat將小波分析用于信號處理,提出了多分辨率分析的概念,給出了信號分解和重構的算法,從此開始了小波分析在圖像處理中的應用研究。多小波是小波理論的新發展,多小波是指由兩個或兩個以上的函數為尺度函數生成的小波。多小波之所以受到世人矚目,主要原因是它既保持了單小波的諸多優點,又克服了單小波的缺陷,在實際應用中可以把十分重要的光滑性、緊支性和對稱性等完美地結合在一起。這里將充分利用多小波分解系數的結構,采用SPIHT圖像壓縮算法,對多小波系數進行壓縮處理,得到一種比較有效的多小波圖像壓縮方法。

1 多小波理論

將標量域上的濾波器組和多小波拓展到矢量域上,就可以得到具有一般性的矢量小波,即多小波。對應的尺度方程和小波方程如下:

Φ(t)=∑kHkΦ(2t-k)

Ψ(t)=∑kGkΦ(2t-k)

式中:Φ(t)=[φ0(t),φ1(t),…,φr-1(t)]T;Ψ(t)=[ψ0(t),ψ1(t),…,ψr-1(t)]T;Hk,Gk分別為r×r的矩陣尺度濾波器和矩陣小波濾波器。當且僅當兩個矩陣濾波器具有有限長時,函數Φ,Ψ具有緊支集。

給定一個函數f(x)∈L2(R),由多小波系數就可以給出函數的多分辨率分析(MRA)。設f=f0∈V0,則正交多尺度函數和正交多小波函數的性質為:

V0=W-1⊕V-1=…=W-1⊕…⊕WL⊕VL

由于V0=span{φl(-k),0≤l≤r-1,k∈Z},所以f(t) = ∑k∑r-1l = 0c(0)l,k φl (t-k),f(t)。可以更進一步表示為:

f(t) = ∑k∑r-1l = 0c(-1)l,k φl (2-1t-k) +

∑k∑r-1l = 0d(-1)l,k ψl (2-1t-k) = …=

∑k∑r-1l = 0c(L)l,k φl (2Lt-k) +

∑-1j = L∑k∑r-1l = 0d(j)l,k ψl (2jt-k)

由此可以得到多小波的分解算法和重構算法。

分解算法:

Cj-1,n=∑kHk-2nCj,n;Dj-1,n=∑kGk-2nCj,n

重構算法:

Cj,n= ∑kHTn-2k Cj-1,k+ ∑kGTn-2k Dj-1,k

2 SPIHT算法原理

SPIHT算法把待量化編碼的小波系數分成3個集合:不重要集LIS,不重要象素集LIP和重要像素集LSP。通過初始化、分類、細化和量化步長更新等4個子過程完成嵌入編碼。根據空間方向樹結構,SPIHT算法將集合的分割策略定義為:

Z(i,j)=C(i,j)+D(i,j)

D(i,j)=O(i,j)+L(i,j)

L(i,j)=∑D(k,l)(1)

式中:(k,l)∈O(i,j);Z(i,j)為空間方向樹;C(i,j)為樹上任一節點;D(i,j)表示節點C(i,j)中所有后代(子孫)的坐標集合;O(i,j)表示節點C(i,j)中直接后代(兒子)的坐標集合;L(i,j)表示節點C(i,j)中除直接后代(兒子)外所有后代坐標的集合。

SPIHT算法編碼過程通過LIP,LIS,LSP三張鏈表跟蹤小波系數集合的重要性測試和集合分割情況。把小波圖像按空間方向樹的結構組織編碼,編碼過程中,三張鏈表動態更新,小波系數集合重要性測試Sn(T)的定義如式(2)所示。式中T為測試的坐標集合,如:Sn(i,j)是測試節點(i,j)系數的重要性;Sn[D(i,j)]是測試節點(i,j)的所有子孫節點中是否存在的重要系數。

Sn(T)=1,max(i,j∈Γ){|T(i,j)|}≥2n

0,max(i,j∈Γ){|T(i,j)|}<2n (2)

編碼步驟:

(1) 初始化

設置初值n=log2[max(i,j∈C)|T(i,j)|];設置LIP為H中所有元素;設置LIS為H中所有元素,并以D型命名;設置LSP為空元素表。

(2) LIP表處理

檢查LIP鏈表中的每個元素,根據式(2)輸出Sn(i,j)的值。若Sn(i,j)=1,則輸出T(i,j)的符號位,并移(i,j)至LSP的表尾。

(3) LIS表處理

檢查LIS鏈表中的每個元素,當元素為D型,根據式(2)輸出Sn[D(i,j)]的值。若Sn[D(i,j)]=1,檢查O(i,j)中每個元素并根據式(2)輸出,把輸出為1的元素加入LSP表尾并編碼其符號位;把輸出為0的元素加入LIP表尾。若L(i,j)為空元素,則把(i,j)元素從LIS表中刪去;若L(i,j)不為空元素,則把O(i,j)中每個元素以L型命名加入LIS表尾;若元素為L型,則根據式(2)輸出Sn[L(i,j)]。若Sn[L(i,j)]=1,從LIS表中刪去(i,j)元素,并將O(i,j)中的每個元素以D型命名加入LIS表尾。

(4) LSP表處理

檢查LSP表中的每個元素,輸出表中元素小波系數在第n層的數值。

(5) 當n=n-1時,若編碼率沒有達到指定要求,返回步驟(2)重復此過程;若編碼率已達到指定要求,編碼結束。

3 基于多小波的SPIHT算法

根據前面分析的SPIHT算法,結合多小波,設計出一個可分級圖像編碼系統。該系統包括圖像多小波變換、SPIHT編碼和算術編碼等幾個部分。系統流程圖如圖1所示。

圖1 圖像編/解碼框圖

與傳統小波相比,CL多小波具有更為優良的屬性:CL多小波的尺度函數和小波函數均具有緊支撐屬性,使其具有良好的局域性;尺度函數分別與小波函數對稱和反對稱,保證其具有線性相位;正交性使其變換后保持能量恒定等。對其進行平衡處理后不僅可使2個低通濾波器和兩個高通濾波器的響應分別重合,還可較好地改善系統本身低通、高通濾波器的響應性能。

4 試驗及仿真結果分析

本文用Matlab中Woman來進行試驗,采用Matlab 6.5進行仿真。

4.1 圖像的多小波分解和重構

圖像的多小波分解和重構仿真見圖2(程序略)。

多小波分解后的圖像左上角為低頻子帶,其余為高頻子帶。從圖2可看出,經過變換后的高頻子帶基本上為黑色,即能量很低,能量被集中到了低頻子帶。經過多小波重構后還原出來的圖像主觀效果好,圖像較清晰。

4.2 圖像壓縮

這里分別采用單小波和多小波進行圖像壓縮并對仿真結果進行分析。

圖2 多小波分解和重構圖像

圖3和圖4分別為用單小波和多小波進行圖像壓縮的圖像效果(程序略)。

圖3 單小波的SPIHT算法圖像壓縮效果

圖4 多小波SPIHT算法圖像壓縮效果

從圖3和圖4看出,采用多小波對SPIHT算法進行改進后恢復圖像清晰,效果較好。

5 結 語

多小波圖像壓縮與單小波圖像壓縮有所不同。首先多小波變換在分解之前要對圖像數據進行預濾波,圖像重構時需要做后置濾波;

其次由于有多個尺度函數和多個小波的存在,在圖像的多小波變換系數中同一尺度且同一方向上存在兩個或兩個以上對應不同小波細節的子圖,做一次多小波分解會得到比單小波分解更多的子圖,子圖增多使得處理更加靈活。根據實驗結果和多次實驗發現,對于要求較好的圖像質量、較低比特率或者提出一些特殊要求時,使用多小波的壓縮算法具有較好的特性。從一定角度上來說,基于多小波的SPIHT壓縮編碼方法是一種有效的壓縮編碼方法。

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